強(qiáng)迫激勵(lì)下CFRP斜拉索面內(nèi)分叉特性*

康厚軍,趙躍宇,朱志輝，解維東

(1.湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙 410082; 2.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙 410075)

CFRP(Carbon Fiber Reinforced Polymer)斜拉橋是近幾年來(lái)出現(xiàn)的一種具有相當(dāng)發(fā)展前景的新型大跨度橋梁,國(guó)內(nèi)外已建成CFRP斜拉索斜拉橋6座.CFRP是一種增強(qiáng)型的碳纖維復(fù)合材料,被廣泛應(yīng)用于航空航天和機(jī)械工程等領(lǐng)域.CFRP斜拉索能克服傳統(tǒng)鋼質(zhì)拉索的銹蝕、疲勞、極限長(zhǎng)度小和承載效率低等問(wèn)題,它輕質(zhì)(容重約為鋼材的1/5)、高強(qiáng)(彈性模量最高可達(dá)1 000 GPa,抗拉強(qiáng)度可達(dá)2 700 MPa[1])和耐腐蝕等特點(diǎn),使得它作為斜拉索具有相當(dāng)大的競(jìng)爭(zhēng)力,并且隨著斜拉橋跨度的增大,這種優(yōu)勢(shì)將越來(lái)越明顯.

目前,國(guó)內(nèi)外對(duì)于CFRP斜拉索動(dòng)力學(xué)特性的研究還比較少,主要基于各向同性假設(shè)的傳統(tǒng)拉索理論,利用有限元方法對(duì)其動(dòng)力學(xué)問(wèn)題開(kāi)展研究.張新軍等[2]基于斜拉橋和懸索橋的有限元模型,研究了相同剛度的CFRP索和鋼索在兩種橋型中的空氣動(dòng)力穩(wěn)定問(wèn)題,發(fā)現(xiàn)CFRP索在懸索橋中由于其較大的扭轉(zhuǎn)頻率而具有更好的空氣動(dòng)力穩(wěn)定性.張鶴和謝旭[3-4]基于各向同性假設(shè),采用有限元方法研究了車(chē)輛荷載作用下大跨度斜拉橋中CFRP拉索的非線性振動(dòng)行為,發(fā)現(xiàn)在車(chē)輛荷載下,CFRP斜拉索的振動(dòng)比剛索大；在橫向風(fēng)荷載作用下,CFRP拉索的橫向變形基本上與鋼索相同.后來(lái),謝旭等[5]應(yīng)用柔性拉索的非線性振動(dòng)理論,研究了橫向脈動(dòng)風(fēng)荷載作用及支點(diǎn)激勵(lì)下的CFRP拉索非線性振動(dòng),研究結(jié)果表明,脈動(dòng)風(fēng)雖然導(dǎo)致拉索出現(xiàn)不規(guī)則的豎向和橫向水平振動(dòng),但不會(huì)改變拉索的參數(shù)振動(dòng)特性.另外,Xiong等[6]和Fang等[7]利用有限元方法和實(shí)驗(yàn)對(duì)CFRP斜拉橋的特征頻率和模態(tài)等基本動(dòng)力學(xué)性能進(jìn)行了研究.

對(duì)于CFRP拉索的非線性振動(dòng)問(wèn)題,目前國(guó)內(nèi)外的研究也主要基于傳統(tǒng)拉索的各向同性動(dòng)力學(xué)理論.梅葵花等[8]建立了CFRP拉索的非線性參數(shù)振動(dòng)模型,對(duì)相同條件下的CFRP拉索和鋼拉索,采用數(shù)值方法分析了頻率匹配比、拉索靜拉力、激勵(lì)幅值以及阻尼等因素對(duì)拉索參數(shù)振動(dòng)特性的影響.吳曉等[9]對(duì)比研究碳纖維纜索懸索橋與鋼纜索懸索橋的豎向非線性自由振動(dòng),利用Galerkin方法及L-P法求出了懸索橋豎向非線性自振的近似解,研究表明溫度升高使懸索橋非線性自振頻率降低.Kang等[10]研究了在參數(shù)激勵(lì)下CFRP拉索和鋼質(zhì)拉索的主共振和亞諧波共振,發(fā)現(xiàn)CFRP拉索彈性模量取值不同,對(duì)拉索的非線性振動(dòng)性能有較大的影響,可以改變拉索的軟硬彈簧特性,這有利于拉索的減振設(shè)計(jì).

近幾年來(lái),對(duì)CFRP斜拉索動(dòng)力學(xué)特性的研究,開(kāi)始考慮其材料各向異性的問(wèn)題.李志江[11]采用各向異性的材料本構(gòu)關(guān)系,考慮了彎曲剛度、剪切剛度和扭轉(zhuǎn)等因素影響,推導(dǎo)出了對(duì) CFRP 材料斜拉索分析具有針對(duì)性而且計(jì)算精度較高的梁模型方程,研究了在外部激勵(lì)荷載作用下CFRP斜拉索主參數(shù)共振時(shí)的非線性動(dòng)力學(xué)特性.該方面的研究工作才剛剛起步,還有待進(jìn)一步揭示CFRP拉索的非線性動(dòng)力學(xué)特性和機(jī)理,以期為大跨度索支撐橋梁的設(shè)計(jì)和建造提供理論支撐和有建設(shè)性的建議.

本文基于CFRP斜拉索的各向異性材料特性和斜拉索的基本力學(xué)性能,將其假定為橫向各向同性材料,建立了其非線性動(dòng)力學(xué)控制偏微分方程.將風(fēng)對(duì)拉索的渦激等作用簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫激勵(lì),通過(guò)龍格-庫(kù)塔法對(duì)CFRP斜拉索在主共振和亞諧波共振時(shí)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了研究.研究結(jié)果表明,在強(qiáng)迫激勵(lì)下CFRP斜拉索有較為豐富的非線性動(dòng)力學(xué)行為.

1 CFRP斜拉索面內(nèi)運(yùn)動(dòng)方程

斜拉索在風(fēng)、橋塔和橋面激勵(lì)作用下會(huì)產(chǎn)生大幅振動(dòng),給橋梁安全造成隱患.CFRP斜拉索由于其自重更輕、跨度更大,在風(fēng)荷載作用下,其非線性動(dòng)力學(xué)特性將可能更為突出.因此,對(duì)其非線性動(dòng)力學(xué)特性開(kāi)展深入系統(tǒng)的研究具有重要的理論和實(shí)際意義.對(duì)CFRP斜拉索的研究,特做以下基本假設(shè)：截面滿足平截面假設(shè)、不考慮材料的非線性、將各向異性材料假定為橫向各向同性、在重力作用下垂度曲線近似為拋物線.由于抗彎剛度對(duì)拉索的模態(tài)頻率和相互作用(特別是高階模態(tài))有較大影響[12]，因此，在動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)控制微分方程的推導(dǎo)過(guò)程中,考慮了CFRP拉索抗彎剛度和溫度的影響.

根據(jù)應(yīng)變和位移的關(guān)系以及應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,可以得到CFRP斜拉索的勢(shì)能為：

(1)

動(dòng)能和外力做功分別為:

(2)

(3)

其中m為單位長(zhǎng)度的質(zhì)量;μi為拉索的黏彈性阻尼;ρ拉索的密度;pi為在x,y和z方向的分布荷載.

圖1 CFRP斜拉索的靜動(dòng)態(tài)構(gòu)形

根據(jù)Hamilton變分原理,

(4)

可得到CFRP斜拉索的空間運(yùn)動(dòng)偏微分控制方程為:

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

其中

(10)

由于拉索運(yùn)動(dòng)時(shí)縱向變形遠(yuǎn)小于其橫向變形,且在考慮拉索低階模態(tài)的橫向振動(dòng)時(shí),橫向模態(tài)和縱向振動(dòng)模態(tài)不存在相互作用. 因此,忽略拉索的縱向慣性力、阻尼力和激勵(lì)力的影響,方程(7)可以改寫(xiě)為：

(11)

考慮方程(10), 可以得到:

(12)

為研究拉索的面內(nèi)強(qiáng)迫振動(dòng)問(wèn)題,忽略面外橫向振動(dòng)的影響和不考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響,由方程(5)和(8)可以得CFRP斜拉索面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的偏微分控制方程:

(13)

該方程通過(guò)退化處理可得到一般鋼質(zhì)拉索的非線性動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)控制微分方程．

2 無(wú)量綱化及Galerkin離散

引入以下無(wú)量綱量:

則方程(13)改寫(xiě)為:

(14)

類(lèi)似地,式(12)改寫(xiě)為:

(15)

為研究CFRP斜拉索在強(qiáng)迫激勵(lì)下面內(nèi)一階模態(tài)的振動(dòng)問(wèn)題,這里采用Galerkin方法對(duì)上述方程(14)和(15)進(jìn)行處理.

假定振動(dòng)函數(shù):

v=φ(x)g(t)

(16)

則式(15)改寫(xiě)為:

ε(t)=B1g(t)+B2g2(t)

(17)

其中

將式(15)和(16)代入式(14),并進(jìn)行Galerkin積分有:

a3g3(t)+f(t)=0

(18)

其中

式(18)即為CFRP斜拉索在強(qiáng)迫激勵(lì)下的非線性振動(dòng)常微分控制方程.

3 算例分析

以目前工程中最長(zhǎng)拉索為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)CFRP斜拉索,CFRP斜拉索材料根據(jù)相關(guān)研究其縱向彈性模量Ex可在100～1 000 GPa變化，本文取Ex=137 GPa, 橫向彈性模量為10.2 GPa．其余主要參數(shù)為:l=500 m,m=99.92 kg/m,A=0.001 718 9 m2,G=3.75 GPa,θ=22.5°,初始張拉力T0=570 t, 阻尼比取0.003. 進(jìn)行無(wú)量綱參數(shù)分析時(shí),在此基礎(chǔ)上根據(jù)工程實(shí)際做適當(dāng)變化.采用龍格-庫(kù)塔法對(duì)常微分方程(18)求解,求得拉索在面內(nèi)橫向強(qiáng)迫激勵(lì)下響應(yīng)的時(shí)間歷程圖、相圖、功率譜圖和分叉圖，從而對(duì)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行研究. 為確保計(jì)算結(jié)果的正確，分叉圖經(jīng)過(guò)頻閃法和Poincare截面法兩種方法進(jìn)行計(jì)算和相互驗(yàn)證.

圖2為激勵(lì)幅值f=0.001時(shí),CFRP斜拉索穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨激勵(lì)頻率變化的分叉圖.從圖中可以看出，隨著激勵(lì)頻率的增大,系統(tǒng)經(jīng)歷了一個(gè)較為復(fù)雜的變化過(guò)程,總體表現(xiàn)為硬彈簧特性.當(dāng)激勵(lì)頻率較小時(shí)(ω<0.026),系統(tǒng)表現(xiàn)出多周期小幅振動(dòng)；在0.026<ω<0.175時(shí),系統(tǒng)表現(xiàn)出單周期的穩(wěn)態(tài)振動(dòng),但在此激勵(lì)頻率區(qū)間出現(xiàn)多次跳躍,響應(yīng)幅值并不一定隨著激勵(lì)頻率增大而增大,有時(shí)會(huì)逐漸變小；當(dāng)激勵(lì)頻率大于0.118時(shí),系統(tǒng)的響應(yīng)幅值才隨激勵(lì)頻率的增大而增大,當(dāng)激勵(lì)頻率達(dá)到0.305時(shí),通過(guò)單周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換為多周期運(yùn)動(dòng),同時(shí)響應(yīng)幅值急劇減小,進(jìn)入較為復(fù)雜的多周期運(yùn)動(dòng)；隨著激勵(lì)頻率的進(jìn)一步增加,多周期運(yùn)動(dòng)通過(guò)一小段的雙周期運(yùn)動(dòng)過(guò)度為單周期運(yùn)動(dòng),響應(yīng)幅值進(jìn)一步趨于零.

ω

圖3為激勵(lì)幅值f=0.002時(shí),CFRP斜拉索穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨激勵(lì)頻率變化的分叉圖.與圖2比較可以看出,由于激勵(lì)幅值的增加,系統(tǒng)的響應(yīng)變得越來(lái)越復(fù)雜,但總體上仍表現(xiàn)為硬彈簧特性.系統(tǒng)大幅振動(dòng)的頻率區(qū)間上限從0.305增大到0.343 5,當(dāng)ω> 0.343 5時(shí),系統(tǒng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)階段,最后通過(guò)一小段頻率帶的雙周期運(yùn)動(dòng)變?yōu)閱沃芷谶\(yùn)動(dòng).

ω

圖4為激勵(lì)幅值分別為0.003,0.004,0.005時(shí),CFRP斜拉索穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨激勵(lì)頻率變化的分叉圖.從圖中可以看出,不同激勵(lì)幅值不能改變CFRP斜拉索的軟硬彈簧特性,仍就表現(xiàn)出硬彈簧特性.隨著激勵(lì)幅值的增加,系統(tǒng)的分叉行為變得越來(lái)越復(fù)雜,當(dāng)激勵(lì)幅值達(dá)到0.005時(shí),周期運(yùn)動(dòng)的頻率區(qū)間越來(lái)越小,單周期穩(wěn)態(tài)振動(dòng)僅在0.118至0.130 5和0.137 5至0.229之間存在,其余頻率域均變?yōu)槎嘀芷谏踔粱煦邕\(yùn)動(dòng),混沌運(yùn)動(dòng)的頻率區(qū)間變大.另外,拉索大幅響應(yīng)的頻率區(qū)間隨激勵(lì)幅值的增加也隨之增大,同時(shí)響應(yīng)的最大幅值也隨之變大.

圖5描述了在激勵(lì)幅值為0.005時(shí)不同激勵(lì)頻率下CFRP斜拉索的時(shí)間歷程、相圖和功率譜圖.從圖中可以看出,在不同的激勵(lì)頻率下,系統(tǒng)表現(xiàn)出不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),在激勵(lì)頻率為0.15時(shí),系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài),形成連續(xù)譜成分,但以激勵(lì)頻率響應(yīng)為主.當(dāng)激勵(lì)頻率增大為0.17時(shí),從相圖和時(shí)間歷程圖可以看出系統(tǒng)做單周期穩(wěn)態(tài)振動(dòng),但從功率譜圖可以看出,其中仍含有較少成分的其它周期運(yùn)動(dòng),并且這些離散譜峰倍頻成分明顯,只是對(duì)振動(dòng)的貢獻(xiàn)較小.這也說(shuō)明結(jié)合多種方法分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況更為精確.激勵(lì)頻率增大到0.19時(shí),系統(tǒng)表現(xiàn)出雙周期運(yùn)動(dòng).但是，與此同時(shí)也可以從功率譜圖中觀察到倍頻成分,這些成分對(duì)振動(dòng)的貢獻(xiàn)幾乎為零.

圖4 系統(tǒng)隨激勵(lì)頻率變化分叉圖

圖5 不同激勵(lì)頻率時(shí)系統(tǒng)的時(shí)間歷程、相圖和功率譜圖(f=0.005)

圖6為主共振時(shí)系統(tǒng)隨激勵(lì)幅值變化的分叉圖.可以看出,隨著激勵(lì)幅值的增加系統(tǒng)以單周期穩(wěn)態(tài)振動(dòng)為主,只在部分幅值區(qū)間出現(xiàn)多周期運(yùn)動(dòng),如:雙周期運(yùn)動(dòng)(0.000 74

圖7為亞諧波共振時(shí)系統(tǒng)隨激勵(lì)幅值變化的分叉圖. 比較圖6可以看出,CFRP斜拉索在強(qiáng)迫振動(dòng)情況下的亞諧波共振的響應(yīng)幅值幾乎都有一定程度的增大,但相對(duì)于發(fā)生參強(qiáng)激勵(lì)的情況(亞諧波共振的響應(yīng)幅值比主共振有數(shù)量級(jí)的提高)要小很多.由此說(shuō)明,CFRP強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)亞諧波共振和主共振的響應(yīng)幅值在同一量級(jí).從圖7中可以看出,隨著激勵(lì)幅值的增加,單周期穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的響應(yīng)幅值同時(shí)增大.當(dāng)激勵(lì)幅值達(dá)到0.001 34時(shí),系統(tǒng)的響應(yīng)轉(zhuǎn)變?yōu)殡p周期穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng),且響應(yīng)幅值突然增大(響應(yīng)出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象).當(dāng)激勵(lì)幅值達(dá)到0.001 97時(shí),雙周期穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)再次轉(zhuǎn)變?yōu)閱沃芷谶\(yùn)動(dòng).隨著激勵(lì)幅值的進(jìn)一步增大,在0.004 058與0.004 203之間,由單周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)?周期運(yùn)動(dòng),同時(shí)振動(dòng)幅值伴有跳躍現(xiàn)象.當(dāng)激勵(lì)幅值大于0.004 203時(shí),系統(tǒng)又回到穩(wěn)態(tài)的單周期運(yùn)動(dòng).最后,當(dāng)激勵(lì)幅值達(dá)到0.004 671時(shí),系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)?周期運(yùn)動(dòng),直到激勵(lì)幅值達(dá)到0.003 24時(shí),系統(tǒng)由4周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)?周期運(yùn)動(dòng),進(jìn)一步增加激勵(lì)幅值,系統(tǒng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng).當(dāng)激勵(lì)幅值大于0.005 4時(shí),系統(tǒng)突然由混沌運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)態(tài)的單周期運(yùn)動(dòng).

f

f

4 結(jié) 論

通過(guò)對(duì)CFRP斜拉索面內(nèi)強(qiáng)迫振動(dòng)分叉行為的理論研究和算例分析,發(fā)現(xiàn)了豐富的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象,同時(shí)得到一些有意義的結(jié)論.

1)CFRP斜拉索面內(nèi)強(qiáng)迫振動(dòng)亞諧波共振的振幅雖然相對(duì)主共振時(shí)有一定程度的增加,但相對(duì)于參強(qiáng)共振時(shí)的情況,亞諧波共振危險(xiǎn)性有可能和主共振為同一個(gè)量級(jí).

2)通過(guò)對(duì)CFRP斜拉索面內(nèi)響應(yīng)隨激勵(lì)頻率變化的分叉行為分析,系統(tǒng)具有非常豐富的非線性動(dòng)力學(xué)特性：觀察到了由倍周期分叉進(jìn)入混沌的現(xiàn)象,最后混沌運(yùn)動(dòng)突然轉(zhuǎn)變?yōu)殡p周期運(yùn)動(dòng),進(jìn)而轉(zhuǎn)變?yōu)閱沃苓\(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象.

3)當(dāng)激勵(lì)頻率不變時(shí),激勵(lì)幅值越大,對(duì)應(yīng)同一激勵(lì)頻率區(qū)間系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)可能會(huì)越來(lái)越復(fù)雜,同一激勵(lì)頻率下的單周期運(yùn)動(dòng)可能變?yōu)殡p周期多周期甚至是混沌運(yùn)動(dòng).

4)在同一激勵(lì)頻率下,隨著激勵(lì)幅值的增大,CFRP斜拉索的響應(yīng)幅值并不一定隨著增大,可能在某一區(qū)間段響應(yīng)幅值越來(lái)越小,最后可能通過(guò)跳躍行為,響應(yīng)幅值突然有超過(guò)100%的增加.

5)亞諧波共振時(shí),隨著激勵(lì)幅值的增加,發(fā)現(xiàn)CFRP斜拉索通過(guò)雙周期分叉使響應(yīng)幅值發(fā)生跳躍的現(xiàn)象,最后又轉(zhuǎn)變?yōu)閱沃芷诜€(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng).

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