新型準零剛度隔振系統的設計與研究

孟令帥，孫景工，牛 福，任旭東，祁建成

(軍事醫學科學院 衛生裝備研究所，天津 300161)

作為一種非線性隔振系統，準零剛度隔振系統一般通過線性正剛度彈簧并聯負剛度機構實現。通過正負剛度并聯，準零剛度隔振系統同時具有較高的靜態剛度和較低的動態剛度，在隔離低頻和超低頻振動時有很好的隔振性能，一直以來尤其是近年來成為國內外學者的研究熱點。Alabuzhev等[1]首先較為全面地闡述了準零剛度隔振系統的理論，并提出了許多設計方法。Platus[2]采用了在軸向載荷作用下互相鉸接的兩根桿作為負剛度機構，之后張建卓等[3]采用相似的軸向載荷作用下的歐拉壓桿作為負剛度機構，并實驗驗證了其用于精密儀器隔振的可行性。Carrella等[4-6]系統地研究了對稱斜彈簧并聯垂直彈簧機構的靜力學特性和在平衡位置附近的隔振性能。Thanh等[7]研究了水平彈簧通過連桿并聯垂直彈簧來獲得靜力平衡位置的準零剛度，并實驗驗證了其用于汽車座椅隔振的優異表現。路純紅等[8]采用了一種新型連桿彈簧機構作為負剛度機構，增加了系統的靜態承載能力。劉興天等[9]研究了采用滑動梁作為負剛度機構的準零剛度隔振系統，進一步擴展了準零剛度隔振系統的實現方法。

本文基于正負剛度并聯隔振原理，采用碟形彈簧作為負剛度機構與線性正剛度彈簧并聯，提出了一種新型準零剛度隔振系統。通過靜力學特性研究，分析了系統在靜力平衡位置附近的準零剛度特性；通過動力學特性研究，建立了系統分別在簡諧力和簡諧位移激勵下的非線性動力學方程，應用平均法得到系統的力傳遞率和位移傳遞率；并與其等效線性系統進行了比較，分析了系統參數和激勵幅值對該系統力傳遞率和位移傳遞率的影響。

1 靜力學特性研究

1.1 碟形彈簧

如圖1所示的碟形彈簧彈性模量為E，泊松比為μ，a，b分別為碟形彈簧的外半徑和內半徑，e1，e2分別為支點到軸線的距離，h為碟形彈簧的內錐高，δ為碟形彈簧的厚度。在軸向力fd的作用下，其力位移關系可表示為[10-11]

(1)

圖1 碟形彈簧的結構示意圖

(2)

(3)

1.2 準零剛度隔振系統

將碟形彈簧與剛度為kv的線性正剛度彈簧并聯，構造出一種新型準零剛度隔振系統，其結構示意圖如圖2所示。在軸向力f的作用下，不考慮質量m，該準零剛度隔振系統的力位移關系可表示為

(4)

(5)

圖2 準零剛度隔振系統的結構示意圖

(6)

圖3 不同剛度比條件下的曲線

(7)

(8)

圖4 不同系統參數條件下的無量綱剛度位移曲線

2 動力學特性研究

2.1 動力學建模

如圖2所示，當系統承載質量為m的被隔振物體后，剛好在碟形彈簧處于壓平狀態，即u=0時，達到靜力平衡，且系統在平衡位置的剛度為零。由式(5)和式(8)得

(9)

此時，對被隔振物體施加簡諧力激勵f=f0cos(ωt)或對基座施加簡諧位移激勵z=z0cos(ωt)，根據牛頓第二定律分別得到系統的非線性動力學方程為

(10a)

(10b)

其中：y=u-z，f1=mg+kvu3/[δ2(α2-2Γ)]，f2=mg+kvy3/[δ2(α2-2Γ)]。

將式(9)帶入式(10)，系統的無量綱運動方程化為

(11a)

(11b)

式(11)可統一化為

(12)

(13a)

(13b)

式(13)右邊可以用外界激勵一個周期內的平均值代替，得到

(14a)

(14b)

對式(14)的右邊積分，并令左邊等于零，得到

(15a)

(15b)

兩式平方和得到系統的幅頻響應函數為

(16)

上式是關于Ω2的二次項方程，對于系統分別在簡諧力和簡諧位移激勵條件下，解得

(17)

(18)

當系統在簡諧力激勵作用下，傳遞到基座上的無量綱作用力為

(19)

則系統的力傳遞率為

(20)

當系統在簡諧位移激勵作用下，被隔振物體的無量綱位移為

(21)

則系統的位移傳遞率為

(22)

系統的最大傳遞率幅值對應于系統的最大響應幅值，分別令式(17)和式(18)中的兩式相等，得到系統分別在簡諧力和簡諧位移激勵下的最大響應幅值和其對應的頻率為

(23a)

(23b)

(24a)

(24b)

將式(23)和式(24)分別代入式(20)和式(22)可以得到系統分別在簡諧力和簡諧位移激勵下的最大傳遞率幅值。

當系統除去負剛度結構碟形彈簧時，被隔振物體由線性正剛度彈簧獨自承載。該等效線性系統的靜態位移增加，但其在相同簡諧力激勵作用下的力傳遞率和相同簡諧位移激勵作用下的位移傳遞率不變，均為

(25)

2.2 系統參數和激勵幅值對傳遞率的影響

根據2.1節中的分析，得到系統參數和激勵幅值對系統的力傳遞率和位移傳遞率的影響如圖5-7所示。

圖5 非線性項對系統傳遞率的影響

如圖5所示，當激勵頻率小于系統最大傳遞率幅值對應的頻率時，系統的傳遞率幅值大于線性系統；當激勵頻率大于系統最大傳遞率幅值對應的頻率時，系統的傳遞率幅值小于其等效線性系統；當激勵頻率特別大時，系統和其等效線性系統的傳遞率趨于相等。相較于其等效線性系統，該系統的隔振起始頻率低，隔振頻率范圍大。且非線性項越小，系統的隔振起始頻率越低，隔振頻率范圍越大，系統的最大傳遞率幅值越小，對被隔振物體造成的危害越小，隔振性能越好。結合圖4，可以通過增大α值和減小C值來獲得更小的非線性項，從而使系統具有更好的隔振性能。

如圖6所示，激勵幅值對系統的力傳遞率和位移傳遞率影響與非線性項對系統的影響基本相同。相較于其等效線性系統傳遞率不受激勵幅值的影響，該系統的激勵幅值越小，系統的隔振起始頻率越低，隔振頻率范圍越大，系統的最大傳遞率幅值越小，對被隔振物體造成的危害越小，隔振性能越好。因此，可以通過適當地控制激勵幅值來獲取系統更好的隔振性能。

如圖7所示，與等效線性系統基本一致，阻尼比越大，該系統在共振頻率附近的傳遞率幅值越小，在高頻時的傳遞率幅值越大，系統的最大傳遞率幅值越小，不穩定區域逐漸減小，對被隔振物體造成的危害越小。

除此之外，不同于簡諧力激勵下系統的力傳遞率，該系統在受到簡諧位移激勵時，較大的非線性項和激勵幅值或者較小的阻尼比會導致其出現極大的最大位移傳遞率幅值，嚴重影響系統的隔振性能。

綜上所述，為了使該隔振系統能隔離超低頻或低頻振動，并具有很好的隔振性能，可以在適當地控制激勵幅值的基礎上，通過增大α值和減小C值來減小系統的非線性項或者增大系統的阻尼比。

3 結 論

本文通過碟形彈簧與線性彈簧并聯，設計了一種新型準零剛度隔振系統，并研究了該系統的靜力學和動力學特性。通過靜力學研究，系統在平衡位置可以實現準零剛度特性，并且可以通過增大α值和減小C值來獲取系統在平衡位置附近的較小剛度和較大的較小剛度范圍；通過動力學分析，分別研究了不同非線性項、激勵幅值和阻尼比對系統力傳遞率和位移傳遞率的影響，并與其等效線性系統進行了比較。研究表明，在適當地控制激勵幅值的基礎上，通過增大α值和減小C值來減小系統的非線性項或者增大系統的阻尼比，使系統在隔離超低頻或低頻振動時具有優異的隔振性能。

[1]Alabuzhev P, Gritchin A, Kim L, et al. Vibration protecting and measuring systems with quasi-zero stiffness[M]. USA: Hemisphere Publishing Corporation, 1989.

[2]Platus D L. Negative-stiffness-mechanism vibration isolation systems[J]. Proceedings of SPIE, 1999,3784:98-105.

[3]張建卓,李旦,董申,等. 精密儀器用超低頻非線性并聯隔振系統研究[J]. 中國機械工程, 2004,15(1):69-71.

ZHANG Jian-zhuo, LI Dan, Dong Shen, et al. Study on ultra-low frequency parallel connection isolation used for precision instruments[J]. China Mechanical Engineering, 2004,15(1):69-71.

[4]Carrella A, Brennan M J, Waters T P. Static analysis of a passive vibration with quasi-zero-stiffness characteristic[J]. Journal of Sound and Vibration, 2007, 301(3-5):678-689.

[5]Carrella A, Brennan M J, Kovacic I, et al. On the force transmissibility of a vibration isolator with quasi-zero-stiffness [J]. Journal of Sound and Vibration, 2009, 322(4-5):707-717.

[6]Carrella A, Brennan M J, Waters T P, et al. Force and displacement transmissibility of a nonlinear isolator with high-static-low-dynamic-stiffness[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2012, 55(1):22-29.

[7]Thanh D L, Kyoung K A. A vibration isolation system in low frequency excitation region using negative stiffness structure for vehicle seat[J]. Journal of Sound and Vibration, 2011, 330(26):6311-6355.

[8]路純紅,白鴻柏. 新型超低頻非線性被動隔振系統的設計[J].振動與沖擊,2011, 30 (1):234-236.

LU Chun-hong, BAI Hong-bai. A new type nonlinear ultra-low frequency passive vibration isolation system[J]. Journal of Vibration and Shock, 2011, 30 (1):234-236.

[9]劉興天,張志誼,華宏星. 新型低頻隔振器的特性研究[J]. 振動與沖擊, 2012,31(5):161-164.

LIU Xing-tian, ZHANG Zhi-yi, HUA Hong-xing.Characteristics of a novel low-frequency isolator[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012,31(5):161-164.

[10]Almen J O, Laszlo A. The uniform-section disc spring[J]. Trans ASME,1936,58(5):305-314.

[11]陸文遂. 碟形彈簧的計算設計與制造[M].上海: 復旦大學出版社,1990,10-18.

[12]劉延柱,陳立群. 非線性振動[M].北京: 高等教育出版社, 2010,73-83.