把握四個點 解好函數圖像題

王麗

函數圖像題在歷年各地高考試題中出現機率很高.那么怎樣才能解好圖像題呢？我認為首先要讀懂題目中有限的文字信息，弄清考查的是哪方面的數學知識，對題目的數量作了哪些說明等等；其次要看清橫縱坐標軸所表示的具體意義；再有就是對整個函數圖像進行多角度認真地分析，這是解好圖像題的關鍵環節.解好函數圖像題關鍵在于把握住它的四個點——起點、折點、交點、終點.下面以近幾年各地高考題為例，對這四個點分別加以說明.

一、起點

起點是一個函數圖像中必備的一個點，它的位置可在原點、x軸或y軸上.在判斷一個圖像是否正確的時候，起點往往是第一個要考慮的因素.

例1（2011年高考江西文10）如圖1，一個“凸輪”放置于直角坐標系X軸上方，其“底端”落在原點O處，一頂點及中心M在Y軸正半軸上，它的外圍由以正三角形的頂點為圓心，以正三角形的邊長為半徑的三段等弧組成.

圖1今使“凸輪”沿X軸正向滾動前進，在滾動過程中“凸輪”每時每刻都有一個“最高點”，其中心也在不斷移動位置，則在“凸輪”滾動一周的過程中，將其“最高點”和“中心點”所形成的圖形按上、下放置，應大致為（ ）

解析根據中心M的位置，可以知道中心并非是出于最低與最高中間的位置，而是稍微偏上，隨著轉動，M的位置會先變高，當頂點到底時，M最高，排除CD選項，而對于最高點，當M最高時，最高點的高度應該與旋轉開始前相同，因此排除B,選A.

二、折點

顧名思義，折點是指圖像在變化過程中方向發生了大的轉變的那個點.它的出現往往是兩個變量中某一變量單方面停止造成的.圖2

例2（2012年高考江西卷文10）如圖2，|OA|=2（單位：m）,|OB|=1(單位：m),OA與OB的夾角為π6，以A為圓心，AB為半徑作圓弧BDC與線段OA延長線交于點C.甲、乙兩質點同時從點O出發，甲先以速率1（單位:m/s）沿線段OB行至點B，再以速率3（單位：m/s）沿圓弧BDC行至點C后停止；乙以速率2（單位：m/s）沿線段OA行至點A后停止.設t時刻甲、乙所到達的兩點連線與它們經過的路徑所圍成圖形的面積為S（t）（S（0）=0），則函數y=S（t）的圖像大致是（）.

解析本題破解的切入點關鍵是抓住幾個重要的時間點，確定不同時間段S（t）的形狀，從而求出解析式，然后根據解析式來確定函數圖象.

由|OA|=2,|OB|=1知，當t≤1時，所圍成的圖形是三角形，易得S（t）=12t2，對應的函數圖象是開口向上的拋物線的一部分；存在t0(t0>1),當t=t0時，甲剛好運動到C，則1

例3(2011年高考安徽理10) 函數f(x)=axm(1-x)n在區間［0,1］上的圖像如圖3所示，則m，n的值可能是().

圖3A.m=1,n=1

B.m=1,n=2

C.m=2,n=1

D.m=3,n=1

解析代入驗證，當m=1,n=2，f(x)=ax(1-x)2=a(x3-2x2+x)，則f ′(x)=a(3x2-4x+1)，由f ′(x)=a(3x2-4x+1)=0可知，x1=13,x2=1，結合圖像可知函數應在(0,13)遞增，在(13,1)遞減，即在x=13處取得最大值，由f(13)=a×13(1-13)2=12，知a存在.故選B.

評注本題考查導數在研究函數單調性中的應用，考查函數圖像，考查思維的綜合能力.

三、交點

圖像題中有意義的交點一般有以下幾種情況：（1）兩條曲線的交點，表示該條件下這兩種數量相同；（2）如果一個圖像經過一系列的變化最后與x軸相交，則表示該點縱坐標取值為零.

圖4例4（2012年高考天津文14）已知函數y=|x2-1|x-1的圖像與函數y=kx的圖像恰有兩個交點，則實數k的取值范圍是.

解析函數

y=|x2-1|x-1

=|(x-1)(x+1)|x-1，當x>1時，y=|x2-1|x-1=|x+1|=x+1，當x<1時，y=|x2-1|x-1=-|x+1|=-x-1,-1≤x<1

x+1,x<-1，綜上函數y=|x2-1|x-1=x+1,x>1

-x-1,-1≤x<1,

x+1,x<-1做出函數的圖象，要使函數y=|x2-1|x-1與y=kx有兩個不同的交點，則直線y=kx必須在陰影區域內，如圖4，則此時當直線經過區域①時，k滿足1

圖5例5（2012年高考新課標文11）當0

A.(0，22) B.(22，1)

C.(1，2) D.(2，2)

解析當a>1時，顯然不成立.若0

四、終點

終點也是一個函數圖像中必備的一個點.不過利用終點直接解題的情況幾乎沒有，更多情況下是利用其與起點或折點所形成的圖像的趨勢來解題.

例6（2012年高考山東卷理9）函數y=cos6x2x-2-x的圖像大致為().

解析因為函數f(x)=cos6x2x-2-x，所以f(-x)=cos6x2-x-2x=-f(x)，故函數為奇函數，當x→0，且x>0時f(x)→+∞；當x→0，且x<0時f(x)→-∞；當x→+∞時，2x-2-x→+∞，f(x)→0；當x→-∞時，2x-2-x→-∞，f(x)→0.答案應選D.

評注本題考查函數的圖象，考查同學們對函數基礎知識的把握程度以及數形結合的思維能力.(收稿日期：2013-12-04)

函數圖像題在歷年各地高考試題中出現機率很高.那么怎樣才能解好圖像題呢？我認為首先要讀懂題目中有限的文字信息，弄清考查的是哪方面的數學知識，對題目的數量作了哪些說明等等；其次要看清橫縱坐標軸所表示的具體意義；再有就是對整個函數圖像進行多角度認真地分析，這是解好圖像題的關鍵環節.解好函數圖像題關鍵在于把握住它的四個點——起點、折點、交點、終點.下面以近幾年各地高考題為例，對這四個點分別加以說明.

一、起點

起點是一個函數圖像中必備的一個點，它的位置可在原點、x軸或y軸上.在判斷一個圖像是否正確的時候，起點往往是第一個要考慮的因素.

例1（2011年高考江西文10）如圖1，一個“凸輪”放置于直角坐標系X軸上方，其“底端”落在原點O處，一頂點及中心M在Y軸正半軸上，它的外圍由以正三角形的頂點為圓心，以正三角形的邊長為半徑的三段等弧組成.

圖1今使“凸輪”沿X軸正向滾動前進，在滾動過程中“凸輪”每時每刻都有一個“最高點”，其中心也在不斷移動位置，則在“凸輪”滾動一周的過程中，將其“最高點”和“中心點”所形成的圖形按上、下放置，應大致為（ ）

解析根據中心M的位置，可以知道中心并非是出于最低與最高中間的位置，而是稍微偏上，隨著轉動，M的位置會先變高，當頂點到底時，M最高，排除CD選項，而對于最高點，當M最高時，最高點的高度應該與旋轉開始前相同，因此排除B,選A.

二、折點

顧名思義，折點是指圖像在變化過程中方向發生了大的轉變的那個點.它的出現往往是兩個變量中某一變量單方面停止造成的.圖2

例2（2012年高考江西卷文10）如圖2，|OA|=2（單位：m）,|OB|=1(單位：m),OA與OB的夾角為π6，以A為圓心，AB為半徑作圓弧BDC與線段OA延長線交于點C.甲、乙兩質點同時從點O出發，甲先以速率1（單位:m/s）沿線段OB行至點B，再以速率3（單位：m/s）沿圓弧BDC行至點C后停止；乙以速率2（單位：m/s）沿線段OA行至點A后停止.設t時刻甲、乙所到達的兩點連線與它們經過的路徑所圍成圖形的面積為S（t）（S（0）=0），則函數y=S（t）的圖像大致是（）.

解析本題破解的切入點關鍵是抓住幾個重要的時間點，確定不同時間段S（t）的形狀，從而求出解析式，然后根據解析式來確定函數圖象.

由|OA|=2,|OB|=1知，當t≤1時，所圍成的圖形是三角形，易得S（t）=12t2，對應的函數圖象是開口向上的拋物線的一部分；存在t0(t0>1),當t=t0時，甲剛好運動到C，則1

例3(2011年高考安徽理10) 函數f(x)=axm(1-x)n在區間［0,1］上的圖像如圖3所示，則m，n的值可能是().

圖3A.m=1,n=1

B.m=1,n=2

C.m=2,n=1

D.m=3,n=1

解析代入驗證，當m=1,n=2，f(x)=ax(1-x)2=a(x3-2x2+x)，則f ′(x)=a(3x2-4x+1)，由f ′(x)=a(3x2-4x+1)=0可知，x1=13,x2=1，結合圖像可知函數應在(0,13)遞增，在(13,1)遞減，即在x=13處取得最大值，由f(13)=a×13(1-13)2=12，知a存在.故選B.

評注本題考查導數在研究函數單調性中的應用，考查函數圖像，考查思維的綜合能力.

三、交點

圖像題中有意義的交點一般有以下幾種情況：（1）兩條曲線的交點，表示該條件下這兩種數量相同；（2）如果一個圖像經過一系列的變化最后與x軸相交，則表示該點縱坐標取值為零.

圖4例4（2012年高考天津文14）已知函數y=|x2-1|x-1的圖像與函數y=kx的圖像恰有兩個交點，則實數k的取值范圍是.

解析函數

y=|x2-1|x-1

=|(x-1)(x+1)|x-1，當x>1時，y=|x2-1|x-1=|x+1|=x+1，當x<1時，y=|x2-1|x-1=-|x+1|=-x-1,-1≤x<1

x+1,x<-1，綜上函數y=|x2-1|x-1=x+1,x>1

-x-1,-1≤x<1,

x+1,x<-1做出函數的圖象，要使函數y=|x2-1|x-1與y=kx有兩個不同的交點，則直線y=kx必須在陰影區域內，如圖4，則此時當直線經過區域①時，k滿足1

圖5例5（2012年高考新課標文11）當0

A.(0，22) B.(22，1)

C.(1，2) D.(2，2)

解析當a>1時，顯然不成立.若0

四、終點

終點也是一個函數圖像中必備的一個點.不過利用終點直接解題的情況幾乎沒有，更多情況下是利用其與起點或折點所形成的圖像的趨勢來解題.

例6（2012年高考山東卷理9）函數y=cos6x2x-2-x的圖像大致為().

解析因為函數f(x)=cos6x2x-2-x，所以f(-x)=cos6x2-x-2x=-f(x)，故函數為奇函數，當x→0，且x>0時f(x)→+∞；當x→0，且x<0時f(x)→-∞；當x→+∞時，2x-2-x→+∞，f(x)→0；當x→-∞時，2x-2-x→-∞，f(x)→0.答案應選D.

評注本題考查函數的圖象，考查同學們對函數基礎知識的把握程度以及數形結合的思維能力.(收稿日期：2013-12-04)

函數圖像題在歷年各地高考試題中出現機率很高.那么怎樣才能解好圖像題呢？我認為首先要讀懂題目中有限的文字信息，弄清考查的是哪方面的數學知識，對題目的數量作了哪些說明等等；其次要看清橫縱坐標軸所表示的具體意義；再有就是對整個函數圖像進行多角度認真地分析，這是解好圖像題的關鍵環節.解好函數圖像題關鍵在于把握住它的四個點——起點、折點、交點、終點.下面以近幾年各地高考題為例，對這四個點分別加以說明.

一、起點

起點是一個函數圖像中必備的一個點，它的位置可在原點、x軸或y軸上.在判斷一個圖像是否正確的時候，起點往往是第一個要考慮的因素.

例1（2011年高考江西文10）如圖1，一個“凸輪”放置于直角坐標系X軸上方，其“底端”落在原點O處，一頂點及中心M在Y軸正半軸上，它的外圍由以正三角形的頂點為圓心，以正三角形的邊長為半徑的三段等弧組成.

圖1今使“凸輪”沿X軸正向滾動前進，在滾動過程中“凸輪”每時每刻都有一個“最高點”，其中心也在不斷移動位置，則在“凸輪”滾動一周的過程中，將其“最高點”和“中心點”所形成的圖形按上、下放置，應大致為（ ）

解析根據中心M的位置，可以知道中心并非是出于最低與最高中間的位置，而是稍微偏上，隨著轉動，M的位置會先變高，當頂點到底時，M最高，排除CD選項，而對于最高點，當M最高時，最高點的高度應該與旋轉開始前相同，因此排除B,選A.

二、折點

顧名思義，折點是指圖像在變化過程中方向發生了大的轉變的那個點.它的出現往往是兩個變量中某一變量單方面停止造成的.圖2

例2（2012年高考江西卷文10）如圖2，|OA|=2（單位：m）,|OB|=1(單位：m),OA與OB的夾角為π6，以A為圓心，AB為半徑作圓弧BDC與線段OA延長線交于點C.甲、乙兩質點同時從點O出發，甲先以速率1（單位:m/s）沿線段OB行至點B，再以速率3（單位：m/s）沿圓弧BDC行至點C后停止；乙以速率2（單位：m/s）沿線段OA行至點A后停止.設t時刻甲、乙所到達的兩點連線與它們經過的路徑所圍成圖形的面積為S（t）（S（0）=0），則函數y=S（t）的圖像大致是（）.

解析本題破解的切入點關鍵是抓住幾個重要的時間點，確定不同時間段S（t）的形狀，從而求出解析式，然后根據解析式來確定函數圖象.

由|OA|=2,|OB|=1知，當t≤1時，所圍成的圖形是三角形，易得S（t）=12t2，對應的函數圖象是開口向上的拋物線的一部分；存在t0(t0>1),當t=t0時，甲剛好運動到C，則1

例3(2011年高考安徽理10) 函數f(x)=axm(1-x)n在區間［0,1］上的圖像如圖3所示，則m，n的值可能是().

圖3A.m=1,n=1

B.m=1,n=2

C.m=2,n=1

D.m=3,n=1

解析代入驗證，當m=1,n=2，f(x)=ax(1-x)2=a(x3-2x2+x)，則f ′(x)=a(3x2-4x+1)，由f ′(x)=a(3x2-4x+1)=0可知，x1=13,x2=1，結合圖像可知函數應在(0,13)遞增，在(13,1)遞減，即在x=13處取得最大值，由f(13)=a×13(1-13)2=12，知a存在.故選B.

評注本題考查導數在研究函數單調性中的應用，考查函數圖像，考查思維的綜合能力.

三、交點

圖像題中有意義的交點一般有以下幾種情況：（1）兩條曲線的交點，表示該條件下這兩種數量相同；（2）如果一個圖像經過一系列的變化最后與x軸相交，則表示該點縱坐標取值為零.

圖4例4（2012年高考天津文14）已知函數y=|x2-1|x-1的圖像與函數y=kx的圖像恰有兩個交點，則實數k的取值范圍是.

解析函數

y=|x2-1|x-1

=|(x-1)(x+1)|x-1，當x>1時，y=|x2-1|x-1=|x+1|=x+1，當x<1時，y=|x2-1|x-1=-|x+1|=-x-1,-1≤x<1

x+1,x<-1，綜上函數y=|x2-1|x-1=x+1,x>1

-x-1,-1≤x<1,

x+1,x<-1做出函數的圖象，要使函數y=|x2-1|x-1與y=kx有兩個不同的交點，則直線y=kx必須在陰影區域內，如圖4，則此時當直線經過區域①時，k滿足1

圖5例5（2012年高考新課標文11）當0

A.(0，22) B.(22，1)

C.(1，2) D.(2，2)

解析當a>1時，顯然不成立.若0

四、終點

終點也是一個函數圖像中必備的一個點.不過利用終點直接解題的情況幾乎沒有，更多情況下是利用其與起點或折點所形成的圖像的趨勢來解題.

例6（2012年高考山東卷理9）函數y=cos6x2x-2-x的圖像大致為().

解析因為函數f(x)=cos6x2x-2-x，所以f(-x)=cos6x2-x-2x=-f(x)，故函數為奇函數，當x→0，且x>0時f(x)→+∞；當x→0，且x<0時f(x)→-∞；當x→+∞時，2x-2-x→+∞，f(x)→0；當x→-∞時，2x-2-x→-∞，f(x)→0.答案應選D.

評注本題考查函數的圖象，考查同學們對函數基礎知識的把握程度以及數形結合的思維能力.(收稿日期：2013-12-04)