一種五自由度混聯機器人運動學分析

高云峰，呂明睿，周 倫，李瑞峰

(哈爾濱工業大學機器人研究所，150001哈爾濱)

隨著工業化的發展，工業機器人在先進制造技術中扮演著重要的角色.其中，混聯工業機器人以其剛度和運動靈活性上的卓越性能被廣泛運用到復雜曲面加工領域.就結構而言，德國DMG公司的著名五軸聯動機床DMC165加工中心［1］采用了3個方向的平動軸構成的龍門加雙擺頭［2］的串聯結構;傘紅軍等［3］開發了一種五軸串并聯機器人;李菊等［4］研制了五軸混聯機器人.本文所研究的五自由度機器人為一種3P-2R的新型結構機器人.由于該機器人一次作業只對上半曲面進行加工，而不需考慮底面加工，故五自由度可以滿足作業位姿靈活度要求.與傳統的5R串聯結構相比，該機器人的剛度得到了很大提高［5-8］.

本文研究的五自由度混聯機器人機構滿足Pieper準則［9］，通過分析各關節對于末端執行器的位姿影響，根據Paul逆變換方法［10］中齊次矩陣元素的物理意義選取有效等式得到逆運動學封閉解.利用基于映射關系的曲面包絡法描述局部關節的工作空間.由于J4、J5關節結構的特殊性，通過歸納的方法分析了該結構的作業姿態靈巧性.根據保證一點作業姿態靈巧性的充要條件，利用包絡曲面疊加法［11］規劃出完整的機器人靈巧工作空間模型.

1 結構分析

如圖1～3所示，本文討論的機器人共有6個軸.J1、J2和 J3軸為絲杠，分別由 M1、M2和 M3驅動，進行直線進給運動．J4、J5軸為轉動關節．J6為末端執行器的轉軸．絲杠S1、S2上各有一對鉸接滑塊．跨接兩邊的連桿以滑塊A、B連線的中點為軸帶動轉臺在一定角度內轉動，轉動的角度取決于A、B的行程差．桿L3隨轉臺的轉動而擺動．轉臺轉動的同時可以沿著兩邊絲杠對稱軸上的長直導軌在基礎坐標系O0的X軸方向移動．M3驅動絲杠S3使L3能在O1的Z軸方向移動．xA、xB、xC分別表示滑塊A、B、C在絲杠上的行程．

圖1 機器人上半部分結構簡圖(俯視)

圖2 機器人下半部分結構簡圖(正視)

圖3 機器人立體結構圖

機器人運動學通常通過建立D-H坐標系并列出D-H參數表后得到［8］.建立圖4所示D-H坐標系.基礎坐標系O0固連在J1軸上，X0軸與J1重合，Z0軸豎直向下．坐標系O1位于L3與J3交點;坐標系O3位于J4與J5軸的交點，X3軸垂直于T平面向外;坐標系O4位于J5與J6的交點，X4軸垂直于T平面向內．轉臺以下部分初始位于T平面內．

圖4 機器人D-H坐標系示意圖

對于關節1和2，可以直接通過空間變化關系得到坐標變換矩陣.對關節3～5列D-H參數表，見表1.

表1 關節3～5的D-H參數

2 運動學正解

對于本機器人，各相鄰坐標系間的坐標變換矩陣如下(注:s φ =sin φ，c φ =cos φ):

Aii+1為從坐標系Oi到Oi+1的坐標變換;L1～L5為圖1和圖2中各桿的設計長度;φ1～φ5分別為J1、J2、J3、J4、J5轉動角度;e為 J6軸距 O3點水平方向距離，p為螺距．

末端執行器位姿矩陣為(Φ =(4π2L21+(φ1-φ2)2p2)1/2):

式中:

3 運動學逆解

本文所討論機器人結構滿足Pieper準則，可直接以代數法求逆運動學封閉解解析式.矩陣逆變換等式左右兩邊都是有特定幾何意義的，故本文針對每一步矩陣逆變換找出影響其矩陣特定項的關節變量，列出所需的全部有效方程［12］.

由前述結構分析可知，O4的姿態只由φ5決定，O1在Z2軸方向的距離只由xC決定．根據，選擇表示姿態的矩陣項TL(3，1)=TR(3，1)，TL(3，2)=TR(3，2)和表示位置的矩陣項TL(4，3)=TR(4，3)(TL、TR分別表示等式左邊和右邊的變換陣)，可得

O4在 O1中的位置由 α(xA，xB)、φ4決定．根據選擇表示位置的矩陣項TL(1，4)=TR(1，4)和TL(2，4)=TR(2，4)，可得

聯立(4)、(5)，可得

X3在O0中的指向由 α(φ1，φ2)、φ4決定．根據，選擇表示X3指向的矩陣項TL(1，1)=TR(1，1)和TL(2，1)=TR(2，1)，可得

將(1)、(2)代入(7)、(8)，可得

O3在 O0中的位置由 α(φ1，φ2)、φ4確定．選擇 TL(1，4)=TR(1，4)，可得

將(9)代入(6)，得到

式(10)左邊括號內值的正負與M同，得

又有聯立式(4)、(11)，可得

由式(3)可得

由M、N可得

由式(2)可得

由此得到全部關節的轉角φ1～φ5．

根據逆運動學封閉解解析式，代入機器人結構參數(表2)，規定機器人按照以下兩種方式連續運動:

表2 五自由度機器人結構參數 mm

1)從［-470，200，600］(初始位置點)沿直線運動到點［0，0，800］，同時不斷調整姿態至 Z4軸與水平面夾角為45°.

2)到達后以原姿態繞點［0，0，800］旋轉半周.

本文所述的逆運動學逆解算法無理論誤差.在CPU為Inter Core i3 M350的計算機上MATLAB運行仿真實驗1 000次，總共消耗時間為17.922 ms，平均仿真一次獲得φ1～φ5角度值所用的時間為18 μs，完全符合計算機控制的實時性要求，得到的仿真結果見圖5～8.可以看出關節角度及絲杠行程變化平穩，無突變.仿真結果驗證了該算法的快速性和有效性.

圖5 行程隨計算步的變化

圖6 關節角隨計算步的變化

圖7 位置跟蹤

圖8 姿態跟蹤(姿態以歐拉角α、β、γ表示)

4 工作空間分析

機器人的工作空間分為最大工作空間和靈巧工作空間.前者指執行器末端點可以至少一種姿態到達的最大范圍;后者指執行器可以任意姿態到達的工作范圍，邊界曲面是包絡所有靈巧工作點的空間包絡曲面［8］.本文先研究 J4、J5聯動時形成的包絡面，后導出工作空間中一點為靈巧工作點的充要條件，由此得到靈巧工作空間范圍［13-14］．

4.1 求解J4、J5聯動時形成的包絡面

設執行器末端點P在O4坐標系中坐標為P(xp，yp，zp)，P 點在 O4坐標系中的位置方程為

J5轉動時，由知空間曲線:

Σ繞J4軸旋轉，即 {Σ}=Rot(z2，φ5)·Σ，得空間曲線簇{Σ}:

消去式(12)中φ4、φ5，得到包絡面方程:

當結構參數不同時，對應的包絡面形態如圖9～11所示.

圖9 J4、J5聯動時形成包絡面(e＝30，Lp＝80)

圖10 J4、J5聯動時形成的包絡面(e＝10，Lp＝80)

圖11 J4、J5聯動時形成的包絡面(e＝0，Lp＝10)

可見結構參數e和Lp直接影響包絡面形態．e決定包絡面底部孔的尺寸，Lp決定包絡面高度h和開口大小．Lp較小時，調整J5轉角，配合J1～J4的微小動作即可改變一點的作業姿態．對于e=0，Lp=0的極限情況，包絡面收縮為空間中的一點．此時，只調整J5轉角，J1～J4保持原位置就可改變作業姿態．機器人的這個特點使得加工復雜曲面的效率大為提高．

等式兩邊對z2求導，令，得，則包絡面截面圓半徑最大值

定義包絡面半徑最大截面的圓心為包絡面的中心Q．

4.2 局部點靈巧性

由于所討論的五自由度機器人末端執行器指向與Z4軸同，所以可以通過分析T04中ax、ay、az項來研究末端執行器姿態．事實上，可從式(10)看出:ox+ax≤1，即機器人末端只能在一定范圍內達到任意姿態，這是機器人的結構限制導致的．故定義此類工作點為“有限靈巧工作點”，即末端執行器能在一定范圍內以任意姿態指向目標點，該范圍已經能滿足機器人作業需要．

建立如圖12所示的球坐標系來描述末端執行器姿態［8］.

圖12 以執行器末端點為原點構成的球坐標系

θ(方向)表示執行器在XPY平面的投影與X軸夾角，γ(緯度)表示執行器與XPY平面夾角．可以用θ和γ兩個參數描述上半球面執行器的任意一種指向．其中:

設空間中的一點P位于某個由J4、J5軸聯動形成的包絡面上．它將同時位于以該點為圓心，Rz為半徑的一系列包絡面的同等高度的圓截面上．注意到Rz=Rz(φ5)，如果當φ5從 -π ～π變化時，γ可以取到0～π/2之間的任意值，且對于該范圍內的任一γ，可以通過改變包絡面的幾何中心Q的位置使θ取到0～2π任意值，則該點為有限靈巧工作點．

進行坐標平移變換.β表示O2O0連線與X0軸夾角．當β從-π到π變化，生成一系列包含P(Px，Py，Pz)點的 包絡 面．取P(0，0，0)．由［Px，Py，Pz，1］'=對應項相等得到方程組:

由式(13)得

等式(14)表示以φ5、β為基構成的φ4解空間．這樣的一組φ4、φ5、β能使執行器末端點到達P點．當β從-π到π變化時，φ4總是從某個值開始增加2π，遞增起點取決于φ5值．將φ4解空間的所有φ4代回A04=A02T23T34，分別算得A04中的ax、ay、az，得

圖13 和圖14 表示 φ5、β、γ、θ之間的關系．從圖13可以看出，γ與β無關，只由φ5取值決定，即緯度γ與φ5存在一一映射關系．從圖14可以看出，θ關于φ5與β兩個變量的三維圖像為一復雜的高低不平的連續曲面，且對于任意φ5(即對任意緯度γ)，方向θ總能取到0～2π之間的任意值．

圖14 φ5、β和θ之間的關系

綜上所述，可以得到結論:工作空間中某一點為有限靈巧工作點的充分必要條件是由J4、J5軸聯動形成的包含該點的所有包絡面中心Q連結成的曲面是完整的(見圖15)．

圖15 位姿有限靈巧點投影示意圖

4.3 靈巧工作空間規劃

基于4.2的結論，結合最大工作空間范圍規劃出機器人的靈巧工作空間.按照表2中的結構參數，運用第2節中得到的正運動學解析式，通過MATLAB仿真得到機器人的最大工作空間，見圖16.

圖16 可達工作空間仿真結果(俯視)

圖16兩端收縮的原因為:當滑塊A或B中一個位于行程終點或起點，另一滑塊向終點或起點靠近時，轉臺沿中線保持前進或后退狀態．此時桿L3向中線擺動(因為滑塊A與B的行程差減小)，使末端點P(Px，Py，Pz)的Py減小，則P靠近中線．兩端形態不同的原因為:當滑塊A或B一個位于起點，另一個前進時，轉臺沿中線前進，前進的速度為A或B中點的移動速度v1與L3擺動在X方向的速度分量v2之差，故左端收縮距離長;當滑塊A或B任意一個位于終點，另一個前進時，轉臺沿中線前進，前進的速度為A或B中點的移動速度v1與L3擺動在X方向的速度分量v2之和，故右端收縮距離短．

在俯視圖上，只需要沿可達工作空間的外輪廓向內推進2rmax的距離就可以得到其靈巧工作空間投影，見圖17;正視圖上，只需距可達工作空間的外緣上下各推進一個包絡面的高度值h，左右各推進rmax就可以得到機器人的靈巧工作空間投影，見圖18．

圖17 可達和靈巧工作空間示意圖(俯視)

圖18 可達和靈巧工作空間示意圖(正視)

5 結論

1)分析了一種五自由度機器人的結構和運動特點.提出了根據齊次矩陣元素的物理意義選取有效等式的分析方法進行矩陣逆變換求得運動學逆解.求得的逆運動學解析表達式形式簡潔，無理論誤差.

2)研究了該機器人作業局部點的靈巧性.根據可達工作空間規劃出了完整的靈巧工作空間模型，為結構設計和運動控制奠定了基礎.

3)本文研究的五自由度工業機器人結構剛性大，位姿改變快速靈巧，作業效率高.配合不同的末端執行器，可以完成弧焊、鉆孔、去毛刺、拋光、銑削等復雜曲面加工，應用前景廣泛.

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