協作比賽的組隊問題

孫夢瑩

(中國傳媒大學 理工學部，北京 100024)

1 引言

本文用數學建模的方法對一些實際情況中可能遇到的一些問題進行解決：

隊員分組時以整體競賽水平為首要考慮條件，并根據已得到的結論進行分組。 再有如果學習成績的權重為0.2，智力水平權重為0.2，動手能力的權重為0.2，寫作能力的權重為0.1，外語能力權重為0.1，協作能力權重為0.15，其它權重為0.05，則應如何考慮？要是每個隊員在競賽時，受某種原因干擾，在某一方面發揮不好，但在另一方面發揮很好，又應如何考慮？

首先，利用MATLAB軟件，通過學習成績、智力水平等七個條件對20名隊員的成績進行分析與計算得到每個隊員的影響力大小和每個準則條件的影響力大小。然后，得到18名隊員的成績和權重值，在Excel表格中計算、比較每個隊員的偏差值進行分組。得到每隊的競賽水平，從而得出最高水平的參賽隊。根據已知的各個條件的權重值，利用MATLAB軟件，通過層次分析計算得到每個隊員的影響力大小。

2 基本假設

1.每名隊員均正常出賽，且實力不受其它因素的影響。

2.每名隊員的成績均能反映該隊員的綜合實力。

3 符號說明

Ai……………i號隊員，i=1，2……20；

Bi……………第i個準則條件，i=1，2………7；

wi…………第i號隊員單排序權重i=1，2……20；

ck……………第k號隊員超長發揮時的成績；

sk…………………第k號隊員發揮不好時的成績；

xk…………………各個隊員正常發揮的成績(其中k=1-18)。

4 模型的建立與求解

首先，我們將影響因素轉化為數字格式，利用層次分析法：分為目標層A，準則層B，方案層C。如圖1所示。

利用MATLAB軟件得出每名隊員的單層次矩陣求出每個隊員的總排序權重值如下：

圖1

123456789100.12760.10960.13660.13550.13270.13390.13030.12900.12720.1101111213141516171819200.12400.12360.12110.11810.11770.11570.11330.11140.15150.1462

權重值的大小反映了每名隊員的綜合水平的高低：權重值越大，水平越高；權重值越小，水平越低。所以由以上數據可得出2號和10號被淘汰。然后對剩下的18個人進行遞增排序。計算出18名隊員的權重平均值，以及每名隊員的權重值與權重平均值的差值，并以每隊的平均值與總平均值的差值的絕對值之和來表示各個組之間的水平程度，各個組的權重值及差值具體如下：

表2

根據以上數據信息分組名單如下：

1隊：隊員1，4，19；

2隊：隊員3，8，18；

3隊：隊員5，15，16；

4隊：隊員6，12，13；

5隊：隊員7，9，20；

6隊：隊員11，14，17。

每隊差值的平均值如表3。

每隊競賽水平如表4。

由表4可得出一隊水平最高。

如果學習成績的權重為0.2，智力水平的權重為0.2，動手能力的權重為0.2，寫作能力的權重為

表4 競賽水平

0.1，外語能力的權重為0.1，協作能力的權重為0.15，其他權重為0.05，則七個準則構成一個行矩陣m，再與準則層中各學生的在個準則下的權重進行乘法運算。則為

m*[w1，w2，…..w20]

用MATLAB解得1—20號隊員的總權重值數據如表5：

表5

則可觀察出應淘汰3號和5號。

如果每個隊員在競賽時，受某種原因干擾，在某一方面發揮不好，但在另一方面發揮很好。給各位隊員重新編號為1～18，設其超長發揮時的成績為ci，發揮失常即發揮不好時的成績為si，各個隊員正常發揮的成績為xi(其中i=1～18)，然后再用他們超長和失常發揮的成績與正常發揮的成績做差再做差。即

f(xi)=(ci-xi)-(si-xi)

f(x)即為各隊員的浮動偏差，記錄各隊員的浮動偏差并進行排序，比如進行升序排序，按升序排序的順序均分成三隊，1隊，2隊，3隊。各隊再出一名隊員組成一隊共6組。各隊總浮動偏差為三者之和，設某隊隊員為x1，x2，x3則隊浮動偏差為：

d(xj)=f(x1)+f(x2)+f(x3)(j=1～6)

總偏差為：

min z(xj)=d(x1)+d(x2)+d(x3)+d(x4)

+d(x5)+d(x6)

使總偏差最小，即為合理組隊。

[1]趙靜，但琦.數學建模與數學實驗[M].北京：高等教育出版社，2003，10.

[2]楊啟帆.數學建模[M].北京：高等教育出版社，2005，5.

[3]謝兆鴻，范正森，王艮遠.數學建模技術[M].北京：中國水利水電出版社，2003，9.