由一道選擇題引發的思考

俞世平

問題若角α為某三角形的一內角，且sinα+cosα=15，則tanα的值為（ ）.

A．-34B．34 C．-43 D． 43

這是根據人民教育出版社A版第147頁B組第一題改編的一道選擇題，在三角函數的考試題中非常常見.

方法1∵sinα+cosα=2sin(α+π4)，∴sin(α+π4)=152≤22，且π4≤α+π4≤5π4，結合正弦函數的圖像可以知道π2≤α+π4≤π, ∴π2≤α≤3π4，|cosα|＜|sinα|， 從而有tanα＜-1, ∴選C.

方法2由sinα+cosα=15可以知道α為鈍角 ， 并且|cosα|＜|sinα|,即有tanα＜-1， ∴選C.

這兩種方法都是通過對tanα的范圍的估計得到答案的，簡稱估值法.方法1用α為某三角形的一個內角，通過對α范圍的限制，得到tanα的范圍；方法2從sinα+cosα=15的范圍出發，考慮到sinα＞0， cosα＜0 ，且|cosα|＜|sinα|，再用tanα的范圍得到選項 .從三角函數角度的范圍和函數值的范圍出發考慮問題是處理三角函數問題的常規方法.

方法3通過方法1可知π2≤α≤3π4，結合問題的選項可以構造如圖1所示的直角△ABC ，其中邊長AB=5、AC=3、BC=4，α是直角△ABC一個銳角A的外角,∴tan=-43,∴選C.

這種方法應用角α的范圍和選擇題的選項構造了一個直角三角形，通過數形結合的方式直觀的解決了問題.構造直角三角形的方法，可以實現同角三角函數值之間進行順利的轉換，是三圖1角函數求值的快法.

方法4把sinα+cosα=15

兩邊平方得：1+2sinαcosα=125，

∴2sinαcosαsin2α+cos2α=-2425，化成：tanαtan2α+1=-1225,即12tan2α+25tanα+12=0 ，由此可解得：tanα=-43或-34，考慮到tanα＜-1, ∴tanα=-43,∴選C.

方法5把sinα+cosα=15,兩邊平方得：1+2sinαcosα=125，2sinαcosα=-2425

∴(sinα-cosα)2=4925，再由sinα＞0，cosα＜0得：sinα-cosα=57,

∴sinα-cosαsinα+cosα=17 即tanα-1tanα+1=17

∴tanα=-43,∴選C.

這兩種方法都是求tanα值的方法，方法4通過1的代換和同角三角函數值之間的轉換，建立了關于tanα的一元二次方程，求出tanα的值后，通過tanα＜-1進行根的取舍；方法5利用已知條件建立了關于tanα的一元分式方程，直接求出了tanα的值.

方法6由方程組sinα+cosα=15

sin2α+cos2α=1 中消去cosα得：sin2α+(15-sinα)2=1，化簡成25sin2α-5sinα-12=0，可以解得sinα=45或sinα=-35，∵sinα＞0，

∴sinα=45，結合方法1知道π2≤α≤3π4，∴cosα=-35, 故tanα=-43

∴選C.

方法7把sinα+cosα=15,兩邊平方得：

1+2sinαcosα=125，2sinαcosα=-2425

∴(sinα-cosα)2=4925，再由sinα＞0，cosα＜0得：sinα-cosα=75，

從方程組sinα+cosα=15

sin2α+cos2α=1中解出sinα=45

cosα=-35

∴tanα=-43,∴選C.

方法8由方法1知道sin(α+π4)=152，π4≤α+π4≤π,∴cos(α+π4)=-752

cosα=cos［(α+π4)-π4］=cos(α+π4)cosπ4-sin(α+π4)sinπ4=-35,sinα=45

∴tanα=-43,∴選C.

這三種方法都是以求sinα和cosα的函數值為線索進行的.方法6和7都應用的是方程組法，方法8應用了角度變換的方法.

選擇題求解過程的要求，一是準確性，二是處理問題的速度.在所有方法中都需要三角形中角度范圍的確定，函數值范圍的確定，同角三角函數值之間的溝通，溝通的方法多種多樣.前三種方法是簡單方法，后四種方法是常規方法，雖然比較麻煩.但是它們的處理過程很好的應用了三角函數幾乎所有內容和經典的方法，對于構筑學生的知識結構和思維結構有很好的作用.是學習三角函數內容的經典問題.

(收稿日期：2013-10-17)

問題若角α為某三角形的一內角，且sinα+cosα=15，則tanα的值為（ ）.

A．-34B．34 C．-43 D． 43

這是根據人民教育出版社A版第147頁B組第一題改編的一道選擇題，在三角函數的考試題中非常常見.

方法1∵sinα+cosα=2sin(α+π4)，∴sin(α+π4)=152≤22，且π4≤α+π4≤5π4，結合正弦函數的圖像可以知道π2≤α+π4≤π, ∴π2≤α≤3π4，|cosα|＜|sinα|， 從而有tanα＜-1, ∴選C.

方法2由sinα+cosα=15可以知道α為鈍角 ， 并且|cosα|＜|sinα|,即有tanα＜-1， ∴選C.

這兩種方法都是通過對tanα的范圍的估計得到答案的，簡稱估值法.方法1用α為某三角形的一個內角，通過對α范圍的限制，得到tanα的范圍；方法2從sinα+cosα=15的范圍出發，考慮到sinα＞0， cosα＜0 ，且|cosα|＜|sinα|，再用tanα的范圍得到選項 .從三角函數角度的范圍和函數值的范圍出發考慮問題是處理三角函數問題的常規方法.

方法3通過方法1可知π2≤α≤3π4，結合問題的選項可以構造如圖1所示的直角△ABC ，其中邊長AB=5、AC=3、BC=4，α是直角△ABC一個銳角A的外角,∴tan=-43,∴選C.

這種方法應用角α的范圍和選擇題的選項構造了一個直角三角形，通過數形結合的方式直觀的解決了問題.構造直角三角形的方法，可以實現同角三角函數值之間進行順利的轉換，是三圖1角函數求值的快法.

方法4把sinα+cosα=15

兩邊平方得：1+2sinαcosα=125，

∴2sinαcosαsin2α+cos2α=-2425，化成：tanαtan2α+1=-1225,即12tan2α+25tanα+12=0 ，由此可解得：tanα=-43或-34，考慮到tanα＜-1, ∴tanα=-43,∴選C.

方法5把sinα+cosα=15,兩邊平方得：1+2sinαcosα=125，2sinαcosα=-2425

∴(sinα-cosα)2=4925，再由sinα＞0，cosα＜0得：sinα-cosα=57,

∴sinα-cosαsinα+cosα=17 即tanα-1tanα+1=17

∴tanα=-43,∴選C.

這兩種方法都是求tanα值的方法，方法4通過1的代換和同角三角函數值之間的轉換，建立了關于tanα的一元二次方程，求出tanα的值后，通過tanα＜-1進行根的取舍；方法5利用已知條件建立了關于tanα的一元分式方程，直接求出了tanα的值.

方法6由方程組sinα+cosα=15

sin2α+cos2α=1 中消去cosα得：sin2α+(15-sinα)2=1，化簡成25sin2α-5sinα-12=0，可以解得sinα=45或sinα=-35，∵sinα＞0，

∴sinα=45，結合方法1知道π2≤α≤3π4，∴cosα=-35, 故tanα=-43

∴選C.

方法7把sinα+cosα=15,兩邊平方得：

1+2sinαcosα=125，2sinαcosα=-2425

∴(sinα-cosα)2=4925，再由sinα＞0，cosα＜0得：sinα-cosα=75，

從方程組sinα+cosα=15

sin2α+cos2α=1中解出sinα=45

cosα=-35

∴tanα=-43,∴選C.

方法8由方法1知道sin(α+π4)=152，π4≤α+π4≤π,∴cos(α+π4)=-752

cosα=cos［(α+π4)-π4］=cos(α+π4)cosπ4-sin(α+π4)sinπ4=-35,sinα=45

∴tanα=-43,∴選C.

這三種方法都是以求sinα和cosα的函數值為線索進行的.方法6和7都應用的是方程組法，方法8應用了角度變換的方法.

選擇題求解過程的要求，一是準確性，二是處理問題的速度.在所有方法中都需要三角形中角度范圍的確定，函數值范圍的確定，同角三角函數值之間的溝通，溝通的方法多種多樣.前三種方法是簡單方法，后四種方法是常規方法，雖然比較麻煩.但是它們的處理過程很好的應用了三角函數幾乎所有內容和經典的方法，對于構筑學生的知識結構和思維結構有很好的作用.是學習三角函數內容的經典問題.

(收稿日期：2013-10-17)

問題若角α為某三角形的一內角，且sinα+cosα=15，則tanα的值為（ ）.

A．-34B．34 C．-43 D． 43

這是根據人民教育出版社A版第147頁B組第一題改編的一道選擇題，在三角函數的考試題中非常常見.

方法1∵sinα+cosα=2sin(α+π4)，∴sin(α+π4)=152≤22，且π4≤α+π4≤5π4，結合正弦函數的圖像可以知道π2≤α+π4≤π, ∴π2≤α≤3π4，|cosα|＜|sinα|， 從而有tanα＜-1, ∴選C.

方法2由sinα+cosα=15可以知道α為鈍角 ， 并且|cosα|＜|sinα|,即有tanα＜-1， ∴選C.

這兩種方法都是通過對tanα的范圍的估計得到答案的，簡稱估值法.方法1用α為某三角形的一個內角，通過對α范圍的限制，得到tanα的范圍；方法2從sinα+cosα=15的范圍出發，考慮到sinα＞0， cosα＜0 ，且|cosα|＜|sinα|，再用tanα的范圍得到選項 .從三角函數角度的范圍和函數值的范圍出發考慮問題是處理三角函數問題的常規方法.

方法3通過方法1可知π2≤α≤3π4，結合問題的選項可以構造如圖1所示的直角△ABC ，其中邊長AB=5、AC=3、BC=4，α是直角△ABC一個銳角A的外角,∴tan=-43,∴選C.

這種方法應用角α的范圍和選擇題的選項構造了一個直角三角形，通過數形結合的方式直觀的解決了問題.構造直角三角形的方法，可以實現同角三角函數值之間進行順利的轉換，是三圖1角函數求值的快法.

方法4把sinα+cosα=15

兩邊平方得：1+2sinαcosα=125，

∴2sinαcosαsin2α+cos2α=-2425，化成：tanαtan2α+1=-1225,即12tan2α+25tanα+12=0 ，由此可解得：tanα=-43或-34，考慮到tanα＜-1, ∴tanα=-43,∴選C.

方法5把sinα+cosα=15,兩邊平方得：1+2sinαcosα=125，2sinαcosα=-2425

∴(sinα-cosα)2=4925，再由sinα＞0，cosα＜0得：sinα-cosα=57,

∴sinα-cosαsinα+cosα=17 即tanα-1tanα+1=17

∴tanα=-43,∴選C.

這兩種方法都是求tanα值的方法，方法4通過1的代換和同角三角函數值之間的轉換，建立了關于tanα的一元二次方程，求出tanα的值后，通過tanα＜-1進行根的取舍；方法5利用已知條件建立了關于tanα的一元分式方程，直接求出了tanα的值.

方法6由方程組sinα+cosα=15

sin2α+cos2α=1 中消去cosα得：sin2α+(15-sinα)2=1，化簡成25sin2α-5sinα-12=0，可以解得sinα=45或sinα=-35，∵sinα＞0，

∴sinα=45，結合方法1知道π2≤α≤3π4，∴cosα=-35, 故tanα=-43

∴選C.

方法7把sinα+cosα=15,兩邊平方得：

1+2sinαcosα=125，2sinαcosα=-2425

∴(sinα-cosα)2=4925，再由sinα＞0，cosα＜0得：sinα-cosα=75，

從方程組sinα+cosα=15

sin2α+cos2α=1中解出sinα=45

cosα=-35

∴tanα=-43,∴選C.

方法8由方法1知道sin(α+π4)=152，π4≤α+π4≤π,∴cos(α+π4)=-752

cosα=cos［(α+π4)-π4］=cos(α+π4)cosπ4-sin(α+π4)sinπ4=-35,sinα=45

∴tanα=-43,∴選C.

這三種方法都是以求sinα和cosα的函數值為線索進行的.方法6和7都應用的是方程組法，方法8應用了角度變換的方法.

選擇題求解過程的要求，一是準確性，二是處理問題的速度.在所有方法中都需要三角形中角度范圍的確定，函數值范圍的確定，同角三角函數值之間的溝通，溝通的方法多種多樣.前三種方法是簡單方法，后四種方法是常規方法，雖然比較麻煩.但是它們的處理過程很好的應用了三角函數幾乎所有內容和經典的方法，對于構筑學生的知識結構和思維結構有很好的作用.是學習三角函數內容的經典問題.

(收稿日期：2013-10-17)