關(guān)于反比例函數(shù)k的幾何意義

施春華

反比例函數(shù)是中考重點(diǎn)之一，在解有關(guān)反比例函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，若能靈活運(yùn)用反比例函數(shù)中k的幾何意義，就會(huì)給解題帶來(lái)很大的方便.下面我就反比例函數(shù)k的幾何意義在教學(xué)中的體會(huì)談?wù)効捶?

一、了解認(rèn)識(shí)反比例函數(shù)K的幾何意義

在反比例函數(shù)y=■（k≠0）中，比例系數(shù)k有一個(gè)很重要的幾何意義，那就是：過(guò)反比例函數(shù)圖像y=■上任一點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線PM、PN，垂足為M、N（如圖所示），則矩形PMON的面積S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|.連接OP，則S■=S■=■.

在解有關(guān)反比例函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，若能靈活運(yùn)用反比例函數(shù)中k的幾何意義，就會(huì)給解題帶來(lái)很多方便.下面我舉例說(shuō)明.

例1：如圖，在函數(shù)y=■（x>0）的圖像上有三點(diǎn)A、B、C.過(guò)這三點(diǎn)分別向x軸、y軸作垂線.過(guò)每一點(diǎn)所作的兩條垂線與x軸、y軸圍成的矩形的面積分別為S■，S■，S■，則（ ）

A.S■>S■>S■ B.S■

C.S■

分析：根據(jù)K的幾何意義，S■=S■=S■=1，故選D.

變式1：如圖反比例函數(shù)y=■（x>0）的圖像上，有點(diǎn)P，Q，R，S，它們的橫坐標(biāo)依次是1、2、3、4.分別過(guò)這些點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為S■，S■，S■，則S■+S■+S■=？搖？搖？搖 ？搖.

分析：通過(guò)平移可知，陰影部分面積和等于|k|-■，所以S■+S■+S■=2-■=■.

變式2：如圖，反比例函數(shù)y=-■的圖像與直線y=-■x的交點(diǎn)為A、B.過(guò)A作y軸的垂線，過(guò)B作x軸的平行線相交與點(diǎn)C，則△ABC的面積為多少？

分析：如圖，若先求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，再求△ABC的面積，則解題過(guò)程復(fù)雜繁瑣.若利用反比例函數(shù)中k的幾何意義來(lái)解，則能快刀斬亂麻.

解：由反比例函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱知O為AB中點(diǎn).根據(jù)反比例函數(shù)中k的幾何意義，有S■=S■=■，所以△ABC的面積即為矩形BCDE的面積為8.

變式3：如圖，反比例函數(shù)y=■與一次函數(shù)y=2x的交點(diǎn)為A、B.過(guò)B作y軸的垂線與y軸交于點(diǎn)C，求△ABC的面積.

分析：若先求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，再求△ABC的面積，則解題過(guò)程復(fù)雜繁瑣.若用反比例函數(shù)k的幾何意義解決問(wèn)題，就會(huì)節(jié)省很多時(shí)間.

解：由反比例函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱可知：O為AB中點(diǎn).S■=2S■=|k|=4.

變式4：若在此題上添加過(guò)A作y軸的垂線與y軸交于點(diǎn)D連接AD，BD，則四邊形ADBC的面積為多少？

分析：易證四邊形ADBC是平行四邊形，所以四邊形ADBC的面積=2.S■=8.

由已知反比例函數(shù)求幾何圖形面積，用k的幾何意義可以簡(jiǎn)化過(guò)程，通過(guò)數(shù)形結(jié)合使幾何問(wèn)題代數(shù)化，使得原本抽象而復(fù)雜的問(wèn)題變得更形象化、簡(jiǎn)易化.

二、根據(jù)反比例函數(shù)圖像中的幾何圖形的面積求反比例函數(shù)解析式

例1：如圖所示，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=■圖像上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，如果構(gòu)成的矩形的面積為4，求反比例函數(shù)的解析式.

分析：矩形AOCP的面積=|k|，所以|k|=4.學(xué)生往往認(rèn)為很簡(jiǎn)單而漏考慮圖像在二、四象限，所以k=-4.

例2：如圖，已知雙曲線y=■（k>0）經(jīng)過(guò)直角三角形OAB斜邊OB的中點(diǎn)D，與直角邊AB相交于點(diǎn)C，若△OBC的面積為3，求反比例函數(shù)解析式.

分析：設(shè)點(diǎn)D（x，y），則xy=k.

由點(diǎn)D為OB中點(diǎn)可知點(diǎn)B（2x，2y）.

S■=■·OA·OB=■×2k×2k=2k

S■=S■-S■=2k-■=3

可得k=2.

所以y=■.

變式：如圖，反比例函數(shù)y=■（x>0）的圖像經(jīng)過(guò)矩形OABC對(duì)角線的交點(diǎn)M，分別與AB、BC相交于點(diǎn)D、E，若四邊形ODBE的面積為6，求k的值.

分析：本題類似上題，由M為矩形ODBE交點(diǎn)可知，M為OB中點(diǎn)，同樣設(shè)M（x，y），得B（2x，2y）.

矩形OABC面積=2x·2y=4k

由四邊形ODBE的面積為6可得：

4k-■k-■k=6，得k=2.

通過(guò)幾何圖形的變化，結(jié)合圖形用方程思想解決幾何問(wèn)題，可以看出k的幾何意義應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合思想往往能使一些錯(cuò)綜復(fù)雜的問(wèn)題變得直觀，解題思路清晰，步驟明了.從而在學(xué)習(xí)過(guò)程中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

反比例函數(shù)是中考重點(diǎn)之一，在解有關(guān)反比例函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，若能靈活運(yùn)用反比例函數(shù)中k的幾何意義，就會(huì)給解題帶來(lái)很大的方便.下面我就反比例函數(shù)k的幾何意義在教學(xué)中的體會(huì)談?wù)効捶?

一、了解認(rèn)識(shí)反比例函數(shù)K的幾何意義

在反比例函數(shù)y=■（k≠0）中，比例系數(shù)k有一個(gè)很重要的幾何意義，那就是：過(guò)反比例函數(shù)圖像y=■上任一點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線PM、PN，垂足為M、N（如圖所示），則矩形PMON的面積S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|.連接OP，則S■=S■=■.

在解有關(guān)反比例函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，若能靈活運(yùn)用反比例函數(shù)中k的幾何意義，就會(huì)給解題帶來(lái)很多方便.下面我舉例說(shuō)明.

例1：如圖，在函數(shù)y=■（x>0）的圖像上有三點(diǎn)A、B、C.過(guò)這三點(diǎn)分別向x軸、y軸作垂線.過(guò)每一點(diǎn)所作的兩條垂線與x軸、y軸圍成的矩形的面積分別為S■，S■，S■，則（ ）

A.S■>S■>S■ B.S■

C.S■

分析：根據(jù)K的幾何意義，S■=S■=S■=1，故選D.

變式1：如圖反比例函數(shù)y=■（x>0）的圖像上，有點(diǎn)P，Q，R，S，它們的橫坐標(biāo)依次是1、2、3、4.分別過(guò)這些點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為S■，S■，S■，則S■+S■+S■=？搖？搖？搖 ？搖.

分析：通過(guò)平移可知，陰影部分面積和等于|k|-■，所以S■+S■+S■=2-■=■.

變式2：如圖，反比例函數(shù)y=-■的圖像與直線y=-■x的交點(diǎn)為A、B.過(guò)A作y軸的垂線，過(guò)B作x軸的平行線相交與點(diǎn)C，則△ABC的面積為多少？

分析：如圖，若先求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，再求△ABC的面積，則解題過(guò)程復(fù)雜繁瑣.若利用反比例函數(shù)中k的幾何意義來(lái)解，則能快刀斬亂麻.

解：由反比例函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱知O為AB中點(diǎn).根據(jù)反比例函數(shù)中k的幾何意義，有S■=S■=■，所以△ABC的面積即為矩形BCDE的面積為8.

變式3：如圖，反比例函數(shù)y=■與一次函數(shù)y=2x的交點(diǎn)為A、B.過(guò)B作y軸的垂線與y軸交于點(diǎn)C，求△ABC的面積.

分析：若先求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，再求△ABC的面積，則解題過(guò)程復(fù)雜繁瑣.若用反比例函數(shù)k的幾何意義解決問(wèn)題，就會(huì)節(jié)省很多時(shí)間.

解：由反比例函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱可知：O為AB中點(diǎn).S■=2S■=|k|=4.

變式4：若在此題上添加過(guò)A作y軸的垂線與y軸交于點(diǎn)D連接AD，BD，則四邊形ADBC的面積為多少？

分析：易證四邊形ADBC是平行四邊形，所以四邊形ADBC的面積=2.S■=8.

由已知反比例函數(shù)求幾何圖形面積，用k的幾何意義可以簡(jiǎn)化過(guò)程，通過(guò)數(shù)形結(jié)合使幾何問(wèn)題代數(shù)化，使得原本抽象而復(fù)雜的問(wèn)題變得更形象化、簡(jiǎn)易化.

二、根據(jù)反比例函數(shù)圖像中的幾何圖形的面積求反比例函數(shù)解析式

例1：如圖所示，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=■圖像上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，如果構(gòu)成的矩形的面積為4，求反比例函數(shù)的解析式.

分析：矩形AOCP的面積=|k|，所以|k|=4.學(xué)生往往認(rèn)為很簡(jiǎn)單而漏考慮圖像在二、四象限，所以k=-4.

例2：如圖，已知雙曲線y=■（k>0）經(jīng)過(guò)直角三角形OAB斜邊OB的中點(diǎn)D，與直角邊AB相交于點(diǎn)C，若△OBC的面積為3，求反比例函數(shù)解析式.

分析：設(shè)點(diǎn)D（x，y），則xy=k.

由點(diǎn)D為OB中點(diǎn)可知點(diǎn)B（2x，2y）.

S■=■·OA·OB=■×2k×2k=2k

S■=S■-S■=2k-■=3

可得k=2.

所以y=■.

變式：如圖，反比例函數(shù)y=■（x>0）的圖像經(jīng)過(guò)矩形OABC對(duì)角線的交點(diǎn)M，分別與AB、BC相交于點(diǎn)D、E，若四邊形ODBE的面積為6，求k的值.

分析：本題類似上題，由M為矩形ODBE交點(diǎn)可知，M為OB中點(diǎn)，同樣設(shè)M（x，y），得B（2x，2y）.

矩形OABC面積=2x·2y=4k

由四邊形ODBE的面積為6可得：

4k-■k-■k=6，得k=2.

通過(guò)幾何圖形的變化，結(jié)合圖形用方程思想解決幾何問(wèn)題，可以看出k的幾何意義應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合思想往往能使一些錯(cuò)綜復(fù)雜的問(wèn)題變得直觀，解題思路清晰，步驟明了.從而在學(xué)習(xí)過(guò)程中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

反比例函數(shù)是中考重點(diǎn)之一，在解有關(guān)反比例函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，若能靈活運(yùn)用反比例函數(shù)中k的幾何意義，就會(huì)給解題帶來(lái)很大的方便.下面我就反比例函數(shù)k的幾何意義在教學(xué)中的體會(huì)談?wù)効捶?

一、了解認(rèn)識(shí)反比例函數(shù)K的幾何意義

在反比例函數(shù)y=■（k≠0）中，比例系數(shù)k有一個(gè)很重要的幾何意義，那就是：過(guò)反比例函數(shù)圖像y=■上任一點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線PM、PN，垂足為M、N（如圖所示），則矩形PMON的面積S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|.連接OP，則S■=S■=■.

在解有關(guān)反比例函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，若能靈活運(yùn)用反比例函數(shù)中k的幾何意義，就會(huì)給解題帶來(lái)很多方便.下面我舉例說(shuō)明.

例1：如圖，在函數(shù)y=■（x>0）的圖像上有三點(diǎn)A、B、C.過(guò)這三點(diǎn)分別向x軸、y軸作垂線.過(guò)每一點(diǎn)所作的兩條垂線與x軸、y軸圍成的矩形的面積分別為S■，S■，S■，則（ ）

A.S■>S■>S■ B.S■

C.S■

分析：根據(jù)K的幾何意義，S■=S■=S■=1，故選D.

變式1：如圖反比例函數(shù)y=■（x>0）的圖像上，有點(diǎn)P，Q，R，S，它們的橫坐標(biāo)依次是1、2、3、4.分別過(guò)這些點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為S■，S■，S■，則S■+S■+S■=？搖？搖？搖 ？搖.

分析：通過(guò)平移可知，陰影部分面積和等于|k|-■，所以S■+S■+S■=2-■=■.

變式2：如圖，反比例函數(shù)y=-■的圖像與直線y=-■x的交點(diǎn)為A、B.過(guò)A作y軸的垂線，過(guò)B作x軸的平行線相交與點(diǎn)C，則△ABC的面積為多少？

分析：如圖，若先求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，再求△ABC的面積，則解題過(guò)程復(fù)雜繁瑣.若利用反比例函數(shù)中k的幾何意義來(lái)解，則能快刀斬亂麻.

解：由反比例函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱知O為AB中點(diǎn).根據(jù)反比例函數(shù)中k的幾何意義，有S■=S■=■，所以△ABC的面積即為矩形BCDE的面積為8.

變式3：如圖，反比例函數(shù)y=■與一次函數(shù)y=2x的交點(diǎn)為A、B.過(guò)B作y軸的垂線與y軸交于點(diǎn)C，求△ABC的面積.

分析：若先求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，再求△ABC的面積，則解題過(guò)程復(fù)雜繁瑣.若用反比例函數(shù)k的幾何意義解決問(wèn)題，就會(huì)節(jié)省很多時(shí)間.

解：由反比例函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱可知：O為AB中點(diǎn).S■=2S■=|k|=4.

變式4：若在此題上添加過(guò)A作y軸的垂線與y軸交于點(diǎn)D連接AD，BD，則四邊形ADBC的面積為多少？

分析：易證四邊形ADBC是平行四邊形，所以四邊形ADBC的面積=2.S■=8.

由已知反比例函數(shù)求幾何圖形面積，用k的幾何意義可以簡(jiǎn)化過(guò)程，通過(guò)數(shù)形結(jié)合使幾何問(wèn)題代數(shù)化，使得原本抽象而復(fù)雜的問(wèn)題變得更形象化、簡(jiǎn)易化.

二、根據(jù)反比例函數(shù)圖像中的幾何圖形的面積求反比例函數(shù)解析式

例1：如圖所示，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=■圖像上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，如果構(gòu)成的矩形的面積為4，求反比例函數(shù)的解析式.

分析：矩形AOCP的面積=|k|，所以|k|=4.學(xué)生往往認(rèn)為很簡(jiǎn)單而漏考慮圖像在二、四象限，所以k=-4.

例2：如圖，已知雙曲線y=■（k>0）經(jīng)過(guò)直角三角形OAB斜邊OB的中點(diǎn)D，與直角邊AB相交于點(diǎn)C，若△OBC的面積為3，求反比例函數(shù)解析式.

分析：設(shè)點(diǎn)D（x，y），則xy=k.

由點(diǎn)D為OB中點(diǎn)可知點(diǎn)B（2x，2y）.

S■=■·OA·OB=■×2k×2k=2k

S■=S■-S■=2k-■=3

可得k=2.

所以y=■.

變式：如圖，反比例函數(shù)y=■（x>0）的圖像經(jīng)過(guò)矩形OABC對(duì)角線的交點(diǎn)M，分別與AB、BC相交于點(diǎn)D、E，若四邊形ODBE的面積為6，求k的值.

分析：本題類似上題，由M為矩形ODBE交點(diǎn)可知，M為OB中點(diǎn)，同樣設(shè)M（x，y），得B（2x，2y）.

矩形OABC面積=2x·2y=4k

由四邊形ODBE的面積為6可得：

4k-■k-■k=6，得k=2.

通過(guò)幾何圖形的變化，結(jié)合圖形用方程思想解決幾何問(wèn)題，可以看出k的幾何意義應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合思想往往能使一些錯(cuò)綜復(fù)雜的問(wèn)題變得直觀，解題思路清晰，步驟明了.從而在學(xué)習(xí)過(guò)程中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.