利用霍爾元件測量金屬絲的彈性模量

吳高米,崔 敏,王 闖,支辛蕾,萬 欣, 鄧金祥,張 兵,原安娟,王麗香

(北京工業大學 應用數理學院，北京 100124)

1 引 言

彈性模量是描述固體材料抗形變能力的重要物理量，是工程技術中常用的參量[1]. 用靜態法測量物體彈性模量的主要難度在于物體微小位移的測量. 傳統大學物理實驗教學中采用光杠桿放大法[2]進行微小位移的測量，另外，還可以利用霍爾元件來測量微小位移. 當霍爾元件[3]置于均勻梯度磁場時，由于霍爾效應，霍爾元件位置的變化將引起霍爾元件兩端霍爾電壓的改變，且電壓與位置是一一對應關系，在特定范圍內，具有良好的線性關系[4]. 本文將現有彈性模量實驗儀器進行組合改裝，將霍爾元件與金屬絲拉伸端同步，在其周圍設置均勻梯度磁場，金屬絲的微小伸長量通過測量霍爾元件位置變化獲得，實現了金屬絲彈性模量的創新測量.

2 實驗原理

設粗細均勻的金屬絲的長度為L0，截面積為S，將其上端固定，下端懸掛質量為m的砝碼，若金屬絲受外力F的作用伸長了ΔL. 由胡克定律知，在彈性限度內，應力F/S和應變δL/L成正比[5]，即

(1)

其中，E為金屬絲材料的彈性模量，其數值僅與材料性質有關，而與材料實際尺寸及外力無關. 若金屬絲直徑為d，則

(2)

式中，各量均為SI單位時，E的單位為Pa. 對長約65.00 cm、直徑為0.8 mm的鋼絲，當用1.000 kg砝碼(9.8 N)豎直加力時，鋼絲伸長量δL約為0.065 mm. 因此，微小伸長量的測量顯得尤為重要.

霍爾元件具有結構簡單、體積小、動態特性好和壽命長的優點，它不僅用于磁感應強度和電參量測量，也可進行微小位移的測量. 當霍爾元件置于磁場B中，元件內部通入激勵電流I時，霍爾元件兩端可產生霍爾電壓UH[6]：

UH=KHIB,

(3)

其中，KH為霍爾元件靈敏度(常量)，在激勵電流不變時，霍爾電壓與磁場成正比.

當霍爾元件處在均勻梯度磁場中垂直于磁場方向(即實驗中的豎直方向)發生微小位移時，所處磁場也發生變化，而這種變化可由霍爾電壓UH顯示出來. 并且，由于霍爾元件在平行于磁場方向(即實驗中的水平方向)運動時磁感應強度是不變的，不會引起霍爾電壓的改變，也就是說輸出的霍爾電壓的改變量僅由霍爾元件的豎直位移引起，因此可利用霍爾元件來測量微小位移.

3 實 驗

3.1 霍爾元件位移傳感定標

霍爾元件位移傳感特性測試如圖1(a)所示. 半導體霍爾元件(3.0 mm×2.5 mm×0.8 mm)置于2個半環形永久磁鋼形成的梯度磁場中，霍爾元件通以恒定電流(精度為0.1 A). 霍爾元件通過螺旋測微頭的調節在梯度磁場中上下移動，輸出的霍爾電壓取決于其在磁場中的位置，霍爾電壓通過電壓測試儀讀出，霍爾元件位移量通過螺旋測微頭讀出.

調節霍爾元件承載裝置的上下位置，使霍爾元件位于梯度磁場中間位置，此時磁場為零，霍爾電壓也為零. 上下移動測微頭，每變化0.05 mm讀取相應的霍爾電壓值，得到霍爾電壓隨位移變化規律如圖1(b)所示. 從圖中可看出，霍爾電壓(精度為0.01 mV)與位移變化具有良好的線性關系，線性擬合得出UH=3.549 22x+0.013 14，靈敏度即線性系數Kx為

(4)

(a)

(b)圖1 霍爾元件位移傳感特性測量裝置及霍爾電壓隨位移變化關系

3.2 實驗裝置設計

圖2 所示為設計的實驗裝置，將霍爾元件固定到彈性模量測量儀的力學裝置上，霍爾元件與金屬絲(鋼絲)的夾持部分(夾具)固定在一起，使兩者能夠同步運動. 均勻梯度磁場固定在夾具一側，使得鋼絲未拉伸時霍爾元件位于磁場中心. 鋼絲上端固定，下端托盤上增加或減少砝碼數量使得鋼絲拉伸和還原,霍爾元件的位置會隨鋼絲拉伸而發生變化，霍爾元件的位移大小即為樣品鋼絲的伸長量δL.

圖2 實驗裝置設計實物圖

4 結果分析與討論

4.1 金屬絲幾何參量測量

4.2 金屬絲外加拉力時測量結果

鋼絲豎直放置，在鋼絲底部托盤內增減砝碼，并記錄霍爾元件產生的霍爾電壓，測量數據如表1所示. 每增加1.000 kg砝碼記錄電壓示數Ui(i=0,1，…，13)，再每減去1.000 kg砝碼記錄電壓示數Ui#(i=0,1,…，13)，然后取其平均值作為第i次測量結果，以消除圓柱體和固定平臺圓孔間的摩擦對測量結果的影響.

表1 增減砝碼時數顯電壓表示數及對應位移

4.3 金屬絲彈性模量的計算

(5)

以ΔUi為縱坐標，Ni為橫坐標作圖，如圖3所示，曲線擬合為良好線性關系，斜率k=0.147 8 mV/kg. 因此，彈性模量E為

(6)

根據彈性模量的不確定度公式為

(7)

其中廠家提供Δm/m=0.6%；米尺測量ΔL0=0.5 cm；鋼絲直徑多次測量Sd2=1.228×10-4mm2，螺旋測微器誤差Δ儀=0.004 mm，得Δd=0.012 mm；由表2得ΔδL=5×10-3mm，因此：

(8)

(9)

則金屬絲彈性模量的最終測量結果為

(10)

圖3 霍爾電壓隨所加砝碼變化曲線圖

5 結束語

將霍爾元件應用于拉伸法測量彈性模量的實驗中,替代光杠桿放大系統,通過測量霍爾電壓得到微小位移. 結果表明，霍爾電壓隨位移變化為良好線性，采用作圖擬合法計算求得金屬絲的彈性模量，分析了實驗結果的不確定度. 實驗證明該測量方法測量精度高，準確性好，通過數字電壓表測量霍爾電壓巧妙地解決了微小位移難測的問題，提高了實驗精度和實驗效率；同時充實了大學物理實驗教學內容，更可作為創新和研究型實驗項目對學生開放.

參考文獻：

[1] 鄧金祥，劉國慶，原安娟，等. 大學物理實驗[M]. 北京：北京工業大學出版社，2011:65-67.

[2] 劉芬芬，傅振國，朱茂健，等. 光杠桿放大法測量的誤差分析及改進方法[J]. 大學物理實驗,2013,26(4):92-95.

[3] 劉卓霖，楊一帆，陳蘇，等. 基于霍爾傳感器陣列的孔板流量計測流量實驗[J]. 物理實驗,2011,31(7):5-7.

[4] 蔡明，章英，白雪蓮，等. 線性霍爾傳感器技術及其在氣動定位控制中的應用[J]. 儀表技術與傳感器, 2013(1):13-15.

[5] 李東平，戴玉萍. 測定物體長度微小變化量的實驗裝置[J]. 物理實驗,1996,16(2):72-74.

[6] 劉雪梅. 霍爾效應理論發展過程的研究[J]. 重慶文理學院學報(自然科學版),2011,30(2):41-44.