淺談概率論的創立與發展

陳為華 代美麗 尹德玉

（日照職業技術學院，山東 日照276826）

概率論和統計學是研究自然界中大量隨機現象統計規律性的一門科學。隨機現象是客觀世界中廣泛存在的一類自然現象，它具有三個特點：（1）一次觀測的不確定性；（2）大量觀測具有統計規律性；（3）每次觀測結果可數據表示。概率論從數學觀點研究隨機現象的基本性質；統計學從搜集到的隨機數據，估計或推斷隨機現象的基本特性，這兩本學科已經形成一門理論嚴謹，應用廣泛，發展迅速，方法獨特的數學分支。

1 賭博中的問題、隨機游戲——概率論的起源

概率論創立于17世紀，但它的思想萌芽一般來說始于意大利文藝復興時代，最先引起數學家們注意的則是賭博中的問題。15世紀意大利和法國賭博盛行，而且賭法復雜，賭注量大。一些職業賭徒，為求增加獲勝的機會，迫切需要計算獲勝的思路，如意大利貴族請天文學家伽利略（1564-1642）解釋下列問題：擲三個篩子，出現9點與10點的各種六種不同組合法，但在經驗上，發現出現10點的次數多于9點，是何緣故？伽利略給出了使對方信服的答復：

三個骰子各面點數構成總和為 9 的各種組合：1、2、6；1、3、5；1、4、4；2、2、5；2、3、4；3、3、3； 而組合等于 10 的各種組合為：1、3、6；1、4、5；2、2、6；2、3、5；2、4、4；3、3、4.。 而各種組合出現的機會并非相等。 例如，3、3、3只有一種途徑擲出；而3、3、4則有三種不同途徑擲出；這樣，9可有25種不同途徑擲出；10則有27種不同途徑擲出。這一解答成為概率論應用題的首次成果。

另一位法國賭徒梅耳提出了一個擲骰子中的難題：擲一粒骰子4次至少出現一個6的機會要比擲兩粒骰子4次至少出現一對6的機會更大些，這是否成立？這就是有名的“梅耳猜想”。他拜請法國數學家帕斯卡(1623-1662)來解答，這一問題引起了帕斯卡和他的朋友費馬的極大興趣，經過多次通信研究，于1654年對此問題獲得一般的解法，肯定了“梅耳猜想”是對的，并奠定了近代概率論和組合分析基礎。

16世紀意大利數學家卡當曾計算過擲兩顆或三顆骰子時，出現某個點數的可能性的大小，并討論了博弈中有限個等可能的情況問題。他的研究成果集中體現在他的《論賭博》一書中，由于賭博中的概率問題最為典型，因此，從這個問題開始研究隨機現象的數量規律，便成為當時數學研究的一個重要課題，但這時期對博弈問題討論的思想方法尚未形成獨立的數學內容。

2 社會保險與社會實踐的需要——概率論的發展

概率論發展的直接動力在于實踐中應用，特別是社會保險中的需要。17世紀資本主義工業和商業的興起和發展，是社會保險應運而生，各種意外事件發生的概率，如火災、水災等，這就大大刺激了對概率問題的研究。也正是對這些問題的研究，推動了數學的發展，是一門嶄新的數學學科——概率論的誕生。其中做出突出貢獻的數學家有帕斯卡、費馬、伯努利、棣莫弗等人。如帕斯卡、費馬基于排列組合的方法，討論了賭博中的賭注分配問題，為古典概率的形成提供了思想基礎，帕斯卡在他的《論算術三角形》中用組合數學方法計算只涉及有限個基本條件的概率問題，稱為組合概率。1657年荷蘭物理學家惠更斯發表了《論賭博中的推理》的重要論文，提出了數學期望的概念。伯努利把概率論的發展向前推進了一步，于1713年出版了《度術》，指出概率是頻率的穩定值。他第一次闡明了大數定律的意義。在單一的概率與眾多現象的統計度量之內建立了關系，為概率論推向更廣泛的應用領域奠定了理論基礎。

概率論的諸多重要定理是在18世紀提出和建立起來的，例如，1718年法國數學家棣莫弗發表了重要著作《機遇原理》書中敘述了概率乘法公式和復合事件概率的計算方法，并在1733年發現了正態分布密度函數，但他沒有把這一結果應用到實際數據中。法國數學家拉普拉斯將棣莫弗的結果推廣到一般的情形。即現在所指的棣莫弗—拉普拉斯定理，這是概率論中的第二個基本定理，拉普拉斯對概率的意義如何抽象化做出了杰出的貢獻，提出了概率的古典定義，并把概率論有效的應用到人口統計學等社會各領域，他的著作有《分析概率》和《概率的哲學探討》。在《分析概率》中，拉普拉斯不僅實現了概率方法上的革命，而且系統整理了18世紀之前概率論所處理過的所有重要的問題。德國數學家高斯發展了誤差理論，并提出了最小二乘法。一些數學家開始注意把等可能思想推廣到含有無數個可能性的情況，從而產生了幾何概率。法國數學家蒲豐在其《或然算術問題》中提出了有名的 “蒲豐問題”。對這一問題的研究導致了著名的蒙特卡洛方法的產生。泊松提出了一種重要的概率分布——泊松分布。

3 中心極限定理與概率論公理體系的建立

到19世紀末，概率論的主要研究內容已基本形成，但有兩個問題從理論上沒有解決：

一是概率論的公理體系；二是中心極限定理成立的條件。1928年原蘇聯數學家柯爾莫戈洛夫總結前人之大成，提出了概率論公理體系即概率的公理化定義，給出了柯爾莫戈洛夫不等式，這是證明大數定律的重要工具。

概率論里所說的極限定理，主要研究隨機變量序列的各種收斂性問題，其中包括兩種類型定理：一是大數定律；二是中心極限定理。中心極限定理的名稱是美國數學家波利亞1920年提出的。歷史上最初的中心極限定理是討論n重伯努利試驗中，條件A出現的次數漸進于正態分布的問題。中心極限定理早在1730年棣莫弗就研究過。隨后拉普拉斯用了將近20年的時間研究獨立隨機變量及分布，提出了其極限分布是正態分布，然而他的證明不夠嚴格。數學家李亞普諾夫于1901年給出了嚴格的證明，在證明過程中他提出了特征函數這一非常有用的工具，自1901年起許多人在這方面做過工作，主要目標是研究使中心極限定理成立的最廣泛條件，直到1922年才有突破性進展。林德伯爾格提出了以他的名字命名的條件，到1935年美國數學家南斯拉夫—費勒發現：在獨立隨機變量數列情況下，這個條件不僅是充分條件，甚至在一定條件下還是必要的。

4 各種隨機過程的形成與概率論的現代應用

自20世紀初開始，隨著生產和科學技術中的概率問題的大量出現，概率論得以迅速發展，并不斷誕生出一系列新的分支理論，其理論方法在科學技術、工農業生產及國民經濟各部門日益受到更廣泛的應用。當代概率論的研究方向主要是隨機過程，隨機過程是研究無窮多個隨機變量的集合，它是現實世界中隨時間變化的隨機現象的數學抽象，如某地區每年的降雨量；百貨公司每天接待顧客人數等，隨機過程的發展與力學體系理論有密切的關系，馬爾可夫推廣了大數定律和中心極限定理的應用范圍，奠定了隨機過程的發展基礎，他提出的馬爾可夫過程，是現代概率論的基本內容。在理論物理、化學和其他方面有著廣泛應用。

早在20世紀30年代末至50年代初，著名數學家杜布和萊維就創立了鞅論。鞅論理論的發現不僅成為隨機過程中最活躍的分支之一，而且還愈來愈廣泛地應用于馬氏過程、點過程、估計理論、隨機控制等理論分支及其應用領域。另外，隨機過程與基礎學科相結合，又產生了一些新的邊沿分支，如與微分方程、數理統計、數論、幾何、計算數學等相結合，便產生了隨機微分方程、隨機過程統計、幾何概率、計算概率等新分支。這樣，當代概率論的研究方向大致可分為極限理論、馬爾可夫過程、獨立增量過程、平衡過程、鞅論和隨機微分方程、數理統計學等。

［1］李玉琪.數學方法論[M].?？冢耗虾３霭婀?1990.

［2］解恩澤,徐本順.數學思想方法[M].濟南：山東教育出版社,1989.