小型航天器浸入與不變自適應反步姿態跟蹤

張 超，張勝修，蔡光斌，侯明哲

(1.第二炮兵工程大學控制工程系，710025西安;2.哈爾濱工業大學控制理論與制導技術研究中心，150001哈爾濱)

隨著航天器應用領域的不斷擴展，對小型低造價航天器的需求逐步提升，而小體積低造價意味著航天器控制能力有限且更易受干擾的影響，這就要求姿態控制系統在不斷增強魯棒性的同時考慮控制飽和的影響.目前，廣泛研究和應用于非線性航天器姿態控制的方法主要有動態逆［1-2］，滑模變結構控制［3-4］和反步法［5-8］.因為反步法沒有時標分離的假設和抖振現象，且遞推過程基于具有嚴格收斂和穩定性的Lyapunov函數，在增強控制魯棒性和自適應性方面，反步法的結構也具備很大的靈活性［9］，所以本文選擇反步法設計基礎姿態控制器.

對于受多種不確定性因素影響的在軌航天器控制問題，可采用兩種自適應反步結構以提高控制器的性能:一是基于調節函數的自適應反步(adaptive backstepping with tuning functions，TFAB)，該方法通過Lyapunov函數的遞歸推導來構造不確定參數的自適應律，克服了過參數化估計問題，具有強穩定性，但更新律結構和控制律形式復雜，特別是參數估計不能保證真值收斂，且系統動態與參數更新律動態強耦合，不可預知的參數更新動態可能導致非期望的閉環瞬態響應，因而對于復雜系統，TFAB控制器參數調節困難［9-10］;二是基于估計的分塊自適應反步(modular adaptive backstepping)，分別設計魯棒控制律和非基于Lyapunov的估計器，如正交最小二乘估計器等［5-6，11］，估計器直接在線估計并補償不確定性的影響.但對于非線性系統，由于難以保證確定等價原則，所以需要引入非線性阻尼項以克服參數估計的時變特性，然而非線性阻尼導致了不期望的高增益控制，可能引起數值穩定性問題，且閉環系統的輸入-狀態穩定性相對于方法一來說也損失了強穩定性.

最近，文獻［10，12-14］提出了一種新的基于系統浸入和流形不變(I＆I)的非線性自適應控制和狀態觀測器設計方法，對于參數嚴反饋系統該觀測器可用于對未知參數進行估計，并使參數估計誤差具有期望的一致穩定動態，因而閉環系統具有控制與估計兩個穩定系統級聯的分塊自適應控制結構，相對前述傳統自適應反步法，其參數調節更容易，且不需要非線性阻尼項，極大的改善了自適應系統的性能.因而，本文基于I＆I設計非線性估計器對“總干擾”(外干擾和慣性參數攝動引起的干擾力矩)進行實時估計補償，以提高反步控制的魯棒性和精度.

由于航天器作動器物理飽和與系統狀態約束的存在會嚴重降低閉環系統的性能，所以在設計控制器時還必須考慮輸入受限問題［3，7，15］.本文采用指令濾波反步法［16］(command filtered backstepping，CFBS)設計反步控制器，通過指令濾波器來施加系統狀態和控制輸入的幅值及速率約束，并對跟蹤誤差進行修正以消除飽和約束對跟蹤誤差收斂性的影響，同時得到虛擬控制量導數以簡化設計過程.最后，將本文基于I＆I的分塊自適應約束反步控制器(I＆I based modular adaptive constrainted backstepping，IIACB)與非自適應的CFBS和基于調節函數的約束自適應反步控制器［17］(constrained adaptive backstepping，CABS)進行比較仿真，驗證了本文方法在小型航天器高精度姿態控制中的有效性.

1 航天器MRP姿態模型

修正羅德里格參數(MRP)是通過投影法由四元數推出的描述姿態運動的三參數全局非奇異方法，能夠表示|θ|＜360°的特征軸轉動，參數較少，計算量小［18］.

1.1 姿態運動學方程

假設航天器在圓軌道上運行，則軌道角速率n為常值，由MRP表示的姿態運動方程為

其中:σ =［σ1σ2σ3］T∈R3為MRP姿態參數向量(文中‖·‖表示向量的2范數或矩陣的誘導2范數);N(σ)為MRP運動學矩陣;Ⅰ3×3是3×3單位矩陣;ω =［ω1ω2ω3］T∈R3為航天器相對于慣性系的角速度向量;ci(σ)，i=1，2，3是MRP方向余弦矩陣C(σ)的第i列向量，

C(σ)表示如下:

Sζ表示如下反對稱矩陣:

1.2 姿態動力學方程

剛體航天器向量形式的歐拉轉動方程為

其中:M=(Tg+Tc+Td)∈R3為航天器在本體坐標系上所受的總外力矩，Tg=3n2Sc3J0c3為非均勻重力場引起的重力梯度力矩，Tc為執行器控制力矩，Td=TdI+TdEX為總干擾力矩，TdI及TdEX分別表示慣性參數攝動引起的干擾力矩部分和受到的環境外干擾力矩部分;J0∈R3×3為航天器對稱正定慣性張量矩陣的已知測量部分，則航天器標稱姿態動力學方程為

其中未知干擾力矩Td的系數項J-10是常值回歸項．

1.3 干擾力矩有界性

針對航天器姿態數學模型(1)和(3)，在全局范圍內作如下假設:‖Td‖≤Mm，≤Mr成立，即時變的總干

假設1［19-20］存在正常數 Mm和 Mr，使得擾力矩Td及其導數是有界的．

假設1表明干擾屬于有界慢時變形式，在實際航天背景下，航天器所受空間干擾項，包括了地球引力攝動、大氣阻力、太陽光壓以及日月三體引力等因素，這些因素取決于空間環境、軌道參數及星間相對狀態等，可以在具體應用背景下通過相應的模型獲得其大小［21］，雖然不同外干擾的大小差別很大，但是與航天器姿態控制力矩相比他們都非常小.文獻［22-23］指出:一般在控制器設計中可將其作為有界的未知項處理，并通常具有偏差項與周期項相加的形式.因此，本文對Td中常值慣性張量偏差引起的干擾力矩TdI及其導數有界性進行證明．

在證明之前，首先給出以下2范數的定義和性質:向量 v∈Rn的2范數定義為，‖v‖ =，矩陣A∈Rm×n的誘導2范數為，并且對于有界的矩陣A和向量v滿足如下性質:

其中γ為有限的正常數．

進一步對于向量的叉乘運算使用2范數可得

其中w∈Rn．

慣性張量模型由J=J0+ΔJ表示，其中J是實際慣性矩陣，J0和ΔJ分別表示已知測量部分和常值慣性張量偏差，進一步將實際慣性矩陣的逆用J0表示為J-1=J-10+ΔJ*，由式(3)可知，實際的航天器動力學模型應為

將上式中的不確定項分離并整理可得

可見，由慣性張量常值偏差ΔJ引起的干擾力矩TdI是時變的，可以用I＆I觀測器進行估計．由于J和J-1均為有限常值非奇異矩陣，取式(7)的2范數并利用范數性質式(4)～(5)可得

其中γi為有限正常數．由于特征軸轉動|θ|＜360°，MRP滿足|σ|2＜ 1，因而向量ci(σ)，i=1，2，3有界，又因為在反步控制器設計中利用指令濾波器施加了控制輸入Tc與狀態ω的幅值飽和限制，所以Tc和ω均有界，因而從式(8)可知TdI有界．進一步TdI的時間導數為

對上式同樣取2范數可得

其中γi為有限正常數，由于指令濾波器同樣施加了速率限制，所以保證了和c的有界性．而由方向余弦矩陣(2)的泊松運動微分方程［18］

假設2 參考指令信號及其一階導數存在且有界.

在實際跟蹤控制系統中，參考指令信號通常均有界.將參考指令進行一階濾波形成新的參考指令，則可使得其一階導數存在且有界.

假設3 系統狀態(姿態角σ，角速度ω)完全可知．

由于本文研究狀態反饋控制律設計，所以提出該假設，實際工程中航天器姿態角和角速率也是可測的.

至此，本文控制器設計目標為:針對式(1)和(3)組成的6階非線性嚴格反饋MRP模型，設計控制律Tc，使得在系統不確定性和干擾條件下航天器姿態σ跟蹤光滑參考指令σr，閉環系統全局穩定且當t→∞時跟蹤誤差zi(i=1，2)收斂于包含零的可任意小的鄰域內．

2 I＆I自適應反步控制

2.1 反步控制器設計

考慮系統(1)和(3)，首先定義跟蹤誤差向量

其中:x2，c是實際內環參考角速率，x2，c及其導數2，c可通過對= α1- χ2指令濾波后獲得(α1是設計的內環虛擬控制律，χ2是由于濾波作用而定義的修正項)，對于文獻［16］的指令濾波器可采用如下離散形式:

跟蹤誤差式(10)、(11)的動態為

為消除飽和約束對跟蹤誤差的影響，進一步定義修正跟蹤誤差為

注1雖然式(15)中z1，z1，χ1都是MRP表示的角度，但當參考指令連續光滑時，z1較小，且合理設計指令濾波器可使χ1比z1更小，因而可不采用形如式(10)的MRP代數運算，直接相減進行合理近似.

帶飽和約束的指令濾波對跟蹤誤差z1、z2的效應由如下穩定線性濾波進行估計，即修正項χ1、χ2滿足

至此，未經濾波的初始控制律設計為

其中增益矩陣k1，k2＞0，通常可選擇內環增益k2大于外環增益是“總干擾”力矩估計值．實際執行器飽和約束下的控制力矩Tc由通過(12)指令濾波獲得．

2.2 Ⅰ＆Ⅰ估計器設計

I＆I是利用定義的不變流形使得所有流形面上的解都收斂于平衡狀態，為此，I＆I使用閉環目標動態來合理設計自適應控制的估計律［14］.對于航天器姿態模型，干擾項僅存在于動力學方程(3)中，首先定義流形外的估計誤差為

代入動力學方程(3)，控制律(19)和修正項動態(17)，則d的動態為

消去式(21)的已知部分，則定義估計律為

這使得誤差系統式(20)具有如下動態:

由于式(3)中回歸函數J-10是常值，所以由文獻［10］可知，β(ω)存在如下解:

其中γ＞0是估計增益，代入式(23)可得

至此，式(22)、(24)構成 I＆I估計律，式(25)是估計誤差動態，且以下穩定性引理成立.

引理 對于誤差系統式(23)和形如式(24)定義的光滑函數β(ω)，在假設1成立的條件下，估計誤差動態式(25)一致全局有界，其解漸進收斂于集合S，

可見，當Mr，J0一定時的上界可以通過選擇充分大的γ而任意小，即估計值d+β(ω)趨近于真值Td，并且注意到I＆I方法的特點，該結論的成立是獨立于控制律設計的.

3 閉環穩定性證明

首先，分析閉環系統修正跟蹤誤差式(15)的動態，由式(13)可知:

進一步代入式(16)、(18)可得

同理，由式(14)、(17)、(19)可得

至此，選取閉環系統的Lyapunov函數如下:

其沿估計誤差動態式(25)，修正跟蹤誤差動態式(29)、(30)的時間導數為

由式(27)可知

其中Λ =ΛT＞0，且如果滿足如下條件:

則式(31)為

為使得增益γ滿足條件(32)，且無需顯式計算Λ，將式(32)兩不等式結合可得

最終，小型航天器IIACB分塊姿態控制結構框圖如圖1所示.

圖1 I＆I分塊自適應約束反步姿態控制框圖

4 仿真結果與分析

針對航天器姿態機動，本文分別基于文獻［16］帶飽和約束的非自適應 CFBS，文獻［17］中自適應的CABS以及本文的IIACB進行仿真比較.

CFBS控制器與IIACB的控制器部分相同，而由于干擾力矩的時變性質，CABS控制器的內環控制律需要增加非線性阻尼項來克服估計誤差，以使得閉環系統輸入 -狀態穩定［24-25］，其中κ =κT＞0為魯棒增益，而其調節函數估計律由修正跟蹤誤差z2驅動，如式(35)，增加光滑投影算子［26］Proj(·)用于保證估計誤差有界，Γ＞0為自適應增益，

其中:δ＞0為小的常值;M是超球面集半徑;τ表示估計律．

航天器軌道角速度n=1.078×10-3rad/s，慣性張量J=J0+ΔJ，Jii表示 J的第 i個對角元素［1］．

Td為航天器本體軸上的外干擾力矩［1］，且

航天器參考姿態分為重定向和掃描機動兩部分.初始姿態σ0=［000］T，目標姿態為

為說明飽和約束的影響，首先，航天器從初始姿態σ0重定向到目標姿態σ1，過渡過程采用角速率1.5(°)/s并經一階低通濾波的斜坡參考信號，其次，在目標姿態σ1與σ2之間進行周期T=110 s，峰峰振幅40°的正弦掃描機動.仿真步長0.01 s.為平等比較，CFBS，IIACB內環控制律同樣加入非線性阻尼，并選擇三種控制器具有相同的控制增益，

由于I＆I估計器是根據閉環動態設計，并使得閉環系統為兩穩定系統的級聯分塊結構，所以相比于CABS，I＆I自適應設計參數調節更容易，增大觀測器增益γ不僅使估計更快，而且能改善閉環動態性能(實際仿真誤差還受限于由數值穩定性決定的時間步長).由估計誤差上界式(26)和參數條件式(34)可知，γ的選擇與名義航天器模型慣性矩陣J0及控制增益k2的大小有關，所以選擇I＆I估計器參數為γ=50．

對于調節函數估計律式(35)，雖然僅要求增益Γ為正，但如引言對TFAB的論述，閉環瞬態性能受估計誤差影響，所以Γ選擇過小則系統性能降低，選擇過大則系統出現震蕩，經反復調整，調節函數估計增益為Γ=diag{6，6，6}·J0．

根據執行器物理約束及航天器所載儀器對其狀態的限制［27］，指令濾波器參數為:內環x2，c限幅1(°)/s，速率限制0.2(°)/s2，控制力矩Tc限幅0.05 N·m，速率限制5(N·m)/s.由于約束自適應反步法(CABS)使用指令濾波器施加了控制力矩的約束限制，避免了閉環系統在約束條件下不穩定，所以可以適當放寬選擇投影算子的參數M=0.1 N·m和δ=0.001 N·m，使得估計律能夠更準確的估計干擾力矩的大小，以提高閉環的干擾抑制性能.

仿真結果如圖2～6所示，其中，IIACB姿態跟蹤如圖2(a)和圖3(a)所示，圖2(b)和圖3(b)給出了CFBS，CABS和IIACB的跟蹤誤差比較，θe=4arctan(‖σe‖)為式(37)所示特征軸轉角θ的跟蹤誤差，‖ωe‖為角速率跟蹤誤差的2范數．

圖2 MRP姿態角跟蹤

圖3 姿態角速度跟蹤

圖4 IIACB 控制力矩變化

圖5 Ⅰ＆Ⅰ估計器干擾力矩估計

可以看出在給定輸入狀態約束下，盡管航天器跟蹤設計的參考姿態出現了角速率和控制力矩飽和，由于引入了指令濾波和修正跟蹤誤差，3種控制器均能實現穩定跟蹤，但非自適應的CFBS對慣性參數攝動和周期性干擾的抑制能力較弱，并且受外加常值干擾的影響，θe和‖ωe‖均產生了穩態跟蹤誤差，自適應控制器 IIACB和CABS跟蹤效果更好，但相比之下CABS內外環跟蹤誤差較大，而IIACB的跟蹤更精確，性能主要受飽和約束影響.

上述定性分析的結論，可以使用均方根RMS(root mean square)進一步定量比較三種控制器的姿態跟蹤誤差和干擾估計誤差，如表1所示.

表1 控制器性能比較

從圖4控制力矩變化可知，IIACB控制律對干擾的抑制并不以較大的控制量為代價，定義航天器能量消耗的量度如下［18］(單位J):

其中ωi和Tci分別表示角速率ω和控制力矩Tc的第 i個分量，則 PCFBS=0.280 3，PCABS=0.277 6，PIIACB=0.276 1，IIACB能量消耗更小.

從圖5I＆I觀測器對干擾力矩的估計可以看出(圖5(a)中Tdi表示干擾力矩Td的第i個分量)，其能迅速準確地跟蹤“總干擾”的變化，所以干擾補償更有效，而CABS的調節函數估計律由Lyapunov函數得出，以保證閉環系統穩定為前提，估計性能不可預知，其干擾力矩估計d如圖6所示，可以看出的分量和耦合，整體估計效果較差，兩者估計誤差d2范數的均方根比較見表1．

5 結論

1)本文針對小型剛體航天器在模型不確定性、外部擾動和飽和約束情況下的姿態跟蹤問題，利用反步法和I＆I理論，在MRP描述的數學模型基礎上，設計了分塊自適應約束反步姿態跟蹤控制器;利用Lyapunov理論證明了閉環系統輸入狀態穩定和估計誤差的收斂性.

2)由于I＆I估計器具有獨立于控制律設計的穩定性，使得反步控制器和I＆I觀測器組成分塊自適應控制結構，相比傳統自適應反步法，其調節更容易且閉環瞬態性能不受估計律動態的影響.

3)在反步控制中引入了指令濾波器，很好地解決了狀態執行機構飽和約束條件下的姿態機動問題和傳統反步法虛擬控制導數的計算膨脹問題.

4)比較仿真表明，由于I＆I估計器的穩定性質和對干擾的準確在線估計補償作用，姿態控制的魯棒性和精度顯著提高.

［1］ACQUATELLA P J，FALKENA W，van KAMPEN E J，et al.Robust nonlinear spacecraft attitude control using incremental nonlinear dynamic inversion［C］//AIAA Guidance， Navigation， and Control Conference.Minneapolis:［s.n.］，2012:1-20.

［2］王彪，唐超穎.航天器姿態的神經網絡動態逆控制［J］.系統工程與電子技術，2007，29(2):246-249.

［3］LU K F，XIA Y Q，FU M Y.Controller design for rigid spacecraft attitude tracking with actuator saturation［J］.Information Sciences，2013，220(20):343-366.

［4］XIA Y Q，ZHU Z，FU M Y，et al.Attitude tracking of rigid spacecraft with bounded disturbances［J］.IEEE Transcations on Industrial Electronics，2011，58(2):647-659.

［5］王翔宇，丁世宏，李世華.基于反步法的撓性航天器姿態鎮定［J］.航空學報，2011，32(8):1512-1523.

［6］ZOU A M，KUMAR K D.Adaptive fuzzy fault-tolerant attitude control of spacecraft［J］.Control Engineering Practice，2011，19(1):10-21.

［7］ALI I，RADICE G，KIM J.Backstepping control design with actuatortorque bound for space craftattitude maneuver［J］.Journal of Guidance， Control， and Dynamics，2010，33(1):254-259.

［8］李波，胡慶雷，石忠，等.基于反步法與動態控制分配的航天器姿態機動控制［J］.控制理論與應用，2012，29(11):1419-1425.

［9］KRSTIC M，KANELLAKOPOULOS I，KOKOTOVIC P.Nonlinear and adaptive control design［M］.New York，NY:John Wiley＆ Sons，Inc.，1995.

［10］KARAGIANNIS D，ASTOLFI A.Nonlinear adaptive control of systems in feedback form:an alternative to adaptive backstepping［J］.Systems ＆ Control Letters，2008，57(9):733-739.

［11］van OORT E R，SONNEVELDT L，CHU Q P，et al.Fullenvelope modular adaptive control of a fighter aircraft using orthogonal least squares［J］.Journal of Guidance Control and Dynamics，2010，33(5):1461-1472.

［12］ASTOLFI A，ORTEGA R.Immersion and invariance:a new tool for stabilization and adaptive control of nonlinear systems［J］.IEEE Transcations on Automatic Control，2003，48(4):590-606.

［13］KARAGIANNIS D，CARNEVALE D，ASTOLFI A.Invariant manifold based reduced-order observer design for nonlinearsystems［J］.IEEE Transcationson Automatic Control，2008，53(11):2602-2614.

［14］ASTOLFI A，KARAGIANNIS D，ORTEGA R.Nonlinear and adaptive control with applications［M］.London:Springer-Verlag，2008.

［15］CHEN M，GE S S，REN B.Adaptive tracking control ofuncertain MIMO nonlinearsystems with input constraints［J］.Automatica，2011，47(3):452-465.

［16］FARRELL J A，POLYCARPOU M，SHARMA M，et al. Command filtered backstepping［J］. IEEE Transcations on Automatic Control，2009，54(6):1391-1395.

［17］SONNEVELDT L，CHU Q P，MULDER J A.Nonlinear flight control design using constrained adaptive backstepping［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2007，30(2):322-336.

［18］SCHAUB H，JUNKINS J L.Analytical mechanics of aerospacesystems［M］. Reston， VA:American Institute of Aeronautics and Astronautics，2003.

［19］肖冰，胡慶雷，馬廣富.小衛星改進型自適應反步姿態控制［C］//第二十九屆中國控制會議論文集.北京:［s.n.］，2010:2139-2143.

［20］胡錦昌，張洪華.基于浸入與不變流形的抗干擾飽和姿態控制器［J］.中國空間科學技術，2012，32(6):31-38.

［21］董曉光，曹喜濱，張錦繡，等.近地單質量塊Drag-Free衛星自適應控制方法［J］.哈爾濱工業大學學報，2013，45(1):1-6.

［22］曹喜濱，董曉光，張錦繡，等.編隊飛行自主控制的自適應方法［J］.宇航學報，2012，33(7):903-909.

［23］曹喜濱，梨施，董曉光，等.基于干擾觀測的無阻力衛星控制器設計［J］.宇航學報，2012，33(4):411-418.

［24］GE S S，WANG J.Robust adaptive tracking for time varying uncertain nonlinearsystems with unknown control coefficients［J］.IEEE Transcations on Automatic Control，2003，48(8):1463-1469.

［25］ZHANG X Y，LIN Y.A robust adaptive dynamic surface control for nonlinear systems with hysteresis input［J］.Acta Automatica Sinica，2010，36(9):1264-1271.

［26］POMET J，PRALY L.Adaptive nonlinear regulation:estimation from the Lyapunov equation［J］.IEEE Transcations on Automatic Control，1992，37(6):729-740.

［27］WERTZ J R，LARSON W J.Space mission analysis and design［M］.3rd ed.The Netherlands:Microcosm Press and Kluwer Academic Publishers，1999.