分離參數(shù) 事半功倍
2014-09-09 23:42:38聶文喜
中學生理科應試 2014年4期
聶文喜
利用導數(shù)解決含參數(shù)的函數(shù)問題（如零點、單調(diào)性、極值、不等式等）一般有兩種思路：一是直接法，二是分離參數(shù)法，由于函數(shù)中含有參數(shù)，直接求解需分類討論，分類討論向來是學生的“軟肋”，對于參數(shù)的討論更是“軟肋”中的“軟肋”，為了擺脫分類討論帶來的煩惱，我們可以選擇分離參數(shù)法.下面通過2013年高考題說明分離參數(shù)法在求參數(shù)范圍中的應用．
一、判斷函數(shù)零點個數(shù)
例1（2013年高考江蘇卷理20（2））設函數(shù)f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax，其中a為實數(shù)．若g(x)在(-1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù)，試求f(x)的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論．
解由已知g′(x)=ex-a≥0，即a≤ex對x∈(-1,+∞)恒成立．
∵ex>e-1，∴a≤1e．
f(x)的零點個數(shù)等價于方程f(x)=lnx-ax=0在(0,+∞)上的根的個數(shù)，分離參數(shù)得a=lnxx，x>0，令h(x)=lnxx，則h′(x)=1-lnxx2，
令h′(x)>0，得0 令h′(x)<0，得x>e，h(x)在(e,+∞)單調(diào)遞減，又limx→+∞h(x)=0, 圖1limx→0h(x)=-∞， 在同一直角坐標系中做出 y=h(x)與y=a的圖象，如圖1，當a≤0或a=1e時，f(x)只有一個零點，當0 點評分離參數(shù)法將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題． 二、判斷方程根的個數(shù) 例2（2013年高考山東卷理21（2））設函數(shù)f(x)=xe2x+c(e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)，c∈R）．討論關(guān)于x的方程|lnx|=f(x)根的個數(shù)． 解由|lnx|=f(x)=xe2x+c,分離參數(shù)得 c=lnx-xe2x,x≥1, -lnx-xe2x,0 令g(x)=lnx-xe2x,x≥1, -lnx-xe2x,0 則g′(x)=e-2x(e2xx+2x-1),x≥1. e-2x(-e2xx+2x-1),0 當x≥1時，g′(x)>0，g(x)在［1,+∞)上單調(diào)遞增． 當0 又g(1)=-e-2，limx→0g(x)=+∞，limx→+∞g(x)=+∞， 圖2在同一坐標系中做出y=g(x)與y=c的圖象，如圖2， 當c<-e-2時，關(guān)于x的方程|lnx|=f(x)根的個數(shù)為0， 當c=-e-2時，關(guān)于x的方程|lnx|=f(x)根的個數(shù)為1， 當c>-e-2時，關(guān)于x的方程|lnx|=f(x)根的個數(shù)為2． 三、判斷兩曲線公共點個數(shù) 例3（2013年高考陜西卷理21（2））設x>0，討論曲線y=ex與曲線y=mx2(m>0)公共點個數(shù)． 解當x>0時，曲線y=ex與y=mx2的公共點個數(shù)等價于方程ex=mx2，即m=exx2在(0,+∞)上的根的個數(shù)．令f(x)=exx2，則f ′(x)=(x-2)exx3，∴f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+∞)上單調(diào)遞增， 圖3在同一坐標系中做出y=f(x)與y=m的圖象，如圖3，當0 綜上，當0 四、求函數(shù)單調(diào)性問題中的參數(shù)范圍 例4（2013年高考大綱版全國卷理9）若函數(shù)f(x)=x2+ax+1x在(12,+∞)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是（ ）. A．［-1,0］B．［-1,+∞） C．［0,3］ D．［3,+∞） 解由已知f ′(x)=2x+a-1x2≥0對x>12恒成立，∴a≥1x2-2x對x>12恒成立，令g(x)=1x2-2x，則g(x)在(12,+∞）上是減函數(shù)，∴g(x) 五、求函數(shù)極值問題中的參數(shù)范圍 例5（2013年高考湖北卷文（10））已知函數(shù)f(x)=x(lnx-ax)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）． A．(-∞,0)B．(0,12) C．(0,1)D． (0,+∞) 解f ′(x)=lnx-ax+x(1x-a)=lnx-2ax+1，由已知f ′(x)=lnx-2ax+1=0在(0,+∞)上有兩個不同的解，分離參數(shù)得a=1+lnx2x，x>0，令g(x)=1+lnx2x，則g′(x)=-lnx2x2，令g′(x)>0，得0 limx→+∞g(x)=limx→+∞1+lnx2x=0， limx→0g(x)=limx→01+lnx2x=-∞， 圖4在同一直角坐標系中作出y=g(x)與y=a的圖象，如圖4，g(1)=12 ，當0 六、求不等式恒成立問題中的參數(shù)范圍 例6（2013年高考新課標全國卷Ⅰ理（11））已知函數(shù)f(x)=-x2+2x,x≤0, ln(x+1),x>0.若|f(x)|≥ax，則a的取值范圍是（ ）. A．(-∞,0］B．(-∞,1］ C．［-2,1］ D． ［-2,0］ 解①當x>0時，由|f(x)|≥ax得a≤f(x)x=ln(x+1)x，令g(x)=ln(x+1)x，則g′(x)=xx+1-ln(x+1)x2，令φ(x)=xx+1-ln(1+x)，則φ′(x)=1(x+1)2-11+x=-x(1+x)2<0， ∴φ(x)在(0,+∞)上是減函數(shù)，∴φ(x)<φ(0)=0，從而g′(x)<0， ∴g(x)在(0,+∞)上是減函數(shù)，又limx→+∞ln(x+1)x=0，故a≤0． ②當x=0時，|f(x)|≥ax顯然成立 ③當x<0時，由|f(x)|≥ax，得a≥|f(x)|x=|-x2+2x|x=x2-2xx=x-2， ∵x-2<-2，∴a≥-2， 綜上知-2≤a≤0，故選D． 例7（2013年高考新課標卷Ⅰ理（21））已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)均過點P(0,2)，且在 點P處有相同切線y=4x+2．（1）求a,b,c,d； （2）若x≥-2時，f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍． 解(1)a=4,b=2,c=2,d=2;(2)由（1）知f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1)， ∴2k(x+1)ex≥x2+4x+2． ①若x>-1，則k≥x2+4x+22(x+1)ex，令h(x)=x2+4x+22(x+1)ex，則h′(x)=-x(x+2)22(x+1)2ex, 令h′(x)>0，得-1 令h′(x)<0，得x>0，h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減， ∴h(x)max=h(0)=1，故k≥1． ②若-2 令h′(x)>0，得-2 ∴h(x)min=h(-2)=e2，故k≤e2． ③若x=-1，f(x)≤kg(x)成立． 綜上，k的取值范圍為［1,e2］． 例8（2013年高考大綱版全國卷文21（2））已知函數(shù)f(x)=x3+3ax2+3x+1，若x∈［2,+∞)時，f(x)≥0，求a的取值范圍． 解當x∈［2,+∞)時，f(x)=x3+3ax2+3x+1≥0等價于a≥-x3-1x-13x2對x≥2恒成立，令g(x)=-x3-1x-13x2，則g′(x)=-13+1x2+23x3 ≤-13+14+224=0, ∴g(x)在［2,+∞)上單調(diào)遞減， ∴g(x)max=-54，故a≥-54． (收稿日期：2013-12-04)
利用導數(shù)解決含參數(shù)的函數(shù)問題（如零點、單調(diào)性、極值、不等式等）一般有兩種思路：一是直接法，二是分離參數(shù)法，由于函數(shù)中含有參數(shù)，直接求解需分類討論，分類討論向來是學生的“軟肋”，對于參數(shù)的討論更是“軟肋”中的“軟肋”，為了擺脫分類討論帶來的煩惱，我們可以選擇分離參數(shù)法.下面通過2013年高考題說明分離參數(shù)法在求參數(shù)范圍中的應用．
一、判斷函數(shù)零點個數(shù)
例1（2013年高考江蘇卷理20（2））設函數(shù)f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax，其中a為實數(shù)．若g(x)在(-1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù)，試求f(x)的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論．
解由已知g′(x)=ex-a≥0，即a≤ex對x∈(-1,+∞)恒成立．
∵ex>e-1，∴a≤1e．
f(x)的零點個數(shù)等價于方程f(x)=lnx-ax=0在(0,+∞)上的根的個數(shù)，分離參數(shù)得a=lnxx，x>0，令h(x)=lnxx，則h′(x)=1-lnxx2，
令h′(x)>0，得0 令h′(x)<0，得x>e，h(x)在(e,+∞)單調(diào)遞減，又limx→+∞h(x)=0, 圖1limx→0h(x)=-∞， 在同一直角坐標系中做出 y=h(x)與y=a的圖象，如圖1，當a≤0或a=1e時，f(x)只有一個零點，當0 點評分離參數(shù)法將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題． 二、判斷方程根的個數(shù) 例2（2013年高考山東卷理21（2））設函數(shù)f(x)=xe2x+c(e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)，c∈R）．討論關(guān)于x的方程|lnx|=f(x)根的個數(shù)． 解由|lnx|=f(x)=xe2x+c,分離參數(shù)得 c=lnx-xe2x,x≥1, -lnx-xe2x,0 令g(x)=lnx-xe2x,x≥1, -lnx-xe2x,0 則g′(x)=e-2x(e2xx+2x-1),x≥1. e-2x(-e2xx+2x-1),0 當x≥1時，g′(x)>0，g(x)在［1,+∞)上單調(diào)遞增． 當0 又g(1)=-e-2，limx→0g(x)=+∞，limx→+∞g(x)=+∞， 圖2在同一坐標系中做出y=g(x)與y=c的圖象，如圖2， 當c<-e-2時，關(guān)于x的方程|lnx|=f(x)根的個數(shù)為0， 當c=-e-2時，關(guān)于x的方程|lnx|=f(x)根的個數(shù)為1， 當c>-e-2時，關(guān)于x的方程|lnx|=f(x)根的個數(shù)為2． 三、判斷兩曲線公共點個數(shù) 例3（2013年高考陜西卷理21（2））設x>0，討論曲線y=ex與曲線y=mx2(m>0)公共點個數(shù)． 解當x>0時，曲線y=ex與y=mx2的公共點個數(shù)等價于方程ex=mx2，即m=exx2在(0,+∞)上的根的個數(shù)．令f(x)=exx2，則f ′(x)=(x-2)exx3，∴f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+∞)上單調(diào)遞增， 圖3在同一坐標系中做出y=f(x)與y=m的圖象，如圖3，當0 綜上，當0 四、求函數(shù)單調(diào)性問題中的參數(shù)范圍 例4（2013年高考大綱版全國卷理9）若函數(shù)f(x)=x2+ax+1x在(12,+∞)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是（ ）. A．［-1,0］B．［-1,+∞） C．［0,3］ D．［3,+∞） 解由已知f ′(x)=2x+a-1x2≥0對x>12恒成立，∴a≥1x2-2x對x>12恒成立，令g(x)=1x2-2x，則g(x)在(12,+∞）上是減函數(shù)，∴g(x) 五、求函數(shù)極值問題中的參數(shù)范圍 例5（2013年高考湖北卷文（10））已知函數(shù)f(x)=x(lnx-ax)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）． A．(-∞,0)B．(0,12) C．(0,1)D． (0,+∞) 解f ′(x)=lnx-ax+x(1x-a)=lnx-2ax+1，由已知f ′(x)=lnx-2ax+1=0在(0,+∞)上有兩個不同的解，分離參數(shù)得a=1+lnx2x，x>0，令g(x)=1+lnx2x，則g′(x)=-lnx2x2，令g′(x)>0，得0 limx→+∞g(x)=limx→+∞1+lnx2x=0， limx→0g(x)=limx→01+lnx2x=-∞， 圖4在同一直角坐標系中作出y=g(x)與y=a的圖象，如圖4，g(1)=12 ，當0 六、求不等式恒成立問題中的參數(shù)范圍 例6（2013年高考新課標全國卷Ⅰ理（11））已知函數(shù)f(x)=-x2+2x,x≤0, ln(x+1),x>0.若|f(x)|≥ax，則a的取值范圍是（ ）. A．(-∞,0］B．(-∞,1］ C．［-2,1］ D． ［-2,0］ 解①當x>0時，由|f(x)|≥ax得a≤f(x)x=ln(x+1)x，令g(x)=ln(x+1)x，則g′(x)=xx+1-ln(x+1)x2，令φ(x)=xx+1-ln(1+x)，則φ′(x)=1(x+1)2-11+x=-x(1+x)2<0， ∴φ(x)在(0,+∞)上是減函數(shù)，∴φ(x)<φ(0)=0，從而g′(x)<0， ∴g(x)在(0,+∞)上是減函數(shù)，又limx→+∞ln(x+1)x=0，故a≤0． ②當x=0時，|f(x)|≥ax顯然成立 ③當x<0時，由|f(x)|≥ax，得a≥|f(x)|x=|-x2+2x|x=x2-2xx=x-2， ∵x-2<-2，∴a≥-2， 綜上知-2≤a≤0，故選D． 例7（2013年高考新課標卷Ⅰ理（21））已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)均過點P(0,2)，且在 點P處有相同切線y=4x+2．（1）求a,b,c,d； （2）若x≥-2時，f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍． 解(1)a=4,b=2,c=2,d=2;(2)由（1）知f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1)， ∴2k(x+1)ex≥x2+4x+2． ①若x>-1，則k≥x2+4x+22(x+1)ex，令h(x)=x2+4x+22(x+1)ex，則h′(x)=-x(x+2)22(x+1)2ex, 令h′(x)>0，得-1 令h′(x)<0，得x>0，h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減， ∴h(x)max=h(0)=1，故k≥1． ②若-2 令h′(x)>0，得-2 ∴h(x)min=h(-2)=e2，故k≤e2． ③若x=-1，f(x)≤kg(x)成立． 綜上，k的取值范圍為［1,e2］． 例8（2013年高考大綱版全國卷文21（2））已知函數(shù)f(x)=x3+3ax2+3x+1，若x∈［2,+∞)時，f(x)≥0，求a的取值范圍． 解當x∈［2,+∞)時，f(x)=x3+3ax2+3x+1≥0等價于a≥-x3-1x-13x2對x≥2恒成立，令g(x)=-x3-1x-13x2，則g′(x)=-13+1x2+23x3 ≤-13+14+224=0, ∴g(x)在［2,+∞)上單調(diào)遞減， ∴g(x)max=-54，故a≥-54． (收稿日期：2013-12-04)
利用導數(shù)解決含參數(shù)的函數(shù)問題（如零點、單調(diào)性、極值、不等式等）一般有兩種思路：一是直接法，二是分離參數(shù)法，由于函數(shù)中含有參數(shù)，直接求解需分類討論，分類討論向來是學生的“軟肋”，對于參數(shù)的討論更是“軟肋”中的“軟肋”，為了擺脫分類討論帶來的煩惱，我們可以選擇分離參數(shù)法.下面通過2013年高考題說明分離參數(shù)法在求參數(shù)范圍中的應用．
一、判斷函數(shù)零點個數(shù)
例1（2013年高考江蘇卷理20（2））設函數(shù)f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax，其中a為實數(shù)．若g(x)在(-1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù)，試求f(x)的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論．
解由已知g′(x)=ex-a≥0，即a≤ex對x∈(-1,+∞)恒成立．
∵ex>e-1，∴a≤1e．
f(x)的零點個數(shù)等價于方程f(x)=lnx-ax=0在(0,+∞)上的根的個數(shù)，分離參數(shù)得a=lnxx，x>0，令h(x)=lnxx，則h′(x)=1-lnxx2，
令h′(x)>0，得0 令h′(x)<0，得x>e，h(x)在(e,+∞)單調(diào)遞減，又limx→+∞h(x)=0, 圖1limx→0h(x)=-∞， 在同一直角坐標系中做出 y=h(x)與y=a的圖象，如圖1，當a≤0或a=1e時，f(x)只有一個零點，當0 點評分離參數(shù)法將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題． 二、判斷方程根的個數(shù) 例2（2013年高考山東卷理21（2））設函數(shù)f(x)=xe2x+c(e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)，c∈R）．討論關(guān)于x的方程|lnx|=f(x)根的個數(shù)． 解由|lnx|=f(x)=xe2x+c,分離參數(shù)得 c=lnx-xe2x,x≥1, -lnx-xe2x,0 令g(x)=lnx-xe2x,x≥1, -lnx-xe2x,0 則g′(x)=e-2x(e2xx+2x-1),x≥1. e-2x(-e2xx+2x-1),0 當x≥1時，g′(x)>0，g(x)在［1,+∞)上單調(diào)遞增． 當0 又g(1)=-e-2，limx→0g(x)=+∞，limx→+∞g(x)=+∞， 圖2在同一坐標系中做出y=g(x)與y=c的圖象，如圖2， 當c<-e-2時，關(guān)于x的方程|lnx|=f(x)根的個數(shù)為0， 當c=-e-2時，關(guān)于x的方程|lnx|=f(x)根的個數(shù)為1， 當c>-e-2時，關(guān)于x的方程|lnx|=f(x)根的個數(shù)為2． 三、判斷兩曲線公共點個數(shù) 例3（2013年高考陜西卷理21（2））設x>0，討論曲線y=ex與曲線y=mx2(m>0)公共點個數(shù)． 解當x>0時，曲線y=ex與y=mx2的公共點個數(shù)等價于方程ex=mx2，即m=exx2在(0,+∞)上的根的個數(shù)．令f(x)=exx2，則f ′(x)=(x-2)exx3，∴f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+∞)上單調(diào)遞增， 圖3在同一坐標系中做出y=f(x)與y=m的圖象，如圖3，當0 綜上，當0 四、求函數(shù)單調(diào)性問題中的參數(shù)范圍 例4（2013年高考大綱版全國卷理9）若函數(shù)f(x)=x2+ax+1x在(12,+∞)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是（ ）. A．［-1,0］B．［-1,+∞） C．［0,3］ D．［3,+∞） 解由已知f ′(x)=2x+a-1x2≥0對x>12恒成立，∴a≥1x2-2x對x>12恒成立，令g(x)=1x2-2x，則g(x)在(12,+∞）上是減函數(shù)，∴g(x) 五、求函數(shù)極值問題中的參數(shù)范圍 例5（2013年高考湖北卷文（10））已知函數(shù)f(x)=x(lnx-ax)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）． A．(-∞,0)B．(0,12) C．(0,1)D． (0,+∞) 解f ′(x)=lnx-ax+x(1x-a)=lnx-2ax+1，由已知f ′(x)=lnx-2ax+1=0在(0,+∞)上有兩個不同的解，分離參數(shù)得a=1+lnx2x，x>0，令g(x)=1+lnx2x，則g′(x)=-lnx2x2，令g′(x)>0，得0 limx→+∞g(x)=limx→+∞1+lnx2x=0， limx→0g(x)=limx→01+lnx2x=-∞， 圖4在同一直角坐標系中作出y=g(x)與y=a的圖象，如圖4，g(1)=12 ，當0 六、求不等式恒成立問題中的參數(shù)范圍 例6（2013年高考新課標全國卷Ⅰ理（11））已知函數(shù)f(x)=-x2+2x,x≤0, ln(x+1),x>0.若|f(x)|≥ax，則a的取值范圍是（ ）. A．(-∞,0］B．(-∞,1］ C．［-2,1］ D． ［-2,0］ 解①當x>0時，由|f(x)|≥ax得a≤f(x)x=ln(x+1)x，令g(x)=ln(x+1)x，則g′(x)=xx+1-ln(x+1)x2，令φ(x)=xx+1-ln(1+x)，則φ′(x)=1(x+1)2-11+x=-x(1+x)2<0， ∴φ(x)在(0,+∞)上是減函數(shù)，∴φ(x)<φ(0)=0，從而g′(x)<0， ∴g(x)在(0,+∞)上是減函數(shù)，又limx→+∞ln(x+1)x=0，故a≤0． ②當x=0時，|f(x)|≥ax顯然成立 ③當x<0時，由|f(x)|≥ax，得a≥|f(x)|x=|-x2+2x|x=x2-2xx=x-2， ∵x-2<-2，∴a≥-2， 綜上知-2≤a≤0，故選D． 例7（2013年高考新課標卷Ⅰ理（21））已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)均過點P(0,2)，且在 點P處有相同切線y=4x+2．（1）求a,b,c,d； （2）若x≥-2時，f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍． 解(1)a=4,b=2,c=2,d=2;(2)由（1）知f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1)， ∴2k(x+1)ex≥x2+4x+2． ①若x>-1，則k≥x2+4x+22(x+1)ex，令h(x)=x2+4x+22(x+1)ex，則h′(x)=-x(x+2)22(x+1)2ex, 令h′(x)>0，得-1 令h′(x)<0，得x>0，h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減， ∴h(x)max=h(0)=1，故k≥1． ②若-2 令h′(x)>0，得-2 ∴h(x)min=h(-2)=e2，故k≤e2． ③若x=-1，f(x)≤kg(x)成立． 綜上，k的取值范圍為［1,e2］． 例8（2013年高考大綱版全國卷文21（2））已知函數(shù)f(x)=x3+3ax2+3x+1，若x∈［2,+∞)時，f(x)≥0，求a的取值范圍． 解當x∈［2,+∞)時，f(x)=x3+3ax2+3x+1≥0等價于a≥-x3-1x-13x2對x≥2恒成立，令g(x)=-x3-1x-13x2，則g′(x)=-13+1x2+23x3 ≤-13+14+224=0, ∴g(x)在［2,+∞)上單調(diào)遞減， ∴g(x)max=-54，故a≥-54． (收稿日期：2013-12-04)
