基于可變遺忘因子在OFDM系統的載波頻偏估計

張軍龍，劉立程，郝祿國

(廣東工業大學信息工程學院，廣東廣州 510006)

OFDM技術作為第四代移動通信系統的核心技術［1］，其主要缺陷在于對CFO非常敏感，而CFO會破壞OFDM系統子載波間的正交性，引起子載波間干擾(ICI)。造成CFO的主要原因是由于發射機的載波頻率和接收機本地振蕩器頻率之間的誤差，或者是由于通信收發雙方的相對移動而引發的多普勒頻移。在高載頻和高速移動環境中，由于多普勒擴展的增大使得無線信道往往表現為時間—頻率雙選擇性衰落(時變)信道［2］，而時變信道極大地增加了信道的未知參量，通常需要通過建立基帶擴展模型(BEM)［3］來簡化信道的未知參量。

RLS自適應濾波［4］是通過對參數采用遞推方式進行更新，以實現跟蹤和適應系統或環境的變化，所使用的確定性線性回歸模型是卡爾曼(KF)濾波算法［5］的一種特殊無激勵的狀態空間模型。將RLS自適應濾波應用到時變信道下OFDM系統CFO估計，提高了CFO估計的精度。與經典信號估計方法［6］(貝葉斯(Bayesian)估計法和最大似然(ML)估計法)相比，不僅避免了高階矩陣求逆運算，可以減小計算量的同時也解決不可辨識問題［7］;而且避免了CFO估計的“搜索”過程，提高了運算效率。

在RLS算法中利用遺忘因子進行指數加權實現對各個時刻誤差的遺忘作用，所以遺忘因子對RLS算法的收斂速度和跟蹤能力有很大的影響，然而CFF－RLS算法無法同時滿足對CFO估計的快速跟蹤能力和足夠小的估計誤差的需求。為了解決傳統的RLS算法［8］在收斂速度與收斂精度方面對遺忘因子要求的矛盾，本文提出了兩種可變遺忘因子方案，來適應RLS算法對遺忘因子的要求。與CFF－RLS算法相比較，VFF－RLS算法既能確保對CFO具有快速跟蹤能力，同時又能保證具有足夠小的CFO估計誤差。

1 系統模型

在OFDM系統的發送端，由導頻符號和數據符號構成的幀結構如圖1所示［8］，則一個OFDM符號的時域發送數據(或導頻)為x(n)，其中n∈［－Ng，N－1］，N為子載波數，Ng為循環前綴(CP)的長度。

圖1 發送符號的幀結構示意圖

為了減少時變信道的未知參量，可以通過建立BEM模型［3］來表示時變信道。根據采用的基函數種類不同，主要的BEM模型有復指數BEM(CE－BEM)、多項式BEM(P－BEM)和卡洛 BEM(KL－BEM)。其中 CE－BEM 模型采用的基函數是傅里葉基，對應的信道第l個抽頭的時域離散沖激響應為

在接收端，經過時變的多徑信道后，假設系統在時間和相位上同步，考慮到CFO的影響，接收到的時域信號為

式中:ε為歸一化頻偏(小數倍頻偏);L為信道的路徑總數;w(n)為零均值的復高斯白噪聲。

2 基于VFF－RLS的CFO估計

2.1 CFF－RLS 算法

根據時域的接收信號，建立關于CFO的最小二乘(LS)代價函數，其第i次迭代的RLS表達式［7］為

式中:加權因子λ為遺忘因子(Forget Factor，FF);ei為估計誤差;yn為實際濾波輸出信號;f)為期望的輸出號;為信道和頻偏的狀態向量，CE－BEM系數

為了使得ei可以進行線性迭代運算，通過對式(5)利用一階泰勒級數逼近，得到

代表估計參量的梯度向量表示為

2.2 改進的VFF－RLS算法

式(3)中遺忘因子λ的作用是對離i時刻越近的誤差加較大的權重，而對離i時刻越遠的誤差加較小的權重，即λ對各個時刻的誤差具有一定的遺忘作用。遺忘因子的取值范圍為0＜λ＜1，當λ=1相對于各時刻的誤差無任何遺忘功能，此時RLS退化為一般的最小二乘方法(LS)。反之，λ=0表示只有現時刻的誤差起作用，而過去時刻的誤差完全被遺忘，不起任何作用，有文獻進一步規定遺忘因子取值范圍為0.9＜λ＜0.995［9］。

將式(3)展開得到

由式(10)可知，傳統RLS算法取固定λ，若λ取值越小，代價函數就越接近最新的誤差，對前面誤差遺忘的越快，跟蹤效果就越好，能夠提高參數估計的收斂性，但是參數估計誤差有所增加，同時會影響算法的穩定性。若λ取值偏大，可以保證足夠低的估計誤差，但是在初始階段參數的估計性能不是非常的理想，收斂性較差，算法的跟蹤效果較弱。所以，CFF－RLS算法不能同時滿足收斂速度和參數估計誤差，需要在跟蹤速度與穩定性之間進行折中［8］。

因此，考慮采用VFF－RLS來提高CFO的估計性能。當初始階段或者系統動態變化時，取較小的遺忘因子以跟蹤動態參數的變化;當系統趨于平穩時，取遺忘因子趨于1，從而獲得較小的穩態誤差。基于這一準則，本文分別提出線性遺忘因子RLS(LFF－RLS)和非線性遺忘因子RLS(NLFF－RLS)估計法進行CFO估計，如圖2所示。

圖2 可變遺忘因子的示意圖

其中LFF表達式為

式中:λ0為起始值;ρ1為線性遺忘因子λi的步長參數。

NLFF表達式為

式中:λ0為起始值;ρ2為非線性遺忘因子λi的學習速率參數;N為迭代的次數。

根據標準RLS算法的CFO估計流程，則本文提出的LFF－RLS算法和NLFF－RLS算法具體步驟如下:

1)首先進行初始化，即

式中:Ρ1為初始化值;系數γ為正規化參數。經過以下的重復運算和參數更新完成RLS算法的遞推，實現CFO的估計。

2)重復過程:第i次迭代過程更新參數表達式為

3)更新第i次迭代估計為

3 仿真分析

仿真參數如下:載波頻率為fc=2 GHz，采樣頻率為fs=1.92 MHz，子載波數N=128，循環前綴Ng=10，一個幀結構包含15個OFDM子符號、3個導頻符號。信道采用JAKE模型［3］，共5條路徑，CE－BEM模型基函數Q=2，OCE －BEM 模型k=2，正規化參數 γ =0.01，遺忘因子的起始值 λ0=0.8，參數 ρ1=0.001 55，參數 ρ2=0.05。

通過選取不同的常量遺忘因子(即圖3中的λ)，采用CE－BEM模型，對OFDM系統CFO估計性能進行比較。圖3所示的是在信號接收端的移動速度5 km/h，歸一化載波偏移量ε0=0.01下CFO估計的均方誤差值，可以看出，當遺忘因子λ取較大值時，在高信噪比的情況下，可以保持足夠低的均方誤差，可是在低信噪比時，性能表現的較差;當遺忘因子λ取較小值時，雖然在低信噪比的情況下，可以降低CFO估計的均方誤差，但是在高信噪比時，性能表現的有所降低。由此驗證CFF－RLS無法同時滿足CFO估計的收斂速度和足夠小的均方誤差，需要利用可變的遺忘因子來改善CFO的估計性能。

圖3 CFO估計的均方誤差 ，ε0=0.01，v=5 km/h

圖4所示的是在信號接收端的移動速度10 km/h，歸一化載波偏移量 ε0=0.01下，通過采用 CE－BEM和OCE－BEM兩種時變信道模型，對3種遺忘因子設計方案的CFO估計性能進行比較。其中A1為λ取固定值0.95的CFF－RLS算法，A2為LFF－RLS算法，A3為 NLFF－RLS算法。相比較CFF－RLS算法、LFF－RLS算法和NLFFRLS算法表現的性能更優。由A2、A3可以看到，當在遞推的過程中采用可變的遺忘因子λ，既能在低信噪比時降低均方誤差，也能在高信噪比時呈現足夠好的CFO估計性能。在不同的BEM模型下，LFF－RLS算法和NLFFRLS算法呈現的均方誤差各有高低，關鍵在于可變遺忘因子是否適應系統的動態變化。

圖4 CFO的估計的均方誤差 ，ε0=0.01，v=10 km/h

圖5所示的是在移動速度50 km/h，信噪比SNR=5 dB下，在不同CFO取值情形下CFO估計性能的比較。當采用OCE－BEM模型，在CFO取值小于0.2時，VFFRLS算法的CFO估計性能要明顯優于CFF－RLS算法，而且CFO估計性能保持穩定;當采用CE－BEM模型，在CFO取值小于0.1時，VFF－RLS算法的CFO估計性能優于CFF－RLS算法，其中相比較NLFF－RLS算法的CFO估計性能，LFF－RLS算法表現的稍顯“遜色”。隨著CFO取值的增大，導致時變信道下OFDM系統CFO估計性能開始惡化，VFF－RLS算法對CFO估計性能的改善作用漸漸減弱，3種方案的CFO估計性能越來越接近。

4 結論

圖5 CFO估計的均方誤差，SNR=5 dB，v=50 km/h

本文提出了線性變化遺忘因子和非線性變化遺忘因子兩種方案的改進RLS算法，用來改善時變信道下OFDM系統CFO估計性能。通過與CFF－RLS算法的CFO估計均方誤差比較，可變的遺忘因子既可以對CFO保持快速跟蹤能力，又可以確保足夠小的CFO估計誤差。因此，可變的遺忘因子更加適合在時變信道環境中對OFDM系統CFO的估計，需要注意的是控制好遺忘因子的變化速度以及初始值。

:

［1］汪裕民.OFDM關鍵技術與應用［M］.北京:機械工業出版社，2007.

［2］梁婷，王玲，戴香玉.OFDM系統中時變信道下信道估計方法的研究［J］.電視技術，2006，30(9):4－7.

［3］RABBI M F.High mobility orthogonal frequency division multiple access channel estimation using basis expansion model［J］.IET Communicaiton，2010，4(3):353－367.

［4］趙春暉，張朝柱，王立國，等.自適應信號處理技術［M］.北京:北京理工大學出版社，2009.

［5］SIMON E P，HIJAZI H，ROS L，et al.Joint estimation of carrier frequency offset and channel complex gains for OFDM systems in fast time－varying vehicular environments［C］//Proc.IEEE International Conference on Communications Workshops.［S.l.］:IEEE Press，2010:1－5.

［6］RICKLIN N，ZEIDLER J R.Data－aided joint estimation of carrier frequency offset and frequency－selective time－varying channel［C］//Proc.IEEE International Conference on Communications.［S.l.］:IEEE Press，2008:589－593.

［7］GAO F F，NALLANATHAN A.Identifiability of data－aided carrier－frequency offset estimation over frequency selective channels［J］.IEEE Trans.Signal Processing，2006，54(6):3653－3657.

［8］NGUYEN－LE H，THO L N.Pilot－aided joint CFO and doubly－selective channel estimation for OFDM transmissions［J］.IEEE Trans.Broadcasting，2010，56(4):514－522.

［9］HAYKIN S.Adaptive filter theory［M］.4th ed.Englewood Cliffs，NJ:Prentice－Hall，2002.