找“三線” 識“八角”

張松濤

摘要：同位角、內錯角、同旁內角是一條直線截兩條直線所形成的八個角，簡稱“三線八角”。它是學習直線平行判定與性質的前提和基礎。那么，如何把握這八個角呢？關鍵就是找準“三線”，即一條截線和兩條被截線，方可認清“八角”。

關鍵詞：截線；被截線；同位角；內錯角；同旁內角

中圖分類號：G712 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）20-0121-01

“三線八角”是反映一條直線截兩條直線所形成的八個角的位置關系，教材中我們分別稱之為同位角、內錯角、同旁內角，這條直線叫做截線，兩條直線叫做被截線。在教學中教師反復強調“同位角在截線同旁，在截線同方向；內錯角在截線兩旁，在被截線之間；同旁內角在截線同旁，在被截線之間。”但是在實際學習中，學生往往張冠李戴、顧此失彼，除因概念本身牽扯到的線多角多外，筆者認為，主要在于沒有找準截線和被截線。

如圖，直線c截直線a、b，那么直線c叫做截線，直線a、b叫做被截線。由定義可知，∠1與∠2是同位角，∠2與∠3是內錯角，∠2與∠4是同旁內角。然而同時我們還發現，∠1和∠2各有一條邊都在截線c上，另兩條邊分別在被截線b、c上。∠2與∠3、∠2與∠4情況也一樣。于是我們有如下結論：兩角的邊所在的公共直線即為截線，兩角另一邊所在的直線為被截線。下面看例題。

例1：判斷圖中∠1與∠2、∠2與∠3、∠1與∠3的位置關系？

分析：∠1的兩條邊所在的直線為直線a、b，∠2的兩條邊所在的直線為直線a、c，則公共直線a為截線，直線b、c為被截線。由于∠1、∠2在直線a同旁，直線b、c右方，故∠1與∠2為同旁內角，同理∠2與∠3為內錯角，∠1與∠3為同旁內角。

解：（略寫）。

例2：找出圖中同位角、內錯角、同旁內角。

分析：圖中共有4條直線，沒有說誰是截線被截線，那么任何一條都有可能作為截線。因此，我們每3條一組進行組合，共有①②③、①②④、①③④、②③④四組，在①②③中，所有的角都有公共頂點，故無同位角、內錯角、同旁內角；在①②④中，直線BE與直線AD、BC都相交，故為BE截線，直線AD、BC為被截線；在①③④中3條直線兩兩相交，那么每條直線均可作為截線；在②③④中，直線AC與直線AD、BC都相交，故為AC截線，直線AD、BC為被截線。再根據定義即可求解。

解：①②③中，同位角、內錯角、同旁內角均為0對；

①②④中，同位角1對即∠EAD與∠EBC、內錯角0對、同旁內角1對即即∠DAB與∠ABC；

①③④中，若BE為截線，AC、BC為被截線時，同位角1對即∠EAD與∠EBC、內錯角0對、同旁內角1對即∠DAB與∠ABC；

若BC為截線，AB、AC為被截線時，同位角0對、內錯角0對、同旁內角1對即∠ABC與∠ACB；

若AC為截線，AB、BC為被截線時，同位角0對、內錯角1對即∠EAC與∠ACB、同旁內角1對即∠BAC與∠ACB；

②③④中，同位角0對、內錯角1對即∠DAC與∠ACB、同旁內角0對；

故圖中同位角2對，內錯角1對，同旁內角4對。

總之，尋找和判斷同位角、內錯角、同旁內角的關鍵是找準截線和被截線，抓住這個關鍵，角的關系便垂手可得。endprint

摘要：同位角、內錯角、同旁內角是一條直線截兩條直線所形成的八個角，簡稱“三線八角”。它是學習直線平行判定與性質的前提和基礎。那么，如何把握這八個角呢？關鍵就是找準“三線”，即一條截線和兩條被截線，方可認清“八角”。

關鍵詞：截線；被截線；同位角；內錯角；同旁內角

中圖分類號：G712 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）20-0121-01

“三線八角”是反映一條直線截兩條直線所形成的八個角的位置關系，教材中我們分別稱之為同位角、內錯角、同旁內角，這條直線叫做截線，兩條直線叫做被截線。在教學中教師反復強調“同位角在截線同旁，在截線同方向；內錯角在截線兩旁，在被截線之間；同旁內角在截線同旁，在被截線之間。”但是在實際學習中，學生往往張冠李戴、顧此失彼，除因概念本身牽扯到的線多角多外，筆者認為，主要在于沒有找準截線和被截線。

如圖，直線c截直線a、b，那么直線c叫做截線，直線a、b叫做被截線。由定義可知，∠1與∠2是同位角，∠2與∠3是內錯角，∠2與∠4是同旁內角。然而同時我們還發現，∠1和∠2各有一條邊都在截線c上，另兩條邊分別在被截線b、c上。∠2與∠3、∠2與∠4情況也一樣。于是我們有如下結論：兩角的邊所在的公共直線即為截線，兩角另一邊所在的直線為被截線。下面看例題。

例1：判斷圖中∠1與∠2、∠2與∠3、∠1與∠3的位置關系？

分析：∠1的兩條邊所在的直線為直線a、b，∠2的兩條邊所在的直線為直線a、c，則公共直線a為截線，直線b、c為被截線。由于∠1、∠2在直線a同旁，直線b、c右方，故∠1與∠2為同旁內角，同理∠2與∠3為內錯角，∠1與∠3為同旁內角。

解：（略寫）。

例2：找出圖中同位角、內錯角、同旁內角。

分析：圖中共有4條直線，沒有說誰是截線被截線，那么任何一條都有可能作為截線。因此，我們每3條一組進行組合，共有①②③、①②④、①③④、②③④四組，在①②③中，所有的角都有公共頂點，故無同位角、內錯角、同旁內角；在①②④中，直線BE與直線AD、BC都相交，故為BE截線，直線AD、BC為被截線；在①③④中3條直線兩兩相交，那么每條直線均可作為截線；在②③④中，直線AC與直線AD、BC都相交，故為AC截線，直線AD、BC為被截線。再根據定義即可求解。

解：①②③中，同位角、內錯角、同旁內角均為0對；

①②④中，同位角1對即∠EAD與∠EBC、內錯角0對、同旁內角1對即即∠DAB與∠ABC；

①③④中，若BE為截線，AC、BC為被截線時，同位角1對即∠EAD與∠EBC、內錯角0對、同旁內角1對即∠DAB與∠ABC；

若BC為截線，AB、AC為被截線時，同位角0對、內錯角0對、同旁內角1對即∠ABC與∠ACB；

若AC為截線，AB、BC為被截線時，同位角0對、內錯角1對即∠EAC與∠ACB、同旁內角1對即∠BAC與∠ACB；

②③④中，同位角0對、內錯角1對即∠DAC與∠ACB、同旁內角0對；

故圖中同位角2對，內錯角1對，同旁內角4對。

總之，尋找和判斷同位角、內錯角、同旁內角的關鍵是找準截線和被截線，抓住這個關鍵，角的關系便垂手可得。endprint

摘要：同位角、內錯角、同旁內角是一條直線截兩條直線所形成的八個角，簡稱“三線八角”。它是學習直線平行判定與性質的前提和基礎。那么，如何把握這八個角呢？關鍵就是找準“三線”，即一條截線和兩條被截線，方可認清“八角”。

關鍵詞：截線；被截線；同位角；內錯角；同旁內角

中圖分類號：G712 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）20-0121-01

“三線八角”是反映一條直線截兩條直線所形成的八個角的位置關系，教材中我們分別稱之為同位角、內錯角、同旁內角，這條直線叫做截線，兩條直線叫做被截線。在教學中教師反復強調“同位角在截線同旁，在截線同方向；內錯角在截線兩旁，在被截線之間；同旁內角在截線同旁，在被截線之間。”但是在實際學習中，學生往往張冠李戴、顧此失彼，除因概念本身牽扯到的線多角多外，筆者認為，主要在于沒有找準截線和被截線。

如圖，直線c截直線a、b，那么直線c叫做截線，直線a、b叫做被截線。由定義可知，∠1與∠2是同位角，∠2與∠3是內錯角，∠2與∠4是同旁內角。然而同時我們還發現，∠1和∠2各有一條邊都在截線c上，另兩條邊分別在被截線b、c上。∠2與∠3、∠2與∠4情況也一樣。于是我們有如下結論：兩角的邊所在的公共直線即為截線，兩角另一邊所在的直線為被截線。下面看例題。

例1：判斷圖中∠1與∠2、∠2與∠3、∠1與∠3的位置關系？

分析：∠1的兩條邊所在的直線為直線a、b，∠2的兩條邊所在的直線為直線a、c，則公共直線a為截線，直線b、c為被截線。由于∠1、∠2在直線a同旁，直線b、c右方，故∠1與∠2為同旁內角，同理∠2與∠3為內錯角，∠1與∠3為同旁內角。

解：（略寫）。

例2：找出圖中同位角、內錯角、同旁內角。

分析：圖中共有4條直線，沒有說誰是截線被截線，那么任何一條都有可能作為截線。因此，我們每3條一組進行組合，共有①②③、①②④、①③④、②③④四組，在①②③中，所有的角都有公共頂點，故無同位角、內錯角、同旁內角；在①②④中，直線BE與直線AD、BC都相交，故為BE截線，直線AD、BC為被截線；在①③④中3條直線兩兩相交，那么每條直線均可作為截線；在②③④中，直線AC與直線AD、BC都相交，故為AC截線，直線AD、BC為被截線。再根據定義即可求解。

解：①②③中，同位角、內錯角、同旁內角均為0對；

①②④中，同位角1對即∠EAD與∠EBC、內錯角0對、同旁內角1對即即∠DAB與∠ABC；

①③④中，若BE為截線，AC、BC為被截線時，同位角1對即∠EAD與∠EBC、內錯角0對、同旁內角1對即∠DAB與∠ABC；

若BC為截線，AB、AC為被截線時，同位角0對、內錯角0對、同旁內角1對即∠ABC與∠ACB；

若AC為截線，AB、BC為被截線時，同位角0對、內錯角1對即∠EAC與∠ACB、同旁內角1對即∠BAC與∠ACB；

②③④中，同位角0對、內錯角1對即∠DAC與∠ACB、同旁內角0對；

故圖中同位角2對，內錯角1對，同旁內角4對。

總之，尋找和判斷同位角、內錯角、同旁內角的關鍵是找準截線和被截線，抓住這個關鍵，角的關系便垂手可得。endprint