具有未知死區的SⅠSO非仿射非線性系統間接自適應模糊控制

周衛東，廖成毅，鄭 蘭，程 華

(1.哈爾濱工程大學自動化學院，150001哈爾濱;2.齊齊哈爾市建華機械有限公司，161006黑龍江 齊齊哈爾)

在工業過程中經常遇到死區現象，其非線性特性會嚴重影響控制系統的性能，甚至可能導致系統不穩定.因此，許多學者對具有未知死區非線性輸入的系統作了大量研究，并取得了一定的成果［1-13］.文獻［1-2］針對一類具有死區環節的非線性系統提出構造死區反函數來補償死區環節對系統帶來的影響，但是該方法中不光滑的反函數可能會導致系統發生抖振現象.Zhou J.等通過設計光滑的死區反函數避免了抖振問題［3-4］.文獻［5-6］分別針對運動控制系統和直流電機系統提出了模糊設計方法，即根據專家經驗設計基于模糊邏輯系統的死區補償器，利用模糊方法構造控制器，然而該方案會過度地依賴于專家經驗，當找不到合適的描述死區非線性特性的模糊規則時，不能利用這種方法處理死區問題.在文獻［7-9，11-13］中，死區被分解為一個線性項和一個有界的擾動類似項，然后利用魯棒控制技術設計控制器，取得了理想的控制效果.上述研究均是針對仿射非線性系統，而大多數實際系統如飛控系統、化學反應控制系統等都是非仿射系統，近年來非仿射非線性系統的研究取得了很多成果［14-17］，遺憾的是針對非仿射非線性系統的研究，幾乎沒有人考慮含有死區輸入的情況.

本文針對一類具有未知死區輸入環節的SISO非仿射非線性系統，給出了一種間接自適應模糊控制方法.當系統狀態可測時，采用模糊邏輯系統逼近系統中的非線性函數，構造了間接自適應模糊控制器.當系統狀態不可測時，設計觀測器估計跟蹤誤差，基于估計得到的狀態設計間接自適應模糊輸出反饋控制器.最后利用Lyapunov穩定性定理證明了跟蹤誤差收斂到零的某一鄰域，同時保證閉環系統所有信號有界.

1 問題描述

考慮如下一類SISO非仿射系統

其中:u∈R為系統輸入量，y∈R為系統輸出量，x=［x1，…，xn］T∈Rn為系統的狀態向量，d(t)為外界干擾且存在常數 d 滿足 |d(t)|≤ d，F(x，D(u))為光滑的未知函數，D(u)為參數未知的死區輸入．

控制目的:設計控制器使得系統輸出y跟蹤指定期望軌跡yd，同時閉環系統所有信號均有界．

假設1 對于任意x∈Ωx?Rn，存在大于零的常數g使得函數，滿足條件g＜g(x)≤成立，其中Ωx為系統的可控域．

假設2 yd(t)及其對時間導數y(i)d(t)為有界的光滑函數，i=1，2，…，n．

假設3 對于任意x∈Ωx?Rn存在常數gr使得|·g(x)|≤gr成立．

輸入為u輸出為D(u)的死區模型描為

死區模型滿足條件:1)死區輸出D(u)不可測;2)死區參數未知，滿足0≤br≤br，0≤bl≤bl，0＜ml≤ml，0＜mr≤mr．

將未知死區轉化為

2 自適應模糊控制器設計

首先利用中值定理將非仿射非線性形式轉化為仿射非線性形式，有

其中:f(x)=F(x，0)，λ ∈［0，D(u)］，

結合式(2)，系統(1)可轉換為

其中:d0=g(x)β(t)+d(t)，則存在大于零的常數0使得 |d0|≤0．

針對經轉化得到的仿射非線性系統，分系統狀態可測與不可測兩種情況進行分析.

2.1 系統狀態可測

根據模糊邏輯系統的萬能逼近特性［18］，存在最優逼近參數分別滿足

估計誤差為

定義最優逼近誤差為

定義跟蹤誤差e=yd-y，則誤差向量e=［e，，…，e(n-1)］T．

由式(3)有系統跟蹤誤差方程為

式中:B=［0…01］T，

選擇向量 K= ［kn，kn-1，…，k1］T使得 sn+k1sn-1+k2sn-2+kn為Hurwitz多項式．因此A1=A-BKT為穩定的矩陣，即給定一個正定對稱矩陣P，存在正定矩陣Q滿足Lyapunov方程

定理1 對于系統(1)，采用如下控制律與自適應律，可以使得系統輸出跟蹤給定期望信號，同時保證閉環系統所有信號均有界.

控制律為

自適應律為

其三，巡檢工作不到位。在城市燃氣管道投入運行之后，城市燃氣管道相關單位承擔著管道運行維護的責任，它們需要組織人員對管道日常運行進行巡檢，及時發現并排除一些潛在的安全隱患或是突發問題，這樣可以最大程度的避免燃氣泄露事故的發生。然而在實際工作中，管道運行巡檢工作不到位的情況十分常見，這也為燃氣泄露埋下了隱患。

證明 取如下Lyapunov候選函數

對V求時間的導數并結合(5)、(6)可得

將控制律式(7)、(8)以及自適應律式(9)～(12)代入式(14)整理可得

根據假設1和假設3，利用不等式性質整理式(15)有

其中:μ0=，選取 η3使得 η3-＞0．

由式(16)可得

2.2 系統狀態不可測

在實際工程中，通常只有系統輸出可測，而系統狀態通常是不可測量的，即y可測，=［x2，…，xn］T不可測．此時只能利用狀態的估計=［1，…，n］T設計間接自適應模糊控制器．

跟蹤誤差向量為e=［e，，…，e(n-1)］T，定義

參數誤差為

定義f(x)和g(x)的最優逼近誤差為

由式(4)可得系統跟蹤誤差方程為

設計誤差觀測器為

式中:C=［1，0，…，0］T為反饋增益為觀測器增益，選擇K0、Kc分別使A-、A-KcCT為穩定矩陣．

假設4 正定矩陣P1和P2分別滿足方程

由式(18)、(19)可得

定理2 對于系統(1)，當系統狀態不可測時，采用如下控制律和自適應律，可以使得系統輸出跟蹤給定期望信號，同時保證閉環系統所有信號均有界.

控制律

自適應律

構造如下Lyapunov候選函數

求V1關于時間的導數

將式(20)、(21)代入式(31)有

整理可得

假設存在常數 M、N、?分別滿足不等式|u|≤M，|υ|≤N，‖θg‖2≤?．將自適應律式(25)～(28)代入式(32)整理有

對式(33)兩端求積分有

3 仿真結果

考慮如下非仿射非線性系統

仿真目的是驗證所設計控制器能使系統的輸出y跟蹤期望軌跡yd=sin(t)．仿真實驗將分系統狀態可測與不可測兩種情況進行．其中死區D(u)定義為

模糊隸屬度函數選取分別為

狀態可測時，參數取值:γ1=0.01、γ2=0.01、γ3=0.01、γ4=0.01、η1=0.08、η2=0.08、η3=0.08、η4=0.08、K=［2510］T、P=．仿真過程中初值設定(0)=0.1(0)= ［0.1…0.1］1×49、x1(0)=1、=［0.1…0.1］1×49、x2(0)=0．仿真時間為30 s，仿真結果如圖1～3所示．

狀態不可測時，參數取值:γ21=0.01、γ22=0.01、γ23=0.01、γ24=0.01、η21=0.001、η22=0.001、η23=0.001、η24=0.001、K0=［104］T、Kc=［45］T、P1=．仿真初值設定:［0.1…0.1］1×49(0)=［10］T．仿真時間取為30 s，結果如圖4～6所示.

由圖1和圖4可以觀察到系統輸出跟蹤期望信號的軌跡，結合跟蹤誤差圖2和圖5，可以得出結論，利用本文所設計的控制器，可以使得系統完成跟蹤任務，即跟蹤誤差收斂于零的某一鄰域.圖3和圖6則分別給出了兩種情況下系統控制輸入的軌跡曲線.經上述分析，本文給出的控制器能夠使得系統輸出跟蹤給定軌跡，并同時保證了跟蹤誤差收斂以及控制輸入有界.

圖1 狀態可測時期望輸出與實際跟蹤曲線

圖2 狀態可測時跟蹤誤差曲線

圖3 狀態可測時系統控制輸入曲線

圖4 狀態不可測時期望輸出與實際跟蹤曲線

圖5 狀態不可測時跟蹤誤差曲線

圖6 狀態不可測時系統控制輸入曲線

5 結 論

1)研究了一類含有未知死區輸入環節的SISO非仿射非線性系統控制器設計問題，給出了在系統狀態可測與不可測兩種情況下的控制器設計方案.

2)通過Lyapunov定理證明了具有未知死區的SISO非仿射非線性閉環系統的穩定性，跟蹤誤差收斂，同時保證了所有系統均有界.

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