解決平面向量問題的“神器”

劉紫陽

平面向量部分在教材中特別介紹了相關的坐標運算，這就給我們解決向量問題提供了一種思路——解析法.解析法是高中數學解析幾何中最基本的方法.其思路是：通過建立平面直角坐標系，把幾何問題轉化為代數問題，利用代數知識使問題得以解決.我們在解決一些與向量有關的問題（尤其是處理有關的小題）時，若適當考慮解析法，可使向量的運算完全代數化，將數與形緊密結合起來，使得向量的方法解決幾何問題更加方便，從而極大提高解決問題的速度，降低問題的難度，達到事半功倍的目的.下面以近年來的高考試題中的向量小題為例，說明在具體問題中如何恰當地借助于解析法來解決相關問題.

一、利用解析法解決與向量有關的求值問題

例1（2005年全國卷Ⅰ理科）△ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，OH=m(OA+OB+OC)，則實數m=.

解析以AC所在的直線為x軸，以線段AC的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，設點A(-a,0)、C(a,0)、B(s,t)，則由題意得點O、H的橫坐標分別是0、s；于是向量OH的橫坐標是s，向量OA+OB+OC的橫坐標是-a+a+s=s；又OH=m(OA+OB+OC)，因此有m=1.

評注此題通過在平面圖形中建立適當的坐標系及借助于向量的坐標運算，從而比較快速的得出結論，達到“小題小做”的目的.另外，在具體考試過程中本題也可考慮將題中的三角形特殊化為直角三角形，由此得出結論.

二、利用解析法解決與向量有關的最值問題

例2（2011年天津理）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動點，則|PA+3PB|的最小值為 .

圖1解析建立如圖1所示的直角坐標系,設點P(0,y)、C(0,b)，其中0≤y≤b，則B(1,b)、A(2,0)，PA+3PB=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y)，|PA+3PB|=52+(3b-4y)2的最小值是5，當且僅當3b-4y=0，即y=3b4∈［0,b］時取得，因此|PA+3PB|的最小值為5.

評注在考慮向量的有關問題時，如果考慮通過建立直角坐標系的方式來解決問題，此時應當考慮如何建立適當的坐標系更有利于問題的解決，通常遵循的原則是：讓盡可能多的點的坐標形式簡單，且相關的動點的坐標便于表示.

三、利用解析法解決與平面圖形的形狀相關的問題

例3（2013年浙江理）設△ABC，P0是邊AB上一定點，滿足P0B=14AB，且對于邊AB上任一點P，恒有PB·PC≥P0B·P0C，則（）.

A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°

C．AB=ACD． AC=BC

解析以AB的中點O為原點建立直角坐標系，不妨設點A(-2,0)、B(2,0)、P0(1,0)、C(m,n)、P(x,0)，其中-2≤x≤2，則有PB=(2-x,0)，PC=(m-x,n),P0B=(1,0)，P0C=(m-1,n)；由PB·PC≥P0B·P0C得(2-x)(m-x)≥m-1，即(x-1)［x-(m+1)］≥0對任意x∈［-2,2］恒成立，于是有m+1=1,m=0,AC=BC，選D.

評注本題在處理時通過建立坐標系，從而將難于處理的向量數量積不等式恒成立問題轉化為相關的代數不等式恒成立問題，由此確定圖形的形狀.

四、利用解析法解決與取值范圍相關的問題

例4（2013年重慶理）在平面上，AB1⊥AB2,|OB1|=|OB2|=1,AP=AB1+AB2.若|OP|<12，則|OA|的取值范圍是（）.

A．(0,52］B．(52,72］

C．(52,2］D．(72 ,2］

解析依題意，以A為原點，直線AB1、AB2分別為x、y軸建立直角坐標系，設點B1(x,0)、B2(0,y)、O(a,b)，P(x,y)，則(x-a)2+b2=1,a2+(y-b)2=1，［(x-a)2+(y-b)2］+(a2+b2)=2，即|OP|2+|OA|2=2；又0≤|OP|<12，因此74<|OA|2=2-|OP|2≤2，即72<|OA|≤2，即|OA|的取值范圍是(72,2］，選D.

評注從此題的條件來看，不難讓人聯想到通過建立直角坐標系來解決，只是應當注意結合題目條件建立適當的坐標系，把哪個點作為坐標原點更有利于問題的解決，同時在處理過程中還應當注意觀察相關量間的關系，否則處理起來會走彎路.

向量作為一種數學工具，它用代數的方法處理幾何問題，簡便快捷；尤其是引入坐標系后，向量法與解析法聯袂演繹，相輔相成，相得益彰，如虎添翼，行若流水.向量法和解析法都是用代數方法處理幾何問題，兩者結合，強強聯手，將數學題玩弄于股掌之中.從以上幾個實例來看，要想通過借助于解析幾何知識來處理向量的小題，真正做到小題小做的話，結合題目建立適當的坐標系是問題的關鍵，否則容易誤入歧途，導致小題大做.

(收稿日期：2013-11-15)

平面向量部分在教材中特別介紹了相關的坐標運算，這就給我們解決向量問題提供了一種思路——解析法.解析法是高中數學解析幾何中最基本的方法.其思路是：通過建立平面直角坐標系，把幾何問題轉化為代數問題，利用代數知識使問題得以解決.我們在解決一些與向量有關的問題（尤其是處理有關的小題）時，若適當考慮解析法，可使向量的運算完全代數化，將數與形緊密結合起來，使得向量的方法解決幾何問題更加方便，從而極大提高解決問題的速度，降低問題的難度，達到事半功倍的目的.下面以近年來的高考試題中的向量小題為例，說明在具體問題中如何恰當地借助于解析法來解決相關問題.

一、利用解析法解決與向量有關的求值問題

例1（2005年全國卷Ⅰ理科）△ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，OH=m(OA+OB+OC)，則實數m=.

解析以AC所在的直線為x軸，以線段AC的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，設點A(-a,0)、C(a,0)、B(s,t)，則由題意得點O、H的橫坐標分別是0、s；于是向量OH的橫坐標是s，向量OA+OB+OC的橫坐標是-a+a+s=s；又OH=m(OA+OB+OC)，因此有m=1.

評注此題通過在平面圖形中建立適當的坐標系及借助于向量的坐標運算，從而比較快速的得出結論，達到“小題小做”的目的.另外，在具體考試過程中本題也可考慮將題中的三角形特殊化為直角三角形，由此得出結論.

二、利用解析法解決與向量有關的最值問題

例2（2011年天津理）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動點，則|PA+3PB|的最小值為 .

圖1解析建立如圖1所示的直角坐標系,設點P(0,y)、C(0,b)，其中0≤y≤b，則B(1,b)、A(2,0)，PA+3PB=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y)，|PA+3PB|=52+(3b-4y)2的最小值是5，當且僅當3b-4y=0，即y=3b4∈［0,b］時取得，因此|PA+3PB|的最小值為5.

評注在考慮向量的有關問題時，如果考慮通過建立直角坐標系的方式來解決問題，此時應當考慮如何建立適當的坐標系更有利于問題的解決，通常遵循的原則是：讓盡可能多的點的坐標形式簡單，且相關的動點的坐標便于表示.

三、利用解析法解決與平面圖形的形狀相關的問題

例3（2013年浙江理）設△ABC，P0是邊AB上一定點，滿足P0B=14AB，且對于邊AB上任一點P，恒有PB·PC≥P0B·P0C，則（）.

A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°

C．AB=ACD． AC=BC

解析以AB的中點O為原點建立直角坐標系，不妨設點A(-2,0)、B(2,0)、P0(1,0)、C(m,n)、P(x,0)，其中-2≤x≤2，則有PB=(2-x,0)，PC=(m-x,n),P0B=(1,0)，P0C=(m-1,n)；由PB·PC≥P0B·P0C得(2-x)(m-x)≥m-1，即(x-1)［x-(m+1)］≥0對任意x∈［-2,2］恒成立，于是有m+1=1,m=0,AC=BC，選D.

評注本題在處理時通過建立坐標系，從而將難于處理的向量數量積不等式恒成立問題轉化為相關的代數不等式恒成立問題，由此確定圖形的形狀.

四、利用解析法解決與取值范圍相關的問題

例4（2013年重慶理）在平面上，AB1⊥AB2,|OB1|=|OB2|=1,AP=AB1+AB2.若|OP|<12，則|OA|的取值范圍是（）.

A．(0,52］B．(52,72］

C．(52,2］D．(72 ,2］

解析依題意，以A為原點，直線AB1、AB2分別為x、y軸建立直角坐標系，設點B1(x,0)、B2(0,y)、O(a,b)，P(x,y)，則(x-a)2+b2=1,a2+(y-b)2=1，［(x-a)2+(y-b)2］+(a2+b2)=2，即|OP|2+|OA|2=2；又0≤|OP|<12，因此74<|OA|2=2-|OP|2≤2，即72<|OA|≤2，即|OA|的取值范圍是(72,2］，選D.

評注從此題的條件來看，不難讓人聯想到通過建立直角坐標系來解決，只是應當注意結合題目條件建立適當的坐標系，把哪個點作為坐標原點更有利于問題的解決，同時在處理過程中還應當注意觀察相關量間的關系，否則處理起來會走彎路.

向量作為一種數學工具，它用代數的方法處理幾何問題，簡便快捷；尤其是引入坐標系后，向量法與解析法聯袂演繹，相輔相成，相得益彰，如虎添翼，行若流水.向量法和解析法都是用代數方法處理幾何問題，兩者結合，強強聯手，將數學題玩弄于股掌之中.從以上幾個實例來看，要想通過借助于解析幾何知識來處理向量的小題，真正做到小題小做的話，結合題目建立適當的坐標系是問題的關鍵，否則容易誤入歧途，導致小題大做.

(收稿日期：2013-11-15)

平面向量部分在教材中特別介紹了相關的坐標運算，這就給我們解決向量問題提供了一種思路——解析法.解析法是高中數學解析幾何中最基本的方法.其思路是：通過建立平面直角坐標系，把幾何問題轉化為代數問題，利用代數知識使問題得以解決.我們在解決一些與向量有關的問題（尤其是處理有關的小題）時，若適當考慮解析法，可使向量的運算完全代數化，將數與形緊密結合起來，使得向量的方法解決幾何問題更加方便，從而極大提高解決問題的速度，降低問題的難度，達到事半功倍的目的.下面以近年來的高考試題中的向量小題為例，說明在具體問題中如何恰當地借助于解析法來解決相關問題.

一、利用解析法解決與向量有關的求值問題

例1（2005年全國卷Ⅰ理科）△ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，OH=m(OA+OB+OC)，則實數m=.

解析以AC所在的直線為x軸，以線段AC的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，設點A(-a,0)、C(a,0)、B(s,t)，則由題意得點O、H的橫坐標分別是0、s；于是向量OH的橫坐標是s，向量OA+OB+OC的橫坐標是-a+a+s=s；又OH=m(OA+OB+OC)，因此有m=1.

評注此題通過在平面圖形中建立適當的坐標系及借助于向量的坐標運算，從而比較快速的得出結論，達到“小題小做”的目的.另外，在具體考試過程中本題也可考慮將題中的三角形特殊化為直角三角形，由此得出結論.

二、利用解析法解決與向量有關的最值問題

例2（2011年天津理）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動點，則|PA+3PB|的最小值為 .

圖1解析建立如圖1所示的直角坐標系,設點P(0,y)、C(0,b)，其中0≤y≤b，則B(1,b)、A(2,0)，PA+3PB=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y)，|PA+3PB|=52+(3b-4y)2的最小值是5，當且僅當3b-4y=0，即y=3b4∈［0,b］時取得，因此|PA+3PB|的最小值為5.

評注在考慮向量的有關問題時，如果考慮通過建立直角坐標系的方式來解決問題，此時應當考慮如何建立適當的坐標系更有利于問題的解決，通常遵循的原則是：讓盡可能多的點的坐標形式簡單，且相關的動點的坐標便于表示.

三、利用解析法解決與平面圖形的形狀相關的問題

例3（2013年浙江理）設△ABC，P0是邊AB上一定點，滿足P0B=14AB，且對于邊AB上任一點P，恒有PB·PC≥P0B·P0C，則（）.

A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°

C．AB=ACD． AC=BC

解析以AB的中點O為原點建立直角坐標系，不妨設點A(-2,0)、B(2,0)、P0(1,0)、C(m,n)、P(x,0)，其中-2≤x≤2，則有PB=(2-x,0)，PC=(m-x,n),P0B=(1,0)，P0C=(m-1,n)；由PB·PC≥P0B·P0C得(2-x)(m-x)≥m-1，即(x-1)［x-(m+1)］≥0對任意x∈［-2,2］恒成立，于是有m+1=1,m=0,AC=BC，選D.

評注本題在處理時通過建立坐標系，從而將難于處理的向量數量積不等式恒成立問題轉化為相關的代數不等式恒成立問題，由此確定圖形的形狀.

四、利用解析法解決與取值范圍相關的問題

例4（2013年重慶理）在平面上，AB1⊥AB2,|OB1|=|OB2|=1,AP=AB1+AB2.若|OP|<12，則|OA|的取值范圍是（）.

A．(0,52］B．(52,72］

C．(52,2］D．(72 ,2］

解析依題意，以A為原點，直線AB1、AB2分別為x、y軸建立直角坐標系，設點B1(x,0)、B2(0,y)、O(a,b)，P(x,y)，則(x-a)2+b2=1,a2+(y-b)2=1，［(x-a)2+(y-b)2］+(a2+b2)=2，即|OP|2+|OA|2=2；又0≤|OP|<12，因此74<|OA|2=2-|OP|2≤2，即72<|OA|≤2，即|OA|的取值范圍是(72,2］，選D.

評注從此題的條件來看，不難讓人聯想到通過建立直角坐標系來解決，只是應當注意結合題目條件建立適當的坐標系，把哪個點作為坐標原點更有利于問題的解決，同時在處理過程中還應當注意觀察相關量間的關系，否則處理起來會走彎路.

向量作為一種數學工具，它用代數的方法處理幾何問題，簡便快捷；尤其是引入坐標系后，向量法與解析法聯袂演繹，相輔相成，相得益彰，如虎添翼，行若流水.向量法和解析法都是用代數方法處理幾何問題，兩者結合，強強聯手，將數學題玩弄于股掌之中.從以上幾個實例來看，要想通過借助于解析幾何知識來處理向量的小題，真正做到小題小做的話，結合題目建立適當的坐標系是問題的關鍵，否則容易誤入歧途，導致小題大做.

(收稿日期：2013-11-15)