求函數(shù)解析式的幾種方法

華騰飛

函數(shù)的解析式是研究函數(shù)性質(zhì)的基礎，其求法也綜合了代數(shù)、三角、幾何的相關知識，以及相應的數(shù)學思想方法.在給定的條件下求函數(shù)的解析式f(x)是高中數(shù)學中經(jīng)常涉及的內(nèi)容，形式多樣，沒有一定的程序可循，綜合性比較強，求解起來有相當大的難度，但是只要我們認真仔細地去探索，開拓思路，還是可以找出規(guī)律，探索出一些有效之法.下面向大家介紹求函數(shù)解析式的幾種方法，希望大家能夠從中得到有益的啟示.

一、定義法

適用于給出滿足函數(shù)定義的特殊情形，求函數(shù)的解析式.

例1設f (x)為定義在實數(shù)集R上的偶函數(shù)，當x≤-1時，y=f(x)的圖像是經(jīng)過點(-2, 0）斜率為1的射線.又在y=f(x)的圖像中有一部分是頂點在(0, 2)，且過點(-1, 1)的一段拋物線，試寫出函數(shù)f(x)的表達式（圖像略）.

解析當x≤-1時，設f(x)=x+b，則由0=-2+b，得b=2，從而f (x)=x+2；

當-1

當x≥1時，f(x)=-x+2.

∴f (x)=x+2(x≤-1)

2-x2(-1

-x+2(x≥1)

注意：求解析式時，要注意自變量的定義域.

二、換元法

適用于已知復合函數(shù)的解析式，求原函數(shù)的解析式.

例2已知f(x+1x)=x3+1x3，求f(x)的解析式.

解析f(x+1x)=(x+1x)(x2+1x2-1)=(x+1x)［(x+1x)2-3］=(x+1x)3-3(x+1x).

設y=x+1x的值域為：{y|y≥2或y≤-2}，故f (x)=x3-3x(x≥2或x≤-2).

注意：求解析式時，一定要注意復合函數(shù)中內(nèi)函數(shù)的取值范圍，從而限定f (x)的定義域.

例3已知f (cosx)=x2(-π

解析設cosx=u，且u∈(-1, 1)，由-π

注意用換元法求解析式時，還要注意換元前后自變量的取值范圍要相同.

三、消元法

適用于已知條件含有關于x與1x，x與-x的簡單的函數(shù)方程，通過恰當?shù)臉嬙爝M行消元.

例4一種函數(shù)f (x)對內(nèi)任意實數(shù)x有af (x)+bf (-x)=cx(| a | ≠ | b |)，求函數(shù)f (x)的解析式.

解析將原方程中x換成-x，得af (-x)+bf (x)=-cx，與原方程聯(lián)立消去f (-x)，得f (x)=cxa-b.

例5對所有實數(shù)x，滿足條件2f (x)+f (1-x)=x2，求f (x)的解析式.

解析將原方程中的變量x換成1-x，則有：2f (1-x)+f (x)=(1-x)2，與原方程聯(lián)立消去f (1-x)，得f (x)= 13(x2+2x-1).

注意消元法關鍵是構造與已知方程含有同樣未知元的方程，通過解方程組進行消元.

四、配湊法

適用于通過適當?shù)嘏錅悾阌诶霉角蟪鼋馕鍪降那樾?

例6已知f (x+1x)=x2+x+1x2，求f (x).

解析∵f (x+1x)=x2+x+1x2=x+1x2+1=(x+1)2-x(x+1)x2+1=(x+1x)2-x+1x+1，

∴f (x)=x2-x+1.

注意配湊法運用的關鍵是要配湊出便于利用公式的式子，從而靈活地運用公式快速求解.

五、待定系數(shù)法

適用于已知函數(shù)的圖像，確定函數(shù)的解析式；或已知函數(shù)的類型及其滿足的方程時，常用待定系數(shù)法.

例7已知f (x)為二次函數(shù)，且滿足f (2x+1)+f (2x-1)=16x2-4x+6，求f (x).

解析由題設f (x)=ax2+bx+c(a≠0)，∴f (2x+1)=a(4x2+4x+1)+b(2x+1)+c，f (2x-1)=a(4x2-4x+1)+b(2x-1)+c；∴f (2x+1)+f (2x-1)=8ax2+4bx+2a+2c.

由已知得：8ax2+4bx+2a+2c=16x2-4x+6.

∴8a=16

4b=-4

2a+2c=6解得a=2

b=-1

c=1

從而有：f (x)=x2-x+1.

六、賦值法

此法適用于已知函數(shù)包含的字母較復雜的情形，通過賦值可以使得求解過程簡捷、方便.

例8設f (x)是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，滿足f (0)=1，且對任意實數(shù)a、b，有f (a-b)=f (a)-b(2a-b+1)，求函數(shù)f (x).

解析∵f (a-b)=f (a)-b(2a-b+1)，a、b∈R，為此可令a=b=x，得f (0)=f(x)-x(2x-x+1)

又f (0)=1，∴函數(shù)f (x)=x2+x+1.

注意采用賦值法時，一定要使賦值后的運算過程簡單、方便，便于快速、簡捷地求出解析式.

七、代點法

適用于求某函數(shù)關于某元素對稱的函數(shù)解析式.

例9已知f (x)=loga(x-1)，當且僅當點(x0，y0)在f (x)圖像上時，點(2x0, 2y0)在y=g (x)圖像上時，求g(x)的解析式.

解析由點(x0, y0)在y=loga(x-1)的圖像上，∴y0=loga(x0-1).

令2x0=u，2y0=v，則x0=u2，y0=v2；

∴v2=loga(u2-1)，即v=2loga(u2-1)，

∵(2x0, 2y0)在y=g(x)的圖像上，∴(u, v) 在y=g(x)的圖像上，故g(x)=2loga(x2-1).

注意抓住所求函數(shù)圖像上的點與已知函數(shù)圖像上的點的關系（有時用中點坐標公式，或用定比分點坐標公式），求其解析式.

八、代替法

適用于所給的函數(shù)關系式中自變量含有互為相反或互為倒數(shù)關系的情形.

例10定義在區(qū)間(-1, 1)內(nèi)的函數(shù)f (x)滿足2f (x)-f (-x)=lg(x+1)，求f (x).

解析用-x代替關系式中的x得：2f (-x)-f (x)=lg(-x+1).

解方程組2f (x)-f (-x)=lg(x+1)

2f (-x)-f (x)=lg(-x+1)

得f (x)=13lg(1+x-x2-x3) (-1

九、迭代法

此法適用于求復合函數(shù)的解析式

例11已知f {f ［f (x)］}=27x+13，且f (x)是一次函數(shù)，求f (x).

解析設f (x)=ax+b，則f ［f (x)］=a2x+ab+b，f {f ［f (x)］}=a3x+a2b+ab+b.

由題意知：27x+13=a3x+a2b+ab+b，則a=3，b=1，故f (x)=3x+1.

十、參數(shù)法

適用于已知函數(shù)解析式中含有三角函數(shù)的情形，通過參數(shù)變換使得求解過程簡單易行.

例12已 知f (1-cosx)=sin2x，求f (x).

解析令v=1-cosx

u=sin2x

消去x得u+(v-1)2=1，即u=2v-v2.

∵-1≤cosx≤1，∴0≤v≤2，

∴f (x)=2x-x2(0≤x≤2).

十一、奇偶性法

適用于已知函數(shù)的奇偶性且在原點一側(cè)某一區(qū)間的函數(shù)解析式，求其在關于原點對稱區(qū)間的函數(shù)解析式.

例13已知f (x)為奇函數(shù)，且當x>0時f (x)=x(1-x)，求當x<0時，函數(shù)f (x)的表達式.

解析設x<0，則-x>0，

∴f (-x)=-x(1+x).

又因為f (x)為奇函數(shù)，

∴-f (x)=-x(1+x)，從而有f (x)=x(1+x).

例14設f (x)是R上的奇函數(shù)，且當x∈［0,+∞）時函數(shù)為f (x)=x(1+lgx)，當x∈(-∞, 0)時，求f (x)的解析式.

解析由于f (x)是奇函數(shù)，當x<0時，-x>0，f (-x)=-x［1+lg(-x)］，

∴f (x)=-f (-x)=x［1+lg(-x)］

故f (x)=x(1+lgx) (x ≥ 0)

x［1+lg(-x)］ (x < 0)

注意利用對稱性把未知區(qū)間轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間，進而在利用已知條件是解題的關鍵.

十二、周期法

適用于周期函數(shù)的解析式求解.

例15設函數(shù)f (x)為奇函數(shù)，且在定義域R上，總有f (x)=-f(x+2)，又當-2≤x≤-1時，f (x)=x2+2x，求：⑴當2≤x≤3時，函數(shù)f (x)的解析式；⑵當5≤x≤6時，函數(shù)f (x)的解析式.

解析由f (x+2)=-f(x)，得f(x+4)=f(x)，故f (x)為周期函數(shù).

(1)∵2≤x≤3，∴-2≤x-4≤-1；又-2≤x≤-1時，f (x)=x2+2x，∴f (x-4)=(x-4)2+2(x-4)，故f (x)=(x-4)2+2(x-4).

(2)∵5≤x≤6，∴-6≤-x≤-5，-2≤4-x≤-1，又-2≤x≤-1時，f (x)=x2+2x，∴f (4-x)=(4-x)2+2(4-x).而f (4-x)=-f (x-4)=-f (x)，故f (x) =-(x-4)2+2(x-4).

注意判斷函數(shù)的周期性是解題的關鍵，把所求區(qū)間如何利用周期性與奇偶性轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間，進而利用已知區(qū)間的函數(shù)解析式求解.

十三、解方程組法

此法適用于已知解析式以方程的形式出現(xiàn)求解析式的情形.

例16已知f (x)+f(x-1x)=1+x(x ≠ 0,1) ①，求f(x).

解析用x-1x代替①中的x整理得：

f (x-1x)+f (11-x)=2x-1x ②

再用11-x代替①中的x整理得：

f (11-x)+f (x)=2-x1-x ③

聯(lián)立①②③并解之得：f (x)=x3-x2-12x(x-1).

十四、反函數(shù)法

適用于涉及反函數(shù)的解析式的求解問題.

例17假設有三個函數(shù)，第一個函數(shù)是φ(x)，它的反函數(shù)是第二個函數(shù)，而第三個函數(shù)與第二個函數(shù)的圖像關于x+y=0對稱，求第三個函數(shù)的解析式.

解析設(x，y)為第三個函數(shù)上的一點，∴（-y, -x）為第二個函數(shù)圖像上的點，而（-x, -y）為y=φ(x)圖像上的點，∴-y=φ(-x)為第二個函數(shù)上的一點，∴-x=φ-1(-y), 故第三個函數(shù)的解析式為y=-φ(-x).

十五、遞推法

適用于函數(shù)關系比較復雜，需要總結規(guī)律的函數(shù)解析式的求解.

例18設f (x)定義在N上的函數(shù)，滿足f (1)=1，對任意自然數(shù)a、b，有f (a)+f (b)=f (a+b)-ab，求f (x).

解析∵f (a)+f (b)=f (a+b)-ab，ab∈N，∴令a=x，b=1，得f (x)+f (1)=f (x+1)-x，又f (1)=1，故f (x+1)-f (x)=x+1①

在①令x=1, 2, 3,…, n-1得

f (2)-f (1)=2

f (3)-f (2)=3

……

f (n)-f (n-1)=n

由這n個式子相加得：

f (n)-f (1)=12(n+2)(n-1)

∴f (n)=12(n+2)(n-1)+1，

∴所求的函數(shù)解析式為

f (x)=12x2+12x( x∈N).

十六、圖像變換法

適用于給出圖像的變化過程，確定圖像所對應的函數(shù)解析式.

例19將函數(shù)y=2x的圖像先向左平行移動1個單位，再向下平行移動1個單位，最后再做關于直線y=x對稱的圖像，求所得圖像的函數(shù)解析式.

解析函數(shù)y=2x圖像向左平移一個單位函數(shù)y=2x+1圖像向下平移1個單位函數(shù)y=2x+1-1圖像.求y=2x+1-1的反函數(shù)可得：y=log2(x+1)-1.

故所求函數(shù)的解析式為f (x)=log2(x+1)-1(x >-1).

例20若函數(shù)y=sinx的圖像上每一點的縱坐標不變，橫坐標縮小為原來的13，然后將圖像沿x軸向右平移π6個單位，把所得圖像縱坐標伸長為原來的2倍，求所得新圖像的函數(shù)解析式.

解析函數(shù)y=sinx圖像

橫坐標縮小為原來的13y=sin3x圖像

沿x軸右移π6y=sin3(x-π6)圖像

縱坐標伸長為原來的2倍y=2sin(3x-π2)=-2cos3x圖像，故y =-2cos3x為所求的解析式.

注意這里體現(xiàn)了函數(shù)圖像的平移、對稱、翻轉(zhuǎn)規(guī)律的合理運用.(收稿日期：2013-12-10)

例13已知f (x)為奇函數(shù)，且當x>0時f (x)=x(1-x)，求當x<0時，函數(shù)f (x)的表達式.

解析設x<0，則-x>0，

∴f (-x)=-x(1+x).

又因為f (x)為奇函數(shù)，

∴-f (x)=-x(1+x)，從而有f (x)=x(1+x).

例14設f (x)是R上的奇函數(shù)，且當x∈［0,+∞）時函數(shù)為f (x)=x(1+lgx)，當x∈(-∞, 0)時，求f (x)的解析式.

解析由于f (x)是奇函數(shù)，當x<0時，-x>0，f (-x)=-x［1+lg(-x)］，

∴f (x)=-f (-x)=x［1+lg(-x)］

故f (x)=x(1+lgx) (x ≥ 0)

x［1+lg(-x)］ (x < 0)

注意利用對稱性把未知區(qū)間轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間，進而在利用已知條件是解題的關鍵.

十二、周期法

適用于周期函數(shù)的解析式求解.

例15設函數(shù)f (x)為奇函數(shù)，且在定義域R上，總有f (x)=-f(x+2)，又當-2≤x≤-1時，f (x)=x2+2x，求：⑴當2≤x≤3時，函數(shù)f (x)的解析式；⑵當5≤x≤6時，函數(shù)f (x)的解析式.

解析由f (x+2)=-f(x)，得f(x+4)=f(x)，故f (x)為周期函數(shù).

(1)∵2≤x≤3，∴-2≤x-4≤-1；又-2≤x≤-1時，f (x)=x2+2x，∴f (x-4)=(x-4)2+2(x-4)，故f (x)=(x-4)2+2(x-4).

(2)∵5≤x≤6，∴-6≤-x≤-5，-2≤4-x≤-1，又-2≤x≤-1時，f (x)=x2+2x，∴f (4-x)=(4-x)2+2(4-x).而f (4-x)=-f (x-4)=-f (x)，故f (x) =-(x-4)2+2(x-4).

注意判斷函數(shù)的周期性是解題的關鍵，把所求區(qū)間如何利用周期性與奇偶性轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間，進而利用已知區(qū)間的函數(shù)解析式求解.

十三、解方程組法

此法適用于已知解析式以方程的形式出現(xiàn)求解析式的情形.

例16已知f (x)+f(x-1x)=1+x(x ≠ 0,1) ①，求f(x).

解析用x-1x代替①中的x整理得：

f (x-1x)+f (11-x)=2x-1x ②

再用11-x代替①中的x整理得：

f (11-x)+f (x)=2-x1-x ③

聯(lián)立①②③并解之得：f (x)=x3-x2-12x(x-1).

十四、反函數(shù)法

適用于涉及反函數(shù)的解析式的求解問題.

例17假設有三個函數(shù)，第一個函數(shù)是φ(x)，它的反函數(shù)是第二個函數(shù)，而第三個函數(shù)與第二個函數(shù)的圖像關于x+y=0對稱，求第三個函數(shù)的解析式.

解析設(x，y)為第三個函數(shù)上的一點，∴（-y, -x）為第二個函數(shù)圖像上的點，而（-x, -y）為y=φ(x)圖像上的點，∴-y=φ(-x)為第二個函數(shù)上的一點，∴-x=φ-1(-y), 故第三個函數(shù)的解析式為y=-φ(-x).

十五、遞推法

適用于函數(shù)關系比較復雜，需要總結規(guī)律的函數(shù)解析式的求解.

例18設f (x)定義在N上的函數(shù)，滿足f (1)=1，對任意自然數(shù)a、b，有f (a)+f (b)=f (a+b)-ab，求f (x).

解析∵f (a)+f (b)=f (a+b)-ab，ab∈N，∴令a=x，b=1，得f (x)+f (1)=f (x+1)-x，又f (1)=1，故f (x+1)-f (x)=x+1①

在①令x=1, 2, 3,…, n-1得

f (2)-f (1)=2

f (3)-f (2)=3

……

f (n)-f (n-1)=n

由這n個式子相加得：

f (n)-f (1)=12(n+2)(n-1)

∴f (n)=12(n+2)(n-1)+1，

∴所求的函數(shù)解析式為

f (x)=12x2+12x( x∈N).

十六、圖像變換法

適用于給出圖像的變化過程，確定圖像所對應的函數(shù)解析式.

例19將函數(shù)y=2x的圖像先向左平行移動1個單位，再向下平行移動1個單位，最后再做關于直線y=x對稱的圖像，求所得圖像的函數(shù)解析式.

解析函數(shù)y=2x圖像向左平移一個單位函數(shù)y=2x+1圖像向下平移1個單位函數(shù)y=2x+1-1圖像.求y=2x+1-1的反函數(shù)可得：y=log2(x+1)-1.

故所求函數(shù)的解析式為f (x)=log2(x+1)-1(x >-1).

例20若函數(shù)y=sinx的圖像上每一點的縱坐標不變，橫坐標縮小為原來的13，然后將圖像沿x軸向右平移π6個單位，把所得圖像縱坐標伸長為原來的2倍，求所得新圖像的函數(shù)解析式.

解析函數(shù)y=sinx圖像

橫坐標縮小為原來的13y=sin3x圖像

沿x軸右移π6y=sin3(x-π6)圖像

縱坐標伸長為原來的2倍y=2sin(3x-π2)=-2cos3x圖像，故y =-2cos3x為所求的解析式.

注意這里體現(xiàn)了函數(shù)圖像的平移、對稱、翻轉(zhuǎn)規(guī)律的合理運用.(收稿日期：2013-12-10)

例13已知f (x)為奇函數(shù)，且當x>0時f (x)=x(1-x)，求當x<0時，函數(shù)f (x)的表達式.

解析設x<0，則-x>0，

∴f (-x)=-x(1+x).

又因為f (x)為奇函數(shù)，

∴-f (x)=-x(1+x)，從而有f (x)=x(1+x).

例14設f (x)是R上的奇函數(shù)，且當x∈［0,+∞）時函數(shù)為f (x)=x(1+lgx)，當x∈(-∞, 0)時，求f (x)的解析式.

解析由于f (x)是奇函數(shù)，當x<0時，-x>0，f (-x)=-x［1+lg(-x)］，

∴f (x)=-f (-x)=x［1+lg(-x)］

故f (x)=x(1+lgx) (x ≥ 0)

x［1+lg(-x)］ (x < 0)

注意利用對稱性把未知區(qū)間轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間，進而在利用已知條件是解題的關鍵.

十二、周期法

適用于周期函數(shù)的解析式求解.

例15設函數(shù)f (x)為奇函數(shù)，且在定義域R上，總有f (x)=-f(x+2)，又當-2≤x≤-1時，f (x)=x2+2x，求：⑴當2≤x≤3時，函數(shù)f (x)的解析式；⑵當5≤x≤6時，函數(shù)f (x)的解析式.

解析由f (x+2)=-f(x)，得f(x+4)=f(x)，故f (x)為周期函數(shù).

(1)∵2≤x≤3，∴-2≤x-4≤-1；又-2≤x≤-1時，f (x)=x2+2x，∴f (x-4)=(x-4)2+2(x-4)，故f (x)=(x-4)2+2(x-4).

(2)∵5≤x≤6，∴-6≤-x≤-5，-2≤4-x≤-1，又-2≤x≤-1時，f (x)=x2+2x，∴f (4-x)=(4-x)2+2(4-x).而f (4-x)=-f (x-4)=-f (x)，故f (x) =-(x-4)2+2(x-4).

注意判斷函數(shù)的周期性是解題的關鍵，把所求區(qū)間如何利用周期性與奇偶性轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間，進而利用已知區(qū)間的函數(shù)解析式求解.

十三、解方程組法

此法適用于已知解析式以方程的形式出現(xiàn)求解析式的情形.

例16已知f (x)+f(x-1x)=1+x(x ≠ 0,1) ①，求f(x).

解析用x-1x代替①中的x整理得：

f (x-1x)+f (11-x)=2x-1x ②

再用11-x代替①中的x整理得：

f (11-x)+f (x)=2-x1-x ③

聯(lián)立①②③并解之得：f (x)=x3-x2-12x(x-1).

十四、反函數(shù)法

適用于涉及反函數(shù)的解析式的求解問題.

例17假設有三個函數(shù)，第一個函數(shù)是φ(x)，它的反函數(shù)是第二個函數(shù)，而第三個函數(shù)與第二個函數(shù)的圖像關于x+y=0對稱，求第三個函數(shù)的解析式.

解析設(x，y)為第三個函數(shù)上的一點，∴（-y, -x）為第二個函數(shù)圖像上的點，而（-x, -y）為y=φ(x)圖像上的點，∴-y=φ(-x)為第二個函數(shù)上的一點，∴-x=φ-1(-y), 故第三個函數(shù)的解析式為y=-φ(-x).

十五、遞推法

適用于函數(shù)關系比較復雜，需要總結規(guī)律的函數(shù)解析式的求解.

例18設f (x)定義在N上的函數(shù)，滿足f (1)=1，對任意自然數(shù)a、b，有f (a)+f (b)=f (a+b)-ab，求f (x).

解析∵f (a)+f (b)=f (a+b)-ab，ab∈N，∴令a=x，b=1，得f (x)+f (1)=f (x+1)-x，又f (1)=1，故f (x+1)-f (x)=x+1①

在①令x=1, 2, 3,…, n-1得

f (2)-f (1)=2

f (3)-f (2)=3

……

f (n)-f (n-1)=n

由這n個式子相加得：

f (n)-f (1)=12(n+2)(n-1)

∴f (n)=12(n+2)(n-1)+1，

∴所求的函數(shù)解析式為

f (x)=12x2+12x( x∈N).

十六、圖像變換法

適用于給出圖像的變化過程，確定圖像所對應的函數(shù)解析式.

例19將函數(shù)y=2x的圖像先向左平行移動1個單位，再向下平行移動1個單位，最后再做關于直線y=x對稱的圖像，求所得圖像的函數(shù)解析式.

解析函數(shù)y=2x圖像向左平移一個單位函數(shù)y=2x+1圖像向下平移1個單位函數(shù)y=2x+1-1圖像.求y=2x+1-1的反函數(shù)可得：y=log2(x+1)-1.

故所求函數(shù)的解析式為f (x)=log2(x+1)-1(x >-1).

例20若函數(shù)y=sinx的圖像上每一點的縱坐標不變，橫坐標縮小為原來的13，然后將圖像沿x軸向右平移π6個單位，把所得圖像縱坐標伸長為原來的2倍，求所得新圖像的函數(shù)解析式.

解析函數(shù)y=sinx圖像

橫坐標縮小為原來的13y=sin3x圖像

沿x軸右移π6y=sin3(x-π6)圖像

縱坐標伸長為原來的2倍y=2sin(3x-π2)=-2cos3x圖像，故y =-2cos3x為所求的解析式.

注意這里體現(xiàn)了函數(shù)圖像的平移、對稱、翻轉(zhuǎn)規(guī)律的合理運用.(收稿日期：2013-12-10)