一類基于不動點新的強化緩沖算子的構造及其應用

張方紅，吳正朋，鄭松竺

(中國傳媒大學理工學部，北京100024)

1 前言

無論是對實驗數據還是對統計數據，在選擇模型之前必須對所獲得的數據進行分析，否則就會出現定量預測結果和定性分析結論不相符的情況，問題的癥結往往不在于所選模型的優劣，而是由于系統行為數據因系統本身受到某種外在沖擊而失真。因此，尋求定量預測與定性分析的結合點，設法排除系統行為數據所受到的沖擊干擾，還原數據本來面目，從而提高預測的精度，乃是擺在每一位預測工作者面前的一項重要任務［1］?；疑到y理論通過對社會、經濟、生態等系統的原始數據挖掘和整理來尋求其變化規律的，這是一種從數據來尋找數據規律的理論體系?；疑到y理論認為，盡管客觀系統表象復雜，數據離亂，但是它是有整體功能的，因此必然蘊涵某種內在規律，關鍵在于如何選擇適當的方法去挖掘它和利用它。劉思峰教授提出的緩沖算子理論［1-4］可以對所獲得的數據序列經過某種生成，弱化其隨機性，顯示其規律性，成功地排除了外在沖擊干擾，得到了能夠反映系統變化規律的數據序列。

沖擊擾動因素對系統行為數據序列的干擾既有加快數據的發展趨勢或者使數據的振幅變大，也有減緩數據的發展趨勢或使數據序列的振幅變小。為排序這些沖擊因素的干擾，文獻［4-6］［10］［13］提出了一種實用弱化緩沖算子，文獻［7-9］［11-12］構造了一種強化緩沖算子。本文在上述工作的基礎上，根據“新信息優先利用”的原理和緩沖算子三公理，基于時間序列的平均發展速度的思想，提出了一種新的強化緩沖算子，并研究其特性及其內在關系，從而使序列前一部分增長(減緩)速度過慢，而后一部分增長(衰減)速度過快的沖擊擾動系統數據序列在建模預測過程中常常出現的定量預測結果與定性分析結論不符的問題得到有效解決。

2 基本概念

定義1 設X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統行為數據序列，若

(1)若?k=1，2，…，n-1，x(k)＜ x(k+1)則稱X為單調增長序列;

(2)若?k=1，2，…，n-1，x(k)＞ x(k+1)則稱X為單調衰減序列;

(3)若?k，k'∈{1，2，…，n-1}，有 x(k)＜ x(k+1)，x(k')＞x(k'+1)，則稱X為隨機振蕩序列。令

M=max{x(k)|k∈ {1，2，…，n}}，

m=min{x(k)|k ∈ {1，2，…，n}}

稱M-m為序列X的振幅。

定義2［1］設 X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統行為數據序列，D為作用于X的算子，X經過D作用后記為

XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)

稱D為序列算子，稱XD為一階算子作用序列。

序列算子作用可以多次進行。相應地，若D1，D2，D3都為序列算子，稱D1D2為二階算子作用序列，等等。

公理1(不動點公理)［1］設X為系統行為數據序列，D為序列算子，則D滿足X(n)d=x(n)。

不動點公理限定在序列算子作用下，系統行為數據序列中的數據x(n)保持不變，即運用序列算子對系統行為數據進行調整時，不會改變x(n)。

公理2［1］(信息充分利用公理)系統行為數據序列X中的每一個數據x(k)，k=1，2，…，n都應充分參與算子作用的全過程。

信息充分利用公理限定任何序列算子都應以現有序列中的信息為基礎進行定義，不允能拋開原始數據序列。

公理3［1］(解析化、規范化公理)任意的 x(k)d，k=1，2，…，n，都可以由一個統一的 x(1)，x(2)，…，x(n)初等解析式表達。

解析化、規范化公理要求由系統行為數據序列得到算子作用序列的程序清晰、規范、統一且盡可能簡化、以便于計算出算子作用序列并使計算易于在計算機上實現。

定義3［1］稱上述三個公理為緩沖算子三公理，滿足緩沖算子三公理的序列算子稱為緩沖算子，一階、二階、三階緩沖算子作用序列稱為一階、二階、三階緩沖序列。

定義4［1］設X為系統行為數據序列，D為緩沖算子，若滿足下列兩個條件，則稱緩沖算子D為強化緩沖算子

(1)當X為單調增長(單調衰減)序列時，緩沖序列XD比系統行為數據序列X的增長率(衰減率)加快;

(2)當X為振蕩序列時，緩沖序列XD比系統行為數據序列X的振幅大。

定理 1［1］設 X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統行為數據序列，緩沖序列記為XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)，那么

(1)當X為單調增長序列時，D為強化緩沖算子?x(k)d≤x(k)，k=1，2，…，n;

(2)當X為單調衰減序列時，D為強化緩沖算子?x(k)d≥x(k)，k=1，2，…，n;

(3)當X為振蕩序列時，D為強化緩沖算子則

手術后，周啟明的情緒一直不好。他很容易焦慮很容易生氣，她理解他。曾經的周啟明，是這個家的山，現在他覺得自己不是家人最強大的依靠了。所以才會有一種特別強烈的挫敗感吧。

從上述定理可以看出，單調增長序列在強化算子作用下，數據萎縮;單調衰減序列在強化緩沖算子作用下，數據膨脹。

3 一類新的強化緩沖算子的構造

定理2 設X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統原始行為數據序列，x(k)＞0，k=1，2，…，n，f為一嚴格單調遞增函數，g為其反函數，f＞0，其緩沖序列為 XD1=(x(1)d1，x(2)d1，…，x(n)d1)，其中則當X為單調增長序列、單調衰減序列和振蕩序列時，D1都為強化緩沖算子。

證明:容易驗證，D1滿足緩沖算子三公理，所以，D1為緩沖算子。下面證明D1為強化緩沖算子。

(1)當X為單調增長序列，即0≤x(k)≤…≤x(n)。又因f為一嚴格單調遞增函數，f＞0。

又因g為f為反函數，則

由定理1知，緩沖算子D1為強化緩沖算子。(2)當X為單調衰減序列，即x(k)≥…≥x(n)≥0。

又因f為一嚴格單調遞增函數，f＞0。

又因g為f為反函數，則

(3)若X為振蕩序列時，設

x(k)≥x(1)，…，x(n)，x(h)≤x(1)，…，x(n)由x(k)≥x(n)，x(h)≤x(n)

又因f為一嚴格單調遞增函數，f＞0。所以f(x(k))≥f(x(n))，

又因g為f的反函數，則

由定理1知，緩沖算子D1為強化緩沖算子。

定理3設 X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統原始行為數據序列，x(k)＞0，k=1，2，…，n，f為一嚴格單調遞增函數，g為其反函數，f＞0。其緩沖序列為 XD2=(x(1)d2，x(2)d2，…，x(n)d2)，其中

則當X為單調增長序列和單調衰減序列時，D2都為強化緩沖算子。

證明:容易驗證，D2滿足緩沖算子三公理，所以，D2為緩沖算子。下面證明D2為強化緩沖算子。

(1)若X為單調增長序列，則即0≤x(k)≤…≤x(n)。又因f為一嚴格單調遞增函數，f＞0。

又因g為f為反函數，則

由定理1知，緩沖算子D2為強化緩沖算子。

可仿定理2證明當X為單調衰減序列時，D2都為弱化緩沖算子。

這里，稱D2為廣義平均強化緩沖算子。

從以上討論可知，由于強化緩沖算子必須要滿足不動點公理，即x(n)d=x(n)，因此強化緩沖算子作用于單調增長序列，數據萎縮，強化緩沖序列的增長速度比原始序列的增長速度減緩;而對于單調衰減序列，在強化緩沖算子作用下，數據膨脹，即強化緩沖序列的衰減速度比原始序列衰減速度減緩。因此，當原始序列的前半部分增長(衰減)速度較緩，后半部分增長(衰減)速度較快時，可以利用本文所構造的強化緩沖算子對原始序列進行作用，將使序列變得比較平緩，并且考慮了“新信息優先”的原則，能夠有效地消除沖擊擾動對系統數據序列造成的“失真”現象，因而能夠提高模型的預測精度。

4 實例分析

以人均電力消費量(單位為千瓦小時)為例來驗證本文強化緩沖算子在GM(1，1)預測過程中的作用。選取2000～2006年中國人均電力消費量作為原始數據序列，即

表1 中國人均電力消費量 單位:千瓦小時

目前，中國處在經濟發展的工業化進程中，經濟的發展對電力的依賴比較大。自從2000年以來，中國克服了亞洲金融危機的影響，政府采取了積極的財政政策和穩健的貨幣政策，為經濟增長注入了活力，引起了電力需求的激增。因此，本文以2000～2005年中國人均電力消費量的原始數據序列作為建模數據，2006年數據作為模型檢驗數據。計算人均電力消費量環比增長率依次為:9.215%、8.091%、11.132%、9.499%、13.933%、15.090%，年平均增長率為9.468%。對原始數據序列進行準光滑性檢驗，可以計算當t≥2003時，光滑比分別為:0.401、0.313、0.272、0.246，均在(0，0.5)內，且光滑比遞減，滿足準光滑性條件，因此原始序列的一次累加生成序列具有準指數規律［1］。但是明顯看出，原始序列前半部分增長速度有點慢，后半部分增長速度較快，因此，最好要對原始數據序列進行平滑，以削弱沖擊擾動因素的干擾，凸現數據的規律性。

為此，取f(x)=g(x)=x來構造緩沖算子，以本文構造的緩沖算子對原始數據進行二階強化處理，建立預測模型，并和原始數據序列直接建模進行比較，見表2

表2 兩種情況GM(1，1)模型

由表2知，原始數據序列經過強化緩沖算子D1和D2二次作用后，所得到的強化緩沖序列都比原始數據序列直接建模的預測相對誤差小，其中作用后得到的二階強化緩沖序列的預測相對誤差最小，預測值為241.210，比較逼近觀測值249.4。

取f(x)=x2，g(x)=x0.5來構造緩沖算子，以本文構造的緩沖算子對原始數據進行二階強化處理，建立預測模型，并和原始數據序列直接建模進行比較，見表3。

由表3知，原始數據序列經過強化緩沖算子D1和D2二次作用后，所得到的強化緩沖序列都比原始數據序列直接建模的預測相對誤差小，其中D2作用后得到的二階強化緩沖序列的預測相對誤差最小， 預測值為241.23，比較逼近觀測值249.4。

表3 兩種情況GM(1，1)模型

5 結論

本文在已有的文獻基礎上，根據嚴格單調遞增函數和時間序列的平均發展速度的思想構造了一類新的強化緩沖算子，并證明了文獻［8，9］的強化緩沖算子是強化緩沖算子D1的特例。利用所構造的緩沖算子對具有前半部分增長速度較慢，而后半部分增長速度較快特征的原始數據序列與二階強化緩沖序列分別進行了預測精度比較。實例結果表明:(1)用D1和D2強化緩沖算子處理的緩沖序列預測精度比原始數據序列有顯著提高;(2)通過比較2個新的強化緩沖算子作用后的強化緩沖序列的預測值可以發現，D1和D2作用的強化緩沖序列預測值逐漸逼近觀測值，其中原始序列經過D2作用后，預測相對誤差都比D1小。D2強化緩沖算子能夠充分有效地消除原始數據序列中的沖擊擾動因素的干擾，顯現數據的規律性。且顯示可通過選擇不同的嚴格單調函數f，g來提高預測精度。因此，對于具體的數據，如何選擇嚴格單調函數f，g是接下來研究的重點。

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