例談物理問題中的循環制約關系

李巖+甄學霞+李興

影響事物的發展的因素有很多，有一句話“一只南美洲亞馬孫河流域熱帶雨林中的蝴蝶，偶爾扇動幾下翅膀，可能在兩周后在美國德克薩斯引起一場龍卷風.”說的就是這個道理.同樣，在物理學中，這種相互制約的現象也比比皆是.尤其是在有些物理量之間存在著某種封閉的循環制約關系.打個比方，在一個三口之家中，爸爸管著兒子，兒子管著媽媽，媽媽又管著爸爸，彼此約束又相互制衡，可謂是牽一發而動全身.在教學實踐中筆者發現，學生對于這類物理問題的解決往往束手無策.現舉幾例加以說明.

一、汽車以恒定功率啟動問題

汽車以恒定功率啟動時，速度不斷增大，由于功率保持不變，故牽引力不斷減小，加速度也不斷減小，只要加速度還未等于零，速度就繼續增大，進而牽引力還要繼續減小…這是一種典型的循環制約的動態關系，直到牽引力等于阻力時，加速度等于零，汽車達到最大速度這一穩定狀態為止.

例1（2011年廣東六校聯考）汽車以恒定功率在平直公路上勻速行駛，在t1時刻司機減小了油門，使汽車的功率立即減小了一半，并保持該功率繼續行駛，到t2時刻汽車又開始做勻速直線運動（設整個過程中汽車所受的阻力不變），則在t1-t2時間內().

A.汽車的加速度逐漸減小

B.汽車的加速度逐漸增大

C.汽車的速度逐漸減小

D.汽車的速度逐漸增大

解析原來汽車勻速行駛時，牽引力等于阻力，t1時刻油門減小，功率瞬間變為原來的一半，而此時速度尚未來得及發生變化，由公式P=Fv知，牽引力瞬間也減為原來的一半，由于阻力保持不變，所以汽車立刻開始減速.又由于此后功率保持不變，速度減小，故牽引力又從最初的一半開始增加，根據f-F=ma知減速時的加速度減小，當牽引力再次等于阻力時，汽車以更小速度勻速運動.故本題答案選A、C.

二、帶電體在勻強磁場中的運動

當一個帶電體在勻強磁場中運動時，速度的變化會影響到洛倫茲力的大小，洛倫茲力的大小變化會影響到壓力的變化，而壓力的變化進而會影響到摩擦力的變化，從而影響帶電體的加速度變化，而加速度的變化最終又會影響到速度的變化；這樣的一種循環式的相互作用最終要達到一種什么樣的運動狀態呢？請看例 .

圖1例2如圖1所示，在一絕緣、粗糙且足夠長的水平管道中有一帶電量為+q、質量為m的帶電球體，管道半徑略大于球體半徑，整個管道處于磁感應強度為B的水平勻強磁場中，磁感應強度方向與管道垂直，現給帶電體一個水平速度v0，則在整個運動過程中，帶電球體克服摩擦力所做的功可能為（）.

A.0B.12m(mgqB)2

C.12mv20D.12m［v20-(mgqB)2］

解析結合左手定則對小球進行受力分析可知：當v0剛好滿足：qv0B=mg①時，小球不受滑動摩擦力作用一直做勻速直線運動，故摩擦力做功為零；當qv0Bmg時，小球受到向下的壓力，滿足方程： N+mg=qvB ④，f與v反向并結合②③④式可得：當v↓時，N↓,f↓,a↓,v↓…… 最終當N=0時，f=0，a=0，小球先做加速度越來越小的變減速運動，最終勻速運動，勻速時滿足：qv1B=mg ⑤，由動能定理還可得克服摩擦力所做的功為：Wf=12mv20-12mv21⑥.聯立⑤⑥兩式得：Wf=12m［v20-(mgqB)2］.綜上所述，本題正確答案為A、B、C.

三、帶電體在復合場中的運動

帶電粒子在復合場中的運動歷年來都是高考考查的重點和難點，涉及到的題型主要有選擇題和計算題.由于多種力場的存在，會使物理情景發生更多的變化.

圖2例3如圖2所示，在水平勻強電場和垂直紙面向里的勻強磁場中，在豎直方向固定一豎直足夠長固定絕緣桿MN，小球P套在桿上，已知P的質量為m，電量為+q，電場強度為E、磁感應強度為B，P與桿間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g.小球由靜止開始下滑直到穩定的過程中().

A.小球的加速度一直減小

B.小球的機械能和電勢能的總和保持不變

C.下滑加速度為最大加速度一半時的速度可能是v=2μqE-mg2μqB

D.下滑加速度為最大加速度一半時的速度可能是v=2μqE+mg2μqB

解析小球由靜止開始運動，最初由于速度很小，洛倫茲力很小，桿對小球的彈力N方向向右，水平方向受力平衡得：N+qvB=qE ①；摩擦力滿足方程：f=μN②；豎直方向由牛頓第二定律得：mg-f=ma③.根據以上三式可得：當v↑時，N↓,f↓,a↑，a的方向和大小決定著v的變化快慢，v的變化又決定了N的變化，N的變化又決定了f的大小，而f的變化又反過來影響著a的變化;這又是一種具有一定方向性的循環制約關系，特別類似于生物學上的“食物鏈”.當N=0的瞬間，f=0，amax=g，加速度達到最大值.此后速度要繼續增加，進而導致彈力N反向，①式隨之變為：qvB=N+qE④，由②③④知：當v↑時，N↑,f↑,a↓，直至當f=mg時，a=0，此時有最大速度vmax=mg+μqEμqE，此后小球按此速度勻速向下運動.故小球的加速度變化規律為先增加后減小直至等于零，故A錯；由于小球在等勢面上運動，電勢能不變，但是小球要克服摩擦力做功，故小球的機械能減少，B也錯誤；在加速度增加階段，當a=12g時滿足：mg-μ(qE-qv1B)=ma⑤；在加速度減小階段，當a=12g時滿足：mg-μ(qv2B-qE)=ma⑥.根據⑤⑥兩式分別解得：v1=2μqE-mg2μqB,v2=2μqE+mg2μqB .故本題正確答案為C和D.

處理這類問題時，找準各物理量之間所遵循的規律和它們之間的動態相互制約關系以及最終要達到的穩定狀態是極為重要的.

四、導體棒在含容電磁感應中的運動

含容問題一直都是學生學習的薄弱環節，特別是含容電路與電磁感應相結合時更是令許多學生頭痛不已.請看下面的例題.

圖3例4如圖3所示，在豎直放置的兩條平行光滑長直導軌的上端，接有一電容為C擊穿電壓足夠大的電容器，有一勻強磁場與導軌平面垂直，磁感應強度為B.現有一與導軌接觸良好的質量為m、長為L 的金屬棒ef，從靜止開始沿導軌下滑.試求：金屬棒下滑的加速度表達式.（圖中任何部分的電阻和電感均忽略不計）

解析金屬棒ef在其自身重力作用下向下加速，由于電路中的電阻和電感均忽略不計，所以在運動過程中的任一時刻，電容器兩板間的電壓等于導體棒的切割電動勢，即：UC=BLv，相當于ef給電容器充電，電路中就會有充電電流，從而導體棒就會受到安培力的作用，對運動過程中某一時刻的導體棒由牛頓第二定律得： mg-ILB=ma①，該式說明了I的大小決定了a的大小；對充電中的電容器取一極短時間進行分析有：I=ΔQΔt=CΔUCΔt=CBLΔvΔt=CBLa，即：I=CBLa ②，該式反過來說明了a的大小也決定著I的數值.聯立①②兩式解得：a=mm+CB2L2g.

解決這個問題的關鍵在于：如何在導體棒不斷的給電容器充電的動態過程中通過電容器去尋找電流與加速度之間的關系；而在對導體棒應用牛頓第二定律時恰好又可以再次得到加速度與電流之間的制約關系.這樣最終可得加速度的表達式.加速度為定值，反映出導體棒的速度在均勻增加，從而導致電容器極板間的電壓也在均勻增加，電路中才會有恒定的電流，導體棒才會受到恒定的安培力作用，這也恰好驗證了導體棒加速度為定值這一循環相互作用的最終結果.

總之，在許多物理過程中，物理量之間的關系是錯綜復雜的，只要進行抽絲剝繭般地分析、推理，就一定可以從“山重水復疑無路”的迷霧走向“柳暗花明又一村”的洞天之地.

(收稿日期：2014-02-16)

影響事物的發展的因素有很多，有一句話“一只南美洲亞馬孫河流域熱帶雨林中的蝴蝶，偶爾扇動幾下翅膀，可能在兩周后在美國德克薩斯引起一場龍卷風.”說的就是這個道理.同樣，在物理學中，這種相互制約的現象也比比皆是.尤其是在有些物理量之間存在著某種封閉的循環制約關系.打個比方，在一個三口之家中，爸爸管著兒子，兒子管著媽媽，媽媽又管著爸爸，彼此約束又相互制衡，可謂是牽一發而動全身.在教學實踐中筆者發現，學生對于這類物理問題的解決往往束手無策.現舉幾例加以說明.

一、汽車以恒定功率啟動問題

汽車以恒定功率啟動時，速度不斷增大，由于功率保持不變，故牽引力不斷減小，加速度也不斷減小，只要加速度還未等于零，速度就繼續增大，進而牽引力還要繼續減小…這是一種典型的循環制約的動態關系，直到牽引力等于阻力時，加速度等于零，汽車達到最大速度這一穩定狀態為止.

例1（2011年廣東六校聯考）汽車以恒定功率在平直公路上勻速行駛，在t1時刻司機減小了油門，使汽車的功率立即減小了一半，并保持該功率繼續行駛，到t2時刻汽車又開始做勻速直線運動（設整個過程中汽車所受的阻力不變），則在t1-t2時間內().

A.汽車的加速度逐漸減小

B.汽車的加速度逐漸增大

C.汽車的速度逐漸減小

D.汽車的速度逐漸增大

解析原來汽車勻速行駛時，牽引力等于阻力，t1時刻油門減小，功率瞬間變為原來的一半，而此時速度尚未來得及發生變化，由公式P=Fv知，牽引力瞬間也減為原來的一半，由于阻力保持不變，所以汽車立刻開始減速.又由于此后功率保持不變，速度減小，故牽引力又從最初的一半開始增加，根據f-F=ma知減速時的加速度減小，當牽引力再次等于阻力時，汽車以更小速度勻速運動.故本題答案選A、C.

二、帶電體在勻強磁場中的運動

當一個帶電體在勻強磁場中運動時，速度的變化會影響到洛倫茲力的大小，洛倫茲力的大小變化會影響到壓力的變化，而壓力的變化進而會影響到摩擦力的變化，從而影響帶電體的加速度變化，而加速度的變化最終又會影響到速度的變化；這樣的一種循環式的相互作用最終要達到一種什么樣的運動狀態呢？請看例 .

圖1例2如圖1所示，在一絕緣、粗糙且足夠長的水平管道中有一帶電量為+q、質量為m的帶電球體，管道半徑略大于球體半徑，整個管道處于磁感應強度為B的水平勻強磁場中，磁感應強度方向與管道垂直，現給帶電體一個水平速度v0，則在整個運動過程中，帶電球體克服摩擦力所做的功可能為（）.

A.0B.12m(mgqB)2

C.12mv20D.12m［v20-(mgqB)2］

解析結合左手定則對小球進行受力分析可知：當v0剛好滿足：qv0B=mg①時，小球不受滑動摩擦力作用一直做勻速直線運動，故摩擦力做功為零；當qv0Bmg時，小球受到向下的壓力，滿足方程： N+mg=qvB ④，f與v反向并結合②③④式可得：當v↓時，N↓,f↓,a↓,v↓…… 最終當N=0時，f=0，a=0，小球先做加速度越來越小的變減速運動，最終勻速運動，勻速時滿足：qv1B=mg ⑤，由動能定理還可得克服摩擦力所做的功為：Wf=12mv20-12mv21⑥.聯立⑤⑥兩式得：Wf=12m［v20-(mgqB)2］.綜上所述，本題正確答案為A、B、C.

三、帶電體在復合場中的運動

帶電粒子在復合場中的運動歷年來都是高考考查的重點和難點，涉及到的題型主要有選擇題和計算題.由于多種力場的存在，會使物理情景發生更多的變化.

圖2例3如圖2所示，在水平勻強電場和垂直紙面向里的勻強磁場中，在豎直方向固定一豎直足夠長固定絕緣桿MN，小球P套在桿上，已知P的質量為m，電量為+q，電場強度為E、磁感應強度為B，P與桿間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g.小球由靜止開始下滑直到穩定的過程中().

A.小球的加速度一直減小

B.小球的機械能和電勢能的總和保持不變

C.下滑加速度為最大加速度一半時的速度可能是v=2μqE-mg2μqB

D.下滑加速度為最大加速度一半時的速度可能是v=2μqE+mg2μqB

解析小球由靜止開始運動，最初由于速度很小，洛倫茲力很小，桿對小球的彈力N方向向右，水平方向受力平衡得：N+qvB=qE ①；摩擦力滿足方程：f=μN②；豎直方向由牛頓第二定律得：mg-f=ma③.根據以上三式可得：當v↑時，N↓,f↓,a↑，a的方向和大小決定著v的變化快慢，v的變化又決定了N的變化，N的變化又決定了f的大小，而f的變化又反過來影響著a的變化;這又是一種具有一定方向性的循環制約關系，特別類似于生物學上的“食物鏈”.當N=0的瞬間，f=0，amax=g，加速度達到最大值.此后速度要繼續增加，進而導致彈力N反向，①式隨之變為：qvB=N+qE④，由②③④知：當v↑時，N↑,f↑,a↓，直至當f=mg時，a=0，此時有最大速度vmax=mg+μqEμqE，此后小球按此速度勻速向下運動.故小球的加速度變化規律為先增加后減小直至等于零，故A錯；由于小球在等勢面上運動，電勢能不變，但是小球要克服摩擦力做功，故小球的機械能減少，B也錯誤；在加速度增加階段，當a=12g時滿足：mg-μ(qE-qv1B)=ma⑤；在加速度減小階段，當a=12g時滿足：mg-μ(qv2B-qE)=ma⑥.根據⑤⑥兩式分別解得：v1=2μqE-mg2μqB,v2=2μqE+mg2μqB .故本題正確答案為C和D.

處理這類問題時，找準各物理量之間所遵循的規律和它們之間的動態相互制約關系以及最終要達到的穩定狀態是極為重要的.

四、導體棒在含容電磁感應中的運動

含容問題一直都是學生學習的薄弱環節，特別是含容電路與電磁感應相結合時更是令許多學生頭痛不已.請看下面的例題.

圖3例4如圖3所示，在豎直放置的兩條平行光滑長直導軌的上端，接有一電容為C擊穿電壓足夠大的電容器，有一勻強磁場與導軌平面垂直，磁感應強度為B.現有一與導軌接觸良好的質量為m、長為L 的金屬棒ef，從靜止開始沿導軌下滑.試求：金屬棒下滑的加速度表達式.（圖中任何部分的電阻和電感均忽略不計）

解析金屬棒ef在其自身重力作用下向下加速，由于電路中的電阻和電感均忽略不計，所以在運動過程中的任一時刻，電容器兩板間的電壓等于導體棒的切割電動勢，即：UC=BLv，相當于ef給電容器充電，電路中就會有充電電流，從而導體棒就會受到安培力的作用，對運動過程中某一時刻的導體棒由牛頓第二定律得： mg-ILB=ma①，該式說明了I的大小決定了a的大小；對充電中的電容器取一極短時間進行分析有：I=ΔQΔt=CΔUCΔt=CBLΔvΔt=CBLa，即：I=CBLa ②，該式反過來說明了a的大小也決定著I的數值.聯立①②兩式解得：a=mm+CB2L2g.

解決這個問題的關鍵在于：如何在導體棒不斷的給電容器充電的動態過程中通過電容器去尋找電流與加速度之間的關系；而在對導體棒應用牛頓第二定律時恰好又可以再次得到加速度與電流之間的制約關系.這樣最終可得加速度的表達式.加速度為定值，反映出導體棒的速度在均勻增加，從而導致電容器極板間的電壓也在均勻增加，電路中才會有恒定的電流，導體棒才會受到恒定的安培力作用，這也恰好驗證了導體棒加速度為定值這一循環相互作用的最終結果.

總之，在許多物理過程中，物理量之間的關系是錯綜復雜的，只要進行抽絲剝繭般地分析、推理，就一定可以從“山重水復疑無路”的迷霧走向“柳暗花明又一村”的洞天之地.

(收稿日期：2014-02-16)

影響事物的發展的因素有很多，有一句話“一只南美洲亞馬孫河流域熱帶雨林中的蝴蝶，偶爾扇動幾下翅膀，可能在兩周后在美國德克薩斯引起一場龍卷風.”說的就是這個道理.同樣，在物理學中，這種相互制約的現象也比比皆是.尤其是在有些物理量之間存在著某種封閉的循環制約關系.打個比方，在一個三口之家中，爸爸管著兒子，兒子管著媽媽，媽媽又管著爸爸，彼此約束又相互制衡，可謂是牽一發而動全身.在教學實踐中筆者發現，學生對于這類物理問題的解決往往束手無策.現舉幾例加以說明.

一、汽車以恒定功率啟動問題

汽車以恒定功率啟動時，速度不斷增大，由于功率保持不變，故牽引力不斷減小，加速度也不斷減小，只要加速度還未等于零，速度就繼續增大，進而牽引力還要繼續減小…這是一種典型的循環制約的動態關系，直到牽引力等于阻力時，加速度等于零，汽車達到最大速度這一穩定狀態為止.

例1（2011年廣東六校聯考）汽車以恒定功率在平直公路上勻速行駛，在t1時刻司機減小了油門，使汽車的功率立即減小了一半，并保持該功率繼續行駛，到t2時刻汽車又開始做勻速直線運動（設整個過程中汽車所受的阻力不變），則在t1-t2時間內().

A.汽車的加速度逐漸減小

B.汽車的加速度逐漸增大

C.汽車的速度逐漸減小

D.汽車的速度逐漸增大

解析原來汽車勻速行駛時，牽引力等于阻力，t1時刻油門減小，功率瞬間變為原來的一半，而此時速度尚未來得及發生變化，由公式P=Fv知，牽引力瞬間也減為原來的一半，由于阻力保持不變，所以汽車立刻開始減速.又由于此后功率保持不變，速度減小，故牽引力又從最初的一半開始增加，根據f-F=ma知減速時的加速度減小，當牽引力再次等于阻力時，汽車以更小速度勻速運動.故本題答案選A、C.

二、帶電體在勻強磁場中的運動

當一個帶電體在勻強磁場中運動時，速度的變化會影響到洛倫茲力的大小，洛倫茲力的大小變化會影響到壓力的變化，而壓力的變化進而會影響到摩擦力的變化，從而影響帶電體的加速度變化，而加速度的變化最終又會影響到速度的變化；這樣的一種循環式的相互作用最終要達到一種什么樣的運動狀態呢？請看例 .

圖1例2如圖1所示，在一絕緣、粗糙且足夠長的水平管道中有一帶電量為+q、質量為m的帶電球體，管道半徑略大于球體半徑，整個管道處于磁感應強度為B的水平勻強磁場中，磁感應強度方向與管道垂直，現給帶電體一個水平速度v0，則在整個運動過程中，帶電球體克服摩擦力所做的功可能為（）.

A.0B.12m(mgqB)2

C.12mv20D.12m［v20-(mgqB)2］

解析結合左手定則對小球進行受力分析可知：當v0剛好滿足：qv0B=mg①時，小球不受滑動摩擦力作用一直做勻速直線運動，故摩擦力做功為零；當qv0Bmg時，小球受到向下的壓力，滿足方程： N+mg=qvB ④，f與v反向并結合②③④式可得：當v↓時，N↓,f↓,a↓,v↓…… 最終當N=0時，f=0，a=0，小球先做加速度越來越小的變減速運動，最終勻速運動，勻速時滿足：qv1B=mg ⑤，由動能定理還可得克服摩擦力所做的功為：Wf=12mv20-12mv21⑥.聯立⑤⑥兩式得：Wf=12m［v20-(mgqB)2］.綜上所述，本題正確答案為A、B、C.

三、帶電體在復合場中的運動

帶電粒子在復合場中的運動歷年來都是高考考查的重點和難點，涉及到的題型主要有選擇題和計算題.由于多種力場的存在，會使物理情景發生更多的變化.

圖2例3如圖2所示，在水平勻強電場和垂直紙面向里的勻強磁場中，在豎直方向固定一豎直足夠長固定絕緣桿MN，小球P套在桿上，已知P的質量為m，電量為+q，電場強度為E、磁感應強度為B，P與桿間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g.小球由靜止開始下滑直到穩定的過程中().

A.小球的加速度一直減小

B.小球的機械能和電勢能的總和保持不變

C.下滑加速度為最大加速度一半時的速度可能是v=2μqE-mg2μqB

D.下滑加速度為最大加速度一半時的速度可能是v=2μqE+mg2μqB

解析小球由靜止開始運動，最初由于速度很小，洛倫茲力很小，桿對小球的彈力N方向向右，水平方向受力平衡得：N+qvB=qE ①；摩擦力滿足方程：f=μN②；豎直方向由牛頓第二定律得：mg-f=ma③.根據以上三式可得：當v↑時，N↓,f↓,a↑，a的方向和大小決定著v的變化快慢，v的變化又決定了N的變化，N的變化又決定了f的大小，而f的變化又反過來影響著a的變化;這又是一種具有一定方向性的循環制約關系，特別類似于生物學上的“食物鏈”.當N=0的瞬間，f=0，amax=g，加速度達到最大值.此后速度要繼續增加，進而導致彈力N反向，①式隨之變為：qvB=N+qE④，由②③④知：當v↑時，N↑,f↑,a↓，直至當f=mg時，a=0，此時有最大速度vmax=mg+μqEμqE，此后小球按此速度勻速向下運動.故小球的加速度變化規律為先增加后減小直至等于零，故A錯；由于小球在等勢面上運動，電勢能不變，但是小球要克服摩擦力做功，故小球的機械能減少，B也錯誤；在加速度增加階段，當a=12g時滿足：mg-μ(qE-qv1B)=ma⑤；在加速度減小階段，當a=12g時滿足：mg-μ(qv2B-qE)=ma⑥.根據⑤⑥兩式分別解得：v1=2μqE-mg2μqB,v2=2μqE+mg2μqB .故本題正確答案為C和D.

處理這類問題時，找準各物理量之間所遵循的規律和它們之間的動態相互制約關系以及最終要達到的穩定狀態是極為重要的.

四、導體棒在含容電磁感應中的運動

含容問題一直都是學生學習的薄弱環節，特別是含容電路與電磁感應相結合時更是令許多學生頭痛不已.請看下面的例題.

圖3例4如圖3所示，在豎直放置的兩條平行光滑長直導軌的上端，接有一電容為C擊穿電壓足夠大的電容器，有一勻強磁場與導軌平面垂直，磁感應強度為B.現有一與導軌接觸良好的質量為m、長為L 的金屬棒ef，從靜止開始沿導軌下滑.試求：金屬棒下滑的加速度表達式.（圖中任何部分的電阻和電感均忽略不計）

解析金屬棒ef在其自身重力作用下向下加速，由于電路中的電阻和電感均忽略不計，所以在運動過程中的任一時刻，電容器兩板間的電壓等于導體棒的切割電動勢，即：UC=BLv，相當于ef給電容器充電，電路中就會有充電電流，從而導體棒就會受到安培力的作用，對運動過程中某一時刻的導體棒由牛頓第二定律得： mg-ILB=ma①，該式說明了I的大小決定了a的大小；對充電中的電容器取一極短時間進行分析有：I=ΔQΔt=CΔUCΔt=CBLΔvΔt=CBLa，即：I=CBLa ②，該式反過來說明了a的大小也決定著I的數值.聯立①②兩式解得：a=mm+CB2L2g.

解決這個問題的關鍵在于：如何在導體棒不斷的給電容器充電的動態過程中通過電容器去尋找電流與加速度之間的關系；而在對導體棒應用牛頓第二定律時恰好又可以再次得到加速度與電流之間的制約關系.這樣最終可得加速度的表達式.加速度為定值，反映出導體棒的速度在均勻增加，從而導致電容器極板間的電壓也在均勻增加，電路中才會有恒定的電流，導體棒才會受到恒定的安培力作用，這也恰好驗證了導體棒加速度為定值這一循環相互作用的最終結果.

總之，在許多物理過程中，物理量之間的關系是錯綜復雜的，只要進行抽絲剝繭般地分析、推理，就一定可以從“山重水復疑無路”的迷霧走向“柳暗花明又一村”的洞天之地.

(收稿日期：2014-02-16)