動靜加載下組合煤巖破壞失穩的突變模型和混沌機制

劉 少 虹

(1.煤炭科學研究總院 開采設計研究分院，北京 100013；2.天地科技股份有限公司 開采設計事業部，北京 100013)

動靜加載下組合煤巖破壞失穩的突變模型和混沌機制

劉 少 虹1,2

(1.煤炭科學研究總院 開采設計研究分院，北京 100013；2.天地科技股份有限公司 開采設計事業部，北京 100013)

為進一步加深對動載誘發沖擊地壓機理的認識，采用時效損傷本構模型與尖點突變理論相結合，得到了一維動靜加載下煤巖組合系統的破壞判據、突跳位移以及釋放總能量的數學表達式。并建立一維動靜載下煤巖組合系統的非線性動力學模型，發現外載能量與系統自身固有能量之間的相互作用導致模型的演化過程呈階段性并出現混沌現象；當組合系統本身的非線性作用與外部載荷的作用能力相當時，系統的演化進入混沌階段。由此得出，井下煤巖體結構與動靜載荷之間的相互作用是影響動載誘發沖擊地壓演化過程的關鍵。最后，對理論結果進行一維動靜加載試驗驗證，表明理論和試驗值吻合較好。

動靜加載；煤巖組合系統；突變理論；混沌理論；沖擊地壓

沖擊地壓作為煤巖動力災害之一，已嚴重影響我國煤礦的安全生產。沖擊地壓是采場及巷道周圍的煤巖體在高應力集中作用下，向采掘空間突然、猛烈沖出[1-2]。為進一步揭示沖擊地壓發生機理及前兆信息，常采用數值模擬或實驗室試驗方法，研究組合煤巖的破壞失穩特征，從而掌握頂板-煤層-底板之間的相互作用下采動誘發沖擊地壓的機理和規律[3-4]。其中，姜耀東等[5]對單軸加載下組合煤巖的黏滑特性進行試驗分析。趙毅鑫等[6]采用紅外熱像、聲發射等監測手段，對單軸加載下組合煤巖破壞的前兆信息進行試驗分析。郭東明等[7]采用試驗和數值模擬方法分析單軸和三軸加載下煤、巖交界面傾角對煤巖組合體變形破壞的影響。竇林名等[8]采用單軸循環加卸載試驗，對取自4個礦的組合煤巖試樣的沖擊傾向性進行分析。左建平等[9]開展了單軸和三軸壓縮試驗，對煤巖組合試樣的破壞機制和力學特性進行分析。

根據煤巖體受載形式的不同，沖擊地壓可分兩類:一類是由于內部靜載荷作用，使得煤巖體在一定范圍內能量積聚超過臨界值而發生的沖擊地壓；另一類是煤巖體內部靜載荷不大，但因外部動載荷作用(如頂板斷裂、斷層滑動及爆破擾動等)，導致內、外載荷疊加造成的沖擊地壓[10-13]。從載荷的施加特點看，該類沖擊地壓是由動靜組合載荷誘發的。以往研究組合煤巖破壞失穩大多針對的是第一類沖擊地壓，很少針對第二類沖擊地壓。

動、靜加載下組合煤巖的破壞失穩是一種非線性不連續突變現象。突變理論作為一種研究自然界中不連續(跳躍性)變化現象的數學方法[14]，可被應用于分析組合煤巖體在動、靜載聯合作用下的失穩過程。同時，動靜載下煤巖組合系統的破壞演化過程中是否存在混沌特性，產生混沌的條件是什么，混沌特性的產生和動靜載荷因素之間的關系是什么？對這些問題進行分析對于動載誘發沖擊地壓的危險性評價和準確預測均有一定意義。

考慮到動靜加載下煤巖體的破壞特征與靜載下差異較大[15-18]，在分析此類問題應采用動態本構模型。目前，具有代表性的煤巖體動態本構模型，包括Bingham模型[19]、黏彈模型[20]、熱力學本構模型[21]、時效損傷本構模型[22]和中應變率本構模型[23]。綜合比較這些本構模型可知，時效損傷本構模型能夠更好的描述煤巖體在動態破壞中的黏性和損傷特性，并能夠與突變理論較好的結合。

煤礦井下的煤巖體所處應力狀態較為復雜，其中一些情況，例如較窄煤柱或巷道及采場兩幫淺部圍巖，可近似的看作受一維垂直靜載和動載荷的作用。針對此類問題，筆者首先選用時效損傷本構模型與突變理論相結合，對一維動靜加載下煤巖組合系統的破壞失穩規律進行研究；并建立一維動靜加載下組合煤巖的非線性動力學模型，利用混沌動力學理論對之進行深入分析；最后設計相關試驗進行驗證，以達到近似模擬動載誘發沖擊地壓的目的。通過上述分析，對動載誘發沖擊地壓的機理認識、有效防范和準確預測均有一定意義。

1 動靜載下煤巖組合系統破壞失穩的突變理論分析

考慮到單軸加載試驗中煤巖組合試樣的失穩機理與實際煤巖體中發生的沖擊地壓有一定程度的相似，因此將煤巖組合試樣視為一個統一的力學系統來研究動載擾動誘發沖擊地壓的動態運動過程。由煤樣和巖樣2個子系統組成的煤巖組合力學系統是非線性的，其特性由2個子系統的相互作用決定。顯然巖樣子系統在外部載荷作用下是線彈性的，它的演化直接控制著整個煤巖組合力學系統的穩定性。而煤樣子系統在靜載作用下需要考慮其損傷特性，而在動靜組合加載下還需考慮其破壞的時效性(即黏性)。

運用突變理論可以較好地描述上述煤巖組合力學系統的動態失穩過程，從而對一維靜載下煤巖組合系統在動載作用下的破壞失穩進行分析，其靜載下的力學模型如圖1所示，動靜組合加載下的力學模型如圖2所示。

圖1 靜載下煤巖組合系統的力學模型Fig.1 The mechanics model of compound coal-rock under static loading

圖2 動靜載下煤巖組合系統的力學模型Fig.2 The mechanics model of compound coal-rock under coupled static and dynamic loading

1.1 一維靜載下的煤巖組合系統分析

如圖1所示，F1為對煤巖組合施加的軸向一維靜載。煤巖組合系統中，煤樣的長度為L，巖樣的長度為αL，截面面積均為S，靜載F1下煤的變形為um1，巖石的變形為uy1，煤巖組合系統整體變形為a=um1+uy1。

對于處于彈性變形狀態的巖石，靜載載荷F1與巖石的變形uy1之間的關系為

(1)

其中，k1為靜載下巖石的剛度。

煤自身含有較多裂隙，需要考慮其損傷特性，即煤的本構關系是具有弱化性質的非線性關系，因此靜載載荷F1與um1之間的關系[24]為

(2)

式中,λ1=E1S/L為煤樣的初始剛度，E1為靜載下煤的彈性模量;u0為完整度，具有長度量綱，為單軸加載下峰值載荷所對應的變形值。

則靜載下系統的勢函數V1即是它具有的總能量：

(3)

將uy1=a-um1代入式(3)并積分得

(4)

1.2 一維動靜加載下的煤巖組合系統分析

動靜加載下的煤巖組合系統如圖2所示，在軸向一維靜載F1的基礎上加入與之同方向的動載荷F2的擾動。此時巖石依然看作彈性體，而煤在動靜共同作用下變形、屈服到破壞期間，不僅表現出損傷特性，還有黏性，如下：

(5)

其中，m為Weibull分布中分布曲線的形狀系數；η為煤的黏性系數；ε00一般位于峰值應力對應的應變與平均應變之間[24]。

設動載下煤的變形為um2，巖石的變形為uy2，煤巖組合系統整體變形為b=um2+uy2，動載荷F2和動載下煤的變形um2的關系如下:

(6)

此時動載下系統的勢函數V2為

(7)

(8)

由式(8)可得奇點集為

gradum2(gradum2VZ)=

(9)

根據平衡曲面的光滑性質，在尖點處有：

(10)

即：

(11)

所以在尖點處：

(12)

即

(13)

(14)

其中：

(15)

(16)

這里K為動靜載下煤和巖石的剛度比，k2為動靜載下巖石的剛度；A0，B0，C0均只與形狀系數m有關。

1.3 結果分析

對于式(14)只有在P≤0時成立，即在P≤0時煤巖組合系統能跨越分歧點集，因此由式(15)得系統發生突變的必要條件是：

(17)

將λ2=E2S/L，k2=EYS/αL代入式(17)中，其中,EY為動靜載下巖石的彈性模量，式(17)變為

(18)

式(18)即為動靜加載下煤巖組合系統發生突變失穩的判據，由此表明巖石和煤的高度比越大、巖石彈模和動靜加載下煤的初始彈模的比值越小，動靜加載下煤巖組合系統越容易發生突變失穩。該結果說明了頂板和煤層的厚度比越大、頂板彈模和動靜加載下煤層的初始彈模的比值越小，井下的煤巖體結構在動載擾動下越容易發生突變失穩。

接下來，推導煤巖組合系統發生突跳時的位移變化量。由以上的分析可以知道當P≤0時，系統才可能發生突跳。此時平衡方程(14)有3個實根，分別為

(19)

(20)

跨越分岔點集時的狀態變量的無量綱突跳位移為

(21)

(22)

其中：

引入無量綱能量UZ：

(23)

所以，突變前后的能量差為

ΔUZ=UZ(x1)-UZ(x2)=

(24)

將式(19),(20)代入式(24)得到失穩破壞時釋放的無量綱能量ΔUZ為

(26)

由式(21),(25)可知，動靜載下煤巖組合系統失穩破壞的突跳位移與釋放總能量均與巖石和煤的高度比、巖石彈模和動靜加載下煤的初始彈性模量的比值、煤的厚度以及形狀系數m有關。突跳位移與巖石和煤的高度比正相關，與巖石彈性模量和動靜加載下煤的初始彈性模量的比值、煤的厚度負相關；而系統失穩所釋放的總能量卻與巖石和煤的高度比、煤的厚度負相關，與巖石彈性模量和動靜加載下煤的初始彈性模量的比值正相關。該結果說明了井下煤巖體結構在動載擾動下發生突變失穩的位移與頂板和煤層的厚度比正相關、頂板彈性模量和動靜加載下煤層的初始彈性模量的比值以及煤層厚度負相關。而失穩的劇烈程度是頂板和煤層的厚度比、煤層厚度負相關，與頂板彈性模量和動靜加載下煤層的初始彈性模量的比值正相關。

綜上，由于巖石和煤在動靜加載下的彈性模量是由外部載荷和靜載下的彈性模量共同決定的[25-27]，從而可知靜載下煤巖自身性質和動靜載荷是煤巖組合系統在的動靜加載下破壞失穩的判據、劇烈程度以及突跳位移的主要影響因素。并且可知動載擾動下井下煤巖體結構發生突變失穩的條件、位移以及劇烈程度受頂板和煤層的厚度比、頂板彈性模量和動靜加載下煤層的初始彈性模量的比值以及煤層厚度的影響規律。

2 動靜載下煤巖組合系統破壞失穩的混沌機制

通過建立非線性動力學模型，來描述動靜加載下煤巖組合系統的演化過程，從而揭示其演化過程中的混沌機制。

(27)

在煤巖組合系統動態失穩過程中，受到的非平衡合力，還可由式(22)求出：

(28)

由式(27),(28)得到：

(29)

方程(29)兩邊同除以m變為

(30)

杜芬方程的標準形式相比，式(30)多了一個常數項B，這是由于組合系統受到了靜載的作用而導致的，可以用B表征組合煤巖所受靜載。為了便于問題分析，式(30)的系數取u′=0.3，C′=1，C′P=-1，ω=1.2[28]：

(31)

動靜加載下組合煤巖破壞失穩是個復雜的物理過程，這里將其看作以下兩部分的耦合來加以解釋，包括組合煤巖自身的非線性系統和外部動靜載荷構成的簡諧震蕩系統：

圖3 煤巖組合系統參數x隨著的變化的分岔Fig.3 The bifurcation diagram of compound rock-coal between x and subjected to different B value

綜上可知，動靜加載下煤巖組合系統的演化過程隨著動載振幅的增大呈現階段性，其原因是外載能量與系統自身的固有能量之間的相互影響，說明動載振幅對于動靜加載下組合煤巖的演化過程起著決定性作用。當組合煤巖自身的非線性作用與外部動靜載荷作用相當時，組合煤巖的演化過程進入混沌階段。我們知道，動載誘發沖擊地壓的發生是動靜組合加載下煤巖體結構的破壞失穩；通過上述的研究，可以推斷井下煤巖體結構與動靜載荷之間的相互作用是影響沖擊地壓從孕育至啟動的整個演化過程的關鍵。并且動載誘發沖擊地壓的演化過程是有序階段和混沌階段的復雜集合，從而對動載誘發沖擊地壓進行準確的預測預報是比較困難的。

圖4 不同B時煤巖組合系統進入混沌狀態的臨界Fig.4 The threshold of compound rock-coal into chaos subjected to different B value

3 一維動靜加載下組合煤巖破壞失穩試驗分析

3.1 試驗設備及樣品

為了對以上得到的一維動靜載下組合煤巖的失穩判據(式(18))和釋放的總能量(式(26))進行驗證，特在中南大學進行的改進霍普金森桿試驗。煤巖樣的概況見表1，試樣圖片如圖5所示。

試驗中施加動載的種類是與靜載同方向的半周期正弦波。改進后的霍普金森桿的結構示意圖如圖6所示[30]。本試驗采用的霍普金森壓桿，入射波的加載時間是定值，大約均為200 μs，變化的是應力波的幅值。

表1煤巖樣參數
Table1Theparametersofcoalandrockmodels

試樣物理力學性質單軸抗壓強度/MPa煤取自新疆寬溝煤礦，埋深316m的塊狀煤體。瀝青光澤，階梯狀斷口，含少許層狀夾矸。屬于半亮型煤，堅硬，裂隙垂直發育28 8巖石取自新疆寬溝煤礦頂板巖石，埋深316m的粗砂巖。堅硬、均質、內生裂隙不發育93 7煤巖組合試樣35 0

圖5 試驗所用試樣Fig.5 The models in the experiment

圖6 改進的霍普金森桿的構造Fig.6 Configuration of improved SHPB device

每個試樣端面和圓周都進行仔細研磨，兩端不平行度小于0.02 mm，圓周與端面的不垂直度小于0.02 mm。組合系統為高60 mm，直徑50 mm的圓柱體。煤和巖石的高度比為1∶1，煤、巖之間使用乳膠黏合。純煤試樣為高30 mm，直徑50 mm的圓柱體。

3.2 試驗方法

首先，需要通過對試驗得到應力應變曲線進行分析以及試算分析，對u00,m，EY，E2，ΔVZ這5個參數進行確定(各參數含義參照第2節)。其中，u00，m，ΔVZ是通過煤巖組合系統的動靜加載試驗獲得，而E2是通過對純煤的動靜加載試驗獲得，2個試驗所施加的動、靜載值基本一致。

從試驗結果來看，動靜加載下組合煤巖的應變率小于110 s-1，則同樣的動靜載荷施加在純巖石的試樣上應變率必然要更小。已有的試驗結果表明，當應變率小于102s-1時，強度大于90 MPa的巖石的物理力學指標與靜載幾乎相同[27]，而本試驗所采用的巖石單軸強度為93.7 MPa，因此，EY選用由煤炭科學研究總院開采分院巖石力學實驗室測定的靜載下巖石彈模，為31.65 GPa。

采用正交試驗設計，第1組試驗保持靜載不變，變換動載的大小；第2組試驗保持動載不變，變換靜載的大小。分別得到各個應力加載情況下的參數值。首先，靜載為18 MPa不變，動載幅值是從使試樣破壞的最小動載開始選取，其幅值分別為140，190，240，290 MPa。然后，動載幅值為140 MPa不變，靜載分別為0，5，18，26 MPa。通過粘貼在入射桿和反射桿上的應變片對入射、反射、透射波進行采集。

3.3 試驗結果及分析

圖7是動靜載下純煤的應力應變曲線，通過曲線可以計算出煤在不同動靜加載下的初始彈性模量(圖中框內曲線的斜率)，計算結果為表2中的E2。由表2可知，動靜加載下煤的初始彈性模量E2隨動載幅值A2的增大而增大，但受靜載F1的影響較小。

圖7 純煤的應力應變曲線Fig.7 The stress-strain curves of coal

并且從表2可以看出，動載幅值在140～190 MPa范圍內，煤巖組合系統動靜載下發生破壞時均為K≤M，初步證明了式(32)中動靜加載下的失穩判據是合理的。并且通過式(26)得到動靜載下組合煤巖破壞失穩時釋放總能量的理論值與試驗值基本一致，誤差小于10%。但更大范圍的動載幅值對動靜加載下煤巖組合系統破壞失穩的影響有待進一步試驗。

表2動靜組合加載試驗的各項參數
Table2Theparametersofcoupledstaticanddynamicloadsexperiment

F1/MPaA2/MPaEY/GPaE2/GPamu00/108αKMΔVZ理論值試驗值誤差/%1814031 651391 5428 0010 2280 2307 327 877 01819031 651411 5858 0010 2240 24417 4417 082 11824031 651471 6468 0010 2160 26453 6252 262 61829031 651781 7438 0010 1780 29867 9167 101 2014031 651441 5788 0010 2200 24113 5013 202 2514031 651401 6008 0010 2260 24925 6125 301 22614031 651401 5402 5010 2260 2293 313 184 4

4 結 論

(1)得到了一維動靜載下煤巖組合系統的破壞判據、突跳位移及釋放總能量的數學表達式，由此可知動載擾動下井下煤巖體結構發生突變失穩的條件、位移以及劇烈程度受頂板和煤層的厚度比、頂板彈性模量和動靜加載下煤層的初始彈性模量的比值以及煤層厚度的影響規律；最后對理論結果進行試驗驗證，表明理論值和試驗值吻合較好。

(2)建立了一維動靜加載下組合煤巖的非線性動力學模型，發現了外載能量與系統自身固有能量之間的相互作用導致模型的演化過程呈階段性并出現混沌現象。由此推斷出煤巖體結構與動靜載荷之間的相互作用是影響動載誘發沖擊地壓演化過程的關鍵。

(3)當組合系統本身的非線性作用與外部載荷的作用能力相當時，系統演化進入混沌階段。由此推斷出動載誘發沖擊地壓的演化過程同樣是有序階段和混沌階段的復雜集合，從而對這類沖擊地壓進行準確的預測預報是比較困難的。

(4)動載振幅對于一維動靜加載下組合煤巖的演化過程起著決定性作用，而靜載的增大使得系統有序性有所提高。

(5)當其它系統參數確定時，關鍵靜載下的組合煤巖受到較小的動載擾動就會進入混沌狀態。

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Nonlinearcatastrophymodelandchaoticdynamicmechanismofcompoundcoal-rockunstablefailureundercoupledstatic-dynamicloading

LIU Shao-hong1,2

(1.CoalMiningandDesigningBranch，ChinaCoalResearchInstitute，Beijing100013，China；2.CoalMiningandDesigningDepartment，TiandiScienceandTechnologyCo.，Ltd.，Beijing100013，China)

In order to deepen understanding the mechanism of rockburst induced by dynamic loading,the judgement formula of failure,catatrophic displacement and the total released energy of compound coal-rock under coupled static-dynamic loading were obtained by time dependent damage model and catastrophe theory.And,nonlinear dynamic model of compound coal-rock under coupled static-dynamic loading was established.Based on this,author found that the interaction of loading energy and system inheret energy lead that the model evolution exhibits stepwise and chaotic characteristic.When the roles of the nonlinear system itself and of the external loads are the same,the system begin to enter the chaotic evolution stage.It follows that the interaction between the mine coal-rock structure and the coupled static and dynamic loadings is the key of the evolution of dynamic rockburst.At last,the experiments of coupled dynamic and static loadings vertified the theoretical results,and it shows that the theoretical analysis are in good agreement with the experimental values.

coupled static-dynamic loading;compound coal-rock system;catastrophe theory;chaos theory;rockburst

10.13225/j.cnki.jccs.2013.2007

國家重點基礎研究發展計劃(973)資助項目(2010CB226806)；國家科技支撐計劃資助項目(2012BAK09B01)

劉少虹(1982—)，男，遼寧鞍山人，博士，工程師。E-mail：liushaohong@tdkcsj.com

TD324

A

0253-9993(2014)02-0292-09

劉少虹.動靜加載下組合煤巖破壞失穩的突變模型和混沌機制[J].煤炭學報,2014,39(2):292-300.

Liu Shaohong.Nonlinear catastrophy model and chaotic dynamic mechanism of compound coal-rock unstable failure under coupled static-dynamic loading[J].Journal of China Coal Society,2014,39(2):292-300.doi:10.13225/j.cnki.jccs.2013.2007