基于蒙特卡洛模擬的VaR模型及其模擬實證對比研究

喻為民

(淮南聯合大學 基礎部，安徽 淮南 232038)

隨著經濟全球化和金融一體化的迅猛發展，國際范圍內的金融市場創新活動逐步深入，由此帶來金融風險的管理控制問題成為理論界討論的重點問題。VaR模型最早由J.P.Morgan提出［1］，被廣泛的運用到金融風險的測量上并取得迅速推廣，成為金融市場衡量風險的主流方法。

1 VaR模型的基本思想

1.1 VaR模型的金融學含義

VaR是“Value at Risk”的簡寫，一般被稱作是“處于風險中的價值”或“風險價值”，其經濟學含義表征為在市場正常波動情況下，某一金融資產或證券組合的最大可能損失。通過VaR值的確定，可以知道投資者在某一市場波動范圍內進行某次投資行為所能夠承受的最大可能損失［2］。比如A資產組合未來24小時的90%的VaR值為100萬元人民幣，即表示投資者購買A組合未來一天內可以保證90%的可能性，其最大損失不超過100萬元。

1.2 VaR模型的數學含義

VaR的數學含義可以表示為在給定的置信水平范圍內，某一金融資產或證券組合在特定時間范圍內的最大可能損失。即置信水平C條件下，持有某金融資產Δt時間其所能夠承受的最大可能損失為VaR。其數學表達式如下:

其中ΔPΔt表示持有該金融資產Δt時間內所遭受到的損失。一般而言損失應當負數表示，但考慮到日常習慣，此處ΔPΔt和VaR均為正數。公式(1)和(2)分別表示實際損失不超過和超過VaR值的概率水平，即此處的置信水平C。

2 基于蒙特卡洛模擬的VaR模型數學解釋

歷史模擬法的重點在于科學確定投資組合的價值函數及市場因子的分布水平，并假設投資組合的價值函數與市場因子之間存在線性關系。以RiskMetrics為主要代表的歷史模擬法，往往假定市場因子的分布服從多元正態分布，對于構建和計算VaR值提供模型上的簡便，不同置信水平和不同持有期的VaR值均可以得以轉化計算出［2］。但是其模型假定中市場因子收益的多元正態分布情況與現實存在較大差距，且對于非線性金融工具的風險衡量不夠充分。

與歷史模擬法不同，蒙特卡洛模擬法以計算機基于一定規則隨機生成的數據作為計算VaR值的依據，通過隨機數模擬出市場因子的各種可能分布情況，從而計算出投資組合的VaR值。蒙特卡洛模擬法通過隨機生成的序列近似模擬各種可能分布情況下市場因子的各種潛在情況，并利用這些隨機數計算出不同置信水平條件下的VaR值。作為一種全估值的模擬方法，基于蒙特卡洛模擬的VaR計算方法一方面有效地克服非線性價格風險、粗尾風險等不利因素的影響，另一方面則提供各種不同分布條件情況下的收益行為及VaR值。

本文以蒙特卡洛模擬作為計算VaR值的主要方法，并通過數學語言重點解釋VaR值計算的完整過程。一般而言，基于蒙特卡洛模擬的VaR值計算包括三個主要步驟，首先是基本規則提出及隨機模型的構建;其次是基于隨機規則的模擬價格序列生成;最后則是基于隨機生成的數據估算VaR值。

2.1 隨機模型構建

在初始時刻t到目標時刻T持續期內，假設投資組合的價格S為時刻t的函數，即t時刻投資組合價值為S(t)。記其一階差分為y(t)，投資組合相鄰時刻價格之間存在某種數學關系，公式表示如下［4］:

其中μ，σ分別表示投資組合的均值和標準差，ξ為服從標準正態分布的隨機變量，通過ξ數值的不同可以隨機生成不同的模擬數值。

2.2 模擬價格走勢

其中i=1，2，……n。通過公式(4)基于生成的隨機變量ξi可以模擬出n個時間間隔單元內的價格序列{S(t+1)，S(t+2)，……S(t+n)}及目標時刻T的價格S(T)=S(t+n)。

2.3 VaR估值

選取該院收治的100例糖尿病患者，所有患者于該院進行檢查均確診為糖尿病，排除嚴重肝腎疾病、軀體疾病、惡性腫瘤、語言障礙及精神障礙者，100例患者及其家屬均對該研究知情同意，并簽署知情同意書。按照隨機數字表法將其分為對照組和觀察組，每組各50例；對照組男性27例，女性23例，年齡21～74歲，平均年齡（47.5±4.5）歲，病程 1～14 年，平均病程（7.5±1.2）年；觀察組男性25例，女性25例，年齡22～75歲，平均年齡（48.5±4.2）歲，病程 1～13 年，平均病程（7.2±4.1）歲，兩組患者性別、年齡、病程一般資料差異無統計學意義（P＞0.05），具有可比性。

根據已得的目標時刻價格序列，將其模擬價格按照從小到大的順序升序排列組成新的序列L'。在給定置信水平C條件下，選取新序列L'中的第m(1-C)個數作為衡量值，記其為S'，則S'=，i=m(1-C)。通過相對計算方法可以將VaR值表示如下:

假設重復價格走勢5000次，在置信水平90%條件下，在蒙特卡洛模擬方法計算VaR模型的要求下，將某投資組合目標時刻價格序列按照升序進行排列，選取第5000×(1-90%)=500個數作為衡量值，在與基期價格St進行求差運算，即可求出90%置信水平條件下的該種投資組合的VaR值。

2.4 VaR數值的檢驗

通過以上三步的完整實施，可以計算出基于蒙特卡洛模擬的投資組合的VaR值，從而用于該投資組合的風險管理問題。由于在運用蒙特卡洛模擬過程中，隨機數的生成過程中不可避免會出現偽隨機數問題，對于計算出的VaR數值的科學性和實用性產生一定程序上的影響［6］。因此有必要在完成VaR數值計算之后，對計算結果通過科學的方法進行檢驗，以驗證其準確性。

VaR數值檢驗在于檢驗投資組合的實際損失與VaR值之間的偏離概率是否在給定置信水平范圍內的，其檢驗方法眾多，本小節將介紹失敗頻率檢測法［7-8］。在失敗頻率檢測法中，假設記實際損失超過VaR值為失敗，記實際損失不超過VaR值為成功，考察天數為X天，在給定置信水平C條件下，失敗天數為Y天。則

對VaR數值結果進行驗證即驗證失敗頻率P與失敗期望概率P*之間是否相等，通過假設檢驗與參數估計的方法即可求出零假設H0:P=P*的置信域［9］。

3 VaR模型的隨機模擬實現

結合前部分的成果，本部分將利用Matlab2012a實現VaR模型的隨機模擬計算。此處通過隨機模擬函數生成2000天的收益率r，在置信水平位99%條件下，分別假設收益率r服從標準正態分布和自由度為4的t分布，計算近1000天的VaR值及收益r。計算結果如下:

3.1 r服從標準正態分布

基于Matlab2012a的計算，其結果如下圖所示:

圖1 服從標準正態分布的計算結果

由圖1可以看出，通過假設收益率r服從標準正態分布生成模擬數，并結合VaR數值的滾動求解，近1000天投資組合的收益率大多分布于6σ范圍區間內，VaR數值約為2.21大小左右。

3.2 r服從t分布(n=4)

基于Matlab2012a的計算，其結果如下圖所示:

圖2 服從t分布的計算結果(自由度n=4)

由圖2可以看出，通過假設收益率r服從自由度為4的t分布生成模擬數，并結合VaR數值的滾動求解，近1000天投資組合的收益率大多分布于±6范圍區間內，且存在諸多極端數值，VaR數值約為4.02大小左右。

3.3 主要結論

綜合以上兩個圖形可以看出，在收益率分別服從標準正態分布和自由度為4的t分布的VaR計算結果中，t分布結果圖形較好的反映出來金融數據的厚尾與尖峰特征。在置信水平位99%的條件下，收益率服從t分布的VaR數值明顯高于收益率服從標準正態分布的VaR值。在高置信水平條件下，t分布模型較于標準正態分布模型具有更高的精度要求和顯著的優勢。此外t分布模型在描述投資組合收益率方面，明顯地表征出金融收益率數據的波動性和非穩定性，對金融數據的厚尾及尖峰特征進行較好的擬合。

4 VaR模型的歷史模擬實現

結合前部分的成果，本部分將利用Matlab2012a實現VaR模型的歷史模擬計算。以2012年1月1日至2013年12月30日，從交易開拓者導出上海中金期貨交易所股指期貨的歷史日線數據，并計算其收益率。再通過Matlab予以分析。考慮到股指日波動性較大，本部分所選取的原始數據是股指的日平滑指數。以全年交易日數為橫軸，以每日VaR值為縱軸，計算結果如下圖所示:

圖3 2012年與2013年股指VaR比較圖

由上圖可以看出，2012年至2013年我國股指期貨的市場結構發生較為明顯變化。具體而言，2012年全年股指期貨市場風險波動幅度較小，2013年全年股指期貨市場風險波動幅度較大。2013年上半年我國股指期貨市場的系統風險較低，但是波動水平較為劇烈，下半年系統風險走高。與2012年的股指期貨市場相比，2013年股指期貨系統風險結構發生變化，對市場內廣大參與者造成一定程度的影響。由此可見，對于市場內的參與者而言，要注意利用VaR值來衡量系統，指導其未來的交易行為。

5 結語

本文從金融學和數學角度出發闡述VaR的基本涵義，在此基礎上通過VaR模型計算方法的綜述，運用數學語言構建基于蒙特卡洛模擬的VaR求解模型，再利用Matlab通過歷史模擬和隨機模擬分別測度出99%置信水平條件下金融市場的VaR數值。通過對比分析，研究結果表明:隨機模擬方面，t分布模型在高置信水平條件下較標準正態分布模型具有更高的精度要求和優勢，且對于金融收益率數據的表征更為合理科學;歷史模擬方面，2013年我國股指期貨市場結構較2012年發生較大程度變化，且系統風險有進一步擴大趨勢。

［1］Fernandez V.Risk Management Under Extreme Events［J］.International Review of Financial Analysis，2005(14):113-148.

［2］Turan G B，David W.A conditional extreme value volatility estimator based on high frequency returns［J］.Journal of Econometrics，2007，3(2):361-397.

［3］黃海，盧祖帝.VaR的主要計算方法述評［J］.管理評論，2003(7):31-36.

［4］杜平，徐濟東.用VaR度量與管理投資基金的市場風險［J］.經濟問題探索，2007(7):67-71.

［5］徐煒，黃炎龍.GARCH模型與VaR的度量研究［J］.數量經濟技術經濟研究，2008(1):120-132.

［6］劉子斐，史敬.VaR模型比較技術及其評價——理論、實證回顧及其應用初探［J］.金融研究，2008(5):130-137.

［7］周革平.VaR基本原理、計算方法及其在金融風險管理中的應用［J］.金融與經濟，2009(2):69-72.

［8］王春峰，張亞楠，房振明，等.基于極值理論的高頻條件VaR動態區間估計模型［J］.系統工程理論與實踐，2010(7):1162-1168.

［9］盛世明.基于連接函數的VaR的蒙特卡洛算法［J］.統計與決策，2010(21):27-29.