高等數學教學中反例的作用

鄒宗蘭

(四川職業技術學院應用數學與經濟系，四川 遂寧629000 )

高等數學中存在著大量的概念、定理、法則、公式、命題等，它們不僅內容抽象，邏輯嚴密，而且之間的關系錯綜復雜，成為學生學習的難關。在高等數學教學中，由于學生對某些概念的理解存在一定困難，對一些定理缺乏深刻的認識，對一些方法的應用很難掌握，而在教學過程中恰當運用反例，往往能彌補這方面的不足，給高等數學的教學帶來事半功倍的效果。

1 利用簡單的反例，準確理解定義

高等數學中許多重要的概念都是用抽象的數學語言給予形式化的精確描述，這些語言往往簡短精煉，但內涵豐富，意義深刻，給學生的理解帶來很大難度。 而數學理論和方法的基礎是概念，只有準確理解，才能正確掌握數學知識。概念的教學中，不僅僅要運用正確的例子來分析和強調概念，如果有幾個例子從反面來說明定義，從而能加深學生對概念的理解和掌握。

如數列極限概念的理解， 除直接定義外， 再用一個簡單的反例：xn＝（-1）n來說明極限的定義。這數列是沒有極限的，原因是xn在常數-1 ，1 之間來回跳動，當n→∞時，xn不能無限地靠近一個確定的常數，所以此數列沒有極限。

又如可導必連續，這肯定了可導與連續這兩個概念之間關系，但連續是否一定可導？ 如函數f（x）＝在x＝0 處連續，但由定義知f（x）在x＝0 處不可導。通過此例，學生印象深刻，強化了對這兩個概念之間內在關系的認識，即可導一定連續，但連續不一定可導。

2 應用直觀的反例，正確掌握定理

高等數學的教學內容除概念以外，大量的是定理、性質以及他們的應用.每一個定理、性質都有它各自成立的條件，且條件不能隨便改變或者削弱，而且不同的定理，條件的性質往往不一樣。 在教學中，盡管教師把定理的條件講得很深刻，而且不厭其煩、不厭其詳強調多次，但是有些學生還是憑直觀而忽視應注意的條件， 漠視條件的嚴密性，不審視條件與結論之間關系，甚至把條件看得可有可無，用想當然代替嚴密的邏輯推理，最后得出自以為正確的謬論。 要避免定理的錯誤運用，可以使用適當的反例，說明定理的條件不能削弱或改變，或進一步強調條件的性質，這樣可加深學生對定理、性質的本質理解，讓定理條件入腦入心，深化到學生心靈.因此數學中的定理、公式的許多條件往往是不能改變的，不同的定理，條件是不一樣的。為了正確理解定理與公式，往往用反例來說明條件不滿足，結論不成立。

如一元微分學中的拉格朗日中值定理：函數y＝f（x）滿足（1）在[a,b]上連續，（2）在（a,b）內可導，則在（a,b）內至少存在一點ξ，使得f′（ξ）此定理中兩個條件缺一不可。

3 通過直接的反例，糾正錯誤認識

由于高等數學中概念、定理比較抽象，邏輯程度高，不易理解透徹，所以學生出現一些錯誤認識，把錯誤的命題主觀臆斷為正確的，是非常正常的情況。教學是一個知識積累的過程，又是發現問題、糾正錯誤的過程。 反例在教學中具有直觀、明顯、說明力強的特點，通過反例的教學，不僅可以發現學習中存在的錯誤和漏洞，還可以獲得相關的知識，從而得到正確的結論。

4 運用經驗的反例，激發學習興趣

教學過程中,反例不但在使學生獲得基本知識、掌握基本理論、加強基本運算技能訓練方面有著重要的作用,而且對提高學生的學習興趣,激發學生的求知欲望,逐步培養科學研究能力諸方面大有幫助。

在講導數幾何意義時，如函數y＝f（x）在x0處可導，則y＝f（x）在x0處必有切線，但如果曲線y＝f（x）在x0處有切線，那么y＝f（x）在x0處是否可導呢？

又如單調函數的導函數必單調。 此命題不對。 例如函數y＝x3在（-∞，＋∞）內是單調的，但它的導數y′＝3x2在（-∞，＋∞）內卻不是單調的。

5 結束語

通過上面的反例，可使問題清楚明了。 為了讓學生重視反例的學習，在此不要因為問題簡單就可輕描淡寫，應強調指出概念、定理、性質、公式等的條件，使學生記住結論的同時，也記住這些簡單而又典型的反例，而此反例又能幫助學生增強對結論的理解和記憶。

反例在高等數學教學中的地位是不容忽視的，在概念、定理、性質的理解，問題的研究和論證中都有不可替代的作用。因此適當運用反例可使學生澄清對某些概念和性質的模糊認識，加深理解教材內容，搞清結論成立的條件，克服對數學知識理解的偏差，從而更深刻理解知識，思維更加嚴謹。 因此，善于應用反例是搞好數學教學的重要環節。

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