增材制造橢圓錐齒輪的齒面與齒距誤差分析

林 超，樊 宇，張正文，才立忠，李忠華

(重慶大學機械傳動國家重點實驗室，400030重慶)

橢圓錐齒輪機構是現(xiàn)代機械中的一種新型傳動機構，用于傳遞相交軸之間的運動和動力，主要特點是傳動比為變傳動比傳動.橢圓錐齒輪的發(fā)展主要受限于加工制造.相比于普通錐齒輪，橢圓錐齒輪節(jié)曲線為非圓形，各個齒廓不盡相同，故加工較為困難，且加工精度也低于普通錐齒輪.傳統(tǒng)加工橢圓錐齒輪的方法有:數(shù)控機床加工、線切割加工等.增材制造［1-3］(additive manufacturing，AM)被譽為顛覆傳統(tǒng)加工技術的一項新技術，增材制造能夠?qū)崿F(xiàn)橢圓錐齒輪的快速成型，使其成為制造業(yè)的研究熱點之一，國內(nèi)外許多學者對其進行了研究.如Sears［4］對SLM和EBM兩種方法進行了對比研究.Murr等［5］對銅、鈦6AL-4V合金、鎳基超合金、鈷基超合金和17-4 PH不銹鋼等材料在SLM和EBM中的預合金化和霧化前體粉末進行了研究.Hao等［6］針對增材制造的基本材料和工藝進行了研究.Chen 等［7］和 Rosen［8］對增材制造的蜂窩結構設計做了研究.

本文將橢圓錐齒輪與增材制造相結合，探討增材制造法加工橢圓錐齒輪的可行性.國內(nèi)外還沒有增材制造加工橢圓錐齒輪的報道，因此該方法加工的橢圓錐齒輪能否應用于實際還需實驗驗證.本文運用超景深三維顯微系統(tǒng)和三坐標測量機對該齒輪進行檢測，得到齒面誤差和齒距誤差，并提出若干改進方法，提高該方法的加工質(zhì)量.

1 基本原理

1.1 齒輪副傳動原理

橢圓錐齒輪副在嚙合傳動時，主動輪橢圓節(jié)錐面與從動輪橢圓節(jié)錐面在同一球面上做純滾動.主、從動輪的節(jié)錐角分別為Ψ1、Ψ2，球面半徑為R，軸間夾角為90°.基于直齒圓柱齒輪及圓錐齒輪的嚙合原理，建立橢圓錐齒輪傳動副的空間球面嚙合坐標系，該坐標系由一個定坐標系O(x，y，z) 和 兩 個 動 坐 標 系O1(x1，y1，z1)、O2(x2，y2，z2)組成，如圖1 所示．

圖1 橢圓錐齒輪副嚙合原理圖

齒輪副要實現(xiàn)的傳動比函數(shù)［7-9］為

式中:k為橢圓錐齒輪的偏心率;n為橢圓錐齒輪的階數(shù)，n≥2;φ1為橢圓錐齒輪的轉角.

軸間夾角θ=ψ1+ψ2=90°，代入式(1)可得齒輪副的節(jié)曲線方程為

式中:φ1為橢圓錐齒輪主動輪的轉角，φ2為橢圓錐齒輪從動輪的轉角.

如圖1所示，齒輪1轉過周向角φ1，相應的齒輪2轉過周向角φ2．由空間坐標變換公式可求得動參考標架O1變換到固定坐標系O的變換矩陣M01及固定坐標系O變換到動參考標架O2的變換矩陣M02為

由以上坐標變換矩陣可得到固定坐標系與兩個動坐標系之間的轉換關系.

1.2 增材制造原理

增材制造技術是采用材料逐層累加方法制造實體零件的技術，相對于傳統(tǒng)的材料去除技術，是一種“自下而上”材料累加的制造方法(見圖2).增材制造技術不需要傳統(tǒng)的刀具、夾具及多道加工工序，利用三維設計數(shù)據(jù)在一臺設備上，可快速而精確地制造出任意復雜形狀的零件，而只需傳統(tǒng)加工方法的10%～30%的工時和20%～35%的成本［10］，從而實現(xiàn)“自由制造”，解決許多過去難以制造的復雜結構零件的成形問題.這項新技術給橢圓錐齒輪的加工制造，提出了一種新的制造方法.

圖2 傳統(tǒng)加工與增材制造對比

EOS M280粉末激光打印機，采用選擇性激光燒結(direct metal laser sintering，DMLS)的加工模式，其基本原理為:采用激光有選擇地分層燒結固體粉末，并使燒結成型的固化層層疊加生成所需形狀的零件.其整個工藝過程包括CAD模型的建立及數(shù)據(jù)處理、鋪粉、燒結以及后處理等.DMLS技術的增材制造系統(tǒng)工作原理如圖3所示.

1.3 制造前處理

在加工前，需要準備好加工所需的數(shù)據(jù).數(shù)據(jù)的類型是CAD模型的STL數(shù)據(jù)格式.Pro/E、UG、Catia、Cimatio、Solid Edge、MDT 等大型軟件都提供了這種能夠被DMLS制造系統(tǒng)中切片軟件識別的STL數(shù)據(jù)格式.STL數(shù)據(jù)格式的使命是將三維實體的表面三角網(wǎng)格化，表面的三角剖分之后使3D模型呈現(xiàn)多面體狀，如圖4(a)所示.

只將數(shù)據(jù)導成STL格式是無法進行加工的，需要在此基礎上修復模型以及添加支撐結構.在應用中，最常用的是將模型分割成三角網(wǎng)格模型.此外，還需要對導入加工系統(tǒng)中的模型進行修復以及增加支撐，如圖4(b)所示.

圖3 激光選區(qū)熔化增材制造的原理示意圖

圖4 橢圓錐齒輪制造前處理

以上工作完成之后，就可以在切片軟件中進行加工模擬.即用切片軟件，沿成型的高度方向，每隔一定的間隔進行切片處理，以便提取界面的輪廓，分析模型有無缺陷，支撐添加是否正確.間隔的大小根據(jù)被成型件精度和生產(chǎn)率的要求來選定.間隔愈小，精度愈高，但成型時間愈長;否則反之.間隔一般為0.1～0.3 mm，常用0.2 mm左右，在此取值下，能得到比較光滑的成型曲面.切片間隔選定后，成型時每層燒結材料粒度應與其相適應.顯然，層厚不能小于燒結材料的粒度.

2 快速成型加工

2.1 快速成型機

選用德國EOS M280快速成型機加工橢圓錐齒輪，其工作部分結構如圖5所示，基本參數(shù)見表1.在M280中，共有4個數(shù)控軸實現(xiàn)增材制造的加工，其運動軸可以分為工件運動軸、刮刀運動軸以及振鏡運動軸.工件運動軸包括沿Z軸方向的平移運動Zt;刮刀運動軸包括沿Y軸方向的平移運動Yt;振鏡運動軸包括沿X軸方向的平移運動Xt以及繞X軸方向的旋轉運動Xr．

圖5 快速成型機加工坐標系

表1 快速成型機M280基本參數(shù)表

2.2 加工坐標系

建立成型機的固定坐標系OJ0(xJ0，yJ0，zJ0)、工 件 坐 標 系OJ1(xJ1，yJ1，zJ1)、 刮 刀 坐 標 系OJ2(xJ2，yJ2，zJ2)、振鏡坐標系OJ3(xJ3，yJ3，zJ3)，其中工件坐標系與工件固定連接．加工開始后，工件坐 標 系OJ1(xJ1，yJ1，zJ1) 在 固 定 坐 標 系OJ0(xJ0，yJ0，zJ0)中移動的距離為z，即工件在快速成型機坐標系OJ0(xJ0，yJ0，zJ0)中平移的坐標為(0，0，z)．刮刀坐標系OJ2(xJ2，yJ2，zJ2)在固定坐標系OJ0(xJ0，yJ0，zJ0)中移動的距離為y，即刮刀在快速成型機坐標系OJ0(xJ0，yJ0，zJ0)中平移的坐標為(0，y，0)．同時，由于振鏡的旋轉，振鏡坐標系OJ3(xJ3，yJ3，zJ3)先繞其XJ3軸旋轉角度γ，再沿著XJ3方向平移，平移距離為Xt．

通過以上分析，可得工件坐標系變換到快速成型機坐標系OJ0(xJ0，yJ0，zJ0)的變換矩陣為

刮刀坐標系變換到固定坐標系OJ0(xJ0，yJ0，zJ0)的變換矩陣為

振鏡在固定坐標系OJ0(xJ0，yJ0，zJ0)的變換矩陣為

由以上的坐標變換關系，可以建立快速成型機加工時振鏡與工件之間的位置變化關系.

2.3 增材加工過程

加工開始時，加工平臺移動到初始位置，并且在平臺底層鋪一層金屬粉末.然后向成形艙通入適當?shù)亩栊詺怏w，當成形艙的氧含量低于規(guī)定的限值，則自動開始加工.通過用計算機控制的激光束照射金屬粉末，使得凝固的金屬粉末與零件的幾何模型吻合.此后，加工平臺降低一個層的厚度，再鋪上一層金屬粉末，重復上述過程.最終，就可得到所需的零件.

橢圓錐齒輪總體積為53717.811 56 mm3，建造速度選用6 mm3/s，則總建造時間約為2.49 h.目前實驗室有不銹鋼、模具鋼、鈦合金、高溫鎳合金4種粉末，考慮模具鋼具有高的硬度、強度、耐磨性，足夠的韌性等特點，故選用模具鋼作為加工材料.加工該齒輪選用的層厚為20 μm，齒輪總高度為38.18 mm，總層數(shù)為1 909.各典型狀態(tài)采用solidworks模擬如圖6所示.

圖6 solidworks模擬增材制造加工

3 誤差分析

3.1 誤差模型

用DMLS方法加工橢圓錐齒輪，會存在臺階效應［11-15］，如圖7所示.根據(jù)橢圓錐齒輪節(jié)曲線的性質(zhì)可知，長軸端齒頂延長線與中心線的夾角最大，在其他地方的夾角都要小于長軸端處夾角.由臺階效應得知，傾角會對粗糙度產(chǎn)生直接影響，傾角越小，表面粗糙度越大.

圖7 分層模型

由圖7可得，每層邊界輪廓誤差為

式中:h為層厚，ψ1為橢圓錐齒輪錐角.

齒頂法線方向的高度差為

X、Y方向的誤差分別為

式中:η為檢測線在X-Y平面的投影與X軸的夾角，由式(3)和(4)可得每層邊界輪廓實際坐標為

3.2 檢測模型

本文采用超景深三維顯微系統(tǒng)對齒面質(zhì)量進行檢測.利用該設備截面輪廓檢測功能，可以分析橢圓錐齒輪齒頂面的粗糙度，進而評價增材制造技術加工橢圓錐齒輪的加工質(zhì)量.

利用超景深三維顯微系統(tǒng)可對橢圓錐齒輪單齒齒頂面進行三維合成.通過傾斜校正功能，使測量平面與系統(tǒng)坐標系平面平行，本實驗主要研究表面高度問題，即與系統(tǒng)坐標系Z方向有關，與X、Y坐標無關，故完成傾斜校正，就完成了系統(tǒng)定位．利用系統(tǒng)自帶的分析軟件，可對齒面的齒廓截面進行分析，通過多個截面的分析，可以較為準確地評價該齒面的加工質(zhì)量.由于增材制造是直接成型加工，理論誤差模型適用于齒輪的各個表面.齒頂表面較齒面表面更易測量及數(shù)據(jù)分析，且未經(jīng)后處理的齒輪，齒頂與齒面的理論誤差接近，故本文采用齒頂誤差分析去評定齒輪表面質(zhì)量.

3.3 數(shù)據(jù)處理與誤差分析

利用超景深三維顯微系統(tǒng)完成單齒齒面三維合成后，可以得到齒面輪廓截面的數(shù)據(jù).本文采用以下的方法評價齒面質(zhì)量.

在單齒檢測模型中，采用5條均勻的橫線對被采集的區(qū)域進行分割，這5條橫線代表該齒面的5個輪廓截面，對這5個輪廓截面進行數(shù)據(jù)提取，繪制曲線，即可得知該齒面的質(zhì)量情況.在每一個齒面輪廓截面中，用高度差來反映該截面的粗糙度，即提取該組數(shù)據(jù)中的最高點和最低點.

理論高度差計算見式(2).理論截面高度為

式中hmin為截面的最低點的高度值.

根據(jù)超景深三維顯微系統(tǒng)檢測采集的數(shù)據(jù)，經(jīng)實測數(shù)據(jù)分析及處理，可繪制出齒1～4采集面的截面曲線.再與理論截面高度進行對比，得到理論值與實測值截面高度誤差曲線對比，如圖8所示.

圖8 理論值與實測值截面高度誤差曲線對比圖

相對誤差計算公式為

式中h為實際截面高度.

將齒1～4每一段截面均勻提取出13個點，計算出每一點的相對誤差，可以繪制出5×13的齒頂面相對誤差空間網(wǎng)格圖，可直觀反映出齒頂面的表面誤差情況，如圖9所示.

圖9 齒頂面相對誤差空間網(wǎng)格圖

由圖8中齒1～4各個截面曲線與理論曲線進行對比，可得實際誤差與理論誤差近似吻合.

齒1區(qū)域，最高點為52.867 μm，最低點為12.429 μm，高度差為 40.438 μm，理論高度差為15.717 μm;齒2 區(qū)域，最高點高度為57.560 μm，最低點高度為27.722 μm，高度差為29.738 μm，理論高度差為15.532 μm;齒3區(qū)域，最高點高度為50.025 μm，最低點高度為 14.427 μm，高度差為35.602 μm，理論高度差為 15.782 μm;齒 4 區(qū)域，最高點高度為112.362 μm，最低點高度為55.825 μm，高度差為 56.537 μm，理論高度差為14.703 μm.

由以上分析可知，區(qū)域上，理論高度差和實際高度差相差偏大.由于誤差較大，改進方法主要為提高該加工方法的加工工藝.

3.4 齒距偏差

本文用三坐標測量法檢測橢圓錐齒輪的齒距偏差．球面節(jié)曲線的長度［16］為

節(jié)曲線坐標方程為

聯(lián)立式(5)和(6)，可求得橢圓錐齒輪大端節(jié)曲線上同側齒面的單個齒距．查閱文獻［17］可得，其單齒標準齒距fp2=5.143 032 mm．而單齒距偏差Δfp2等于實際齒距與理論齒距的代數(shù)差，即

式中:i為橢圓錐齒輪階數(shù);Fpi為橢圓錐齒輪測量齒距．

如圖10為單齒距偏差的柱狀圖，由圖可以得出，單齒齒距偏差在±0.8 mm范圍內(nèi)波動.單個齒距誤差可以直接反映出傳動比的波動.

圖10 單齒齒距偏差柱狀圖

由單齒齒距偏差可以分析求得該齒輪的齒距累計誤差，如圖11所示.

圖11 齒距累計偏差曲線

由圖11分析可得，該齒輪的單齒齒距曲線在其標準齒距線上下波動，計算可得該齒最大齒距累計偏差ΔFp2=1.021 933 179 mm，它反映出單齒齒距偏差的總幅值以及齒輪旋轉一周傳動比的變化，因此該參數(shù)影響齒輪傳遞運動的準確性.由以上測試計算結果可以得出，通過增材制造法加工得到的橢圓錐齒輪具有較好的運動傳遞精度.

在增材制造加工中，除了理論誤差對加工質(zhì)量存在影響外，以下因素也會對表面質(zhì)量產(chǎn)生影響:

1)STL模型處理.在前處理階段，即數(shù)據(jù)處理階段，對三維模型的三角化處理精度不夠高，導致金屬粉末加工系統(tǒng)中的模型和設計模型不完全一致;其次，由于處理軟件還不夠完美，導入的STL模型可能會出現(xiàn)多余線條或者平面不完整的情況，如果對模型修復不到位，都會影響到加工精度.

2)支撐結構.在金屬粉末激光燒結過程中，對于水平伸出＞1 mm以及與水平夾角＜40°的部位，必須建立支撐結構，否則，金屬粉末的粘接力會因為無法承受自身重力而發(fā)生彎曲變形.加工平臺對模型自動建立的支撐結構往往還不夠完善，因此，研究人員對模型支撐結構的優(yōu)化程度，將會影響模型最終的加工質(zhì)量.

3)金屬粉末直徑.金屬粉末直徑的大小不僅會直接影響表面質(zhì)量.加工工藝中層厚主要取決于金屬粉末直徑的大小，而層厚又決定了理論誤差對零件加工的影響程度.

4)激光半徑.掃描激光束存在半徑，如果以激光束圓心繞著模型邊界掃描，那么加工尺寸會偏大.因此，對掃描路徑的優(yōu)化程度，將會影響到零件的尺寸誤差.

5)熱效應.加工過程中，激光的高溫導致了成型過程中很明顯的熱效應，熱脹冷縮會影響零件的尺寸誤差.

針對以上分析，提出改進意見如下:在計算機計算能力范圍內(nèi)，盡量提高模型三角化精度，提高處理軟件修復模型的能力;合理建立支撐結構;提高金屬粉末加工工藝，減小金屬粉末半徑;優(yōu)化掃描路徑，減小激光半徑對尺寸誤差的影響;研究找出金屬粉末的熱膨脹系數(shù)，對加工路徑做出合理的修改.

4 結論

1)將增材制造法運用于橢圓錐齒輪加工，結合齒輪嚙合原理的基本方法和增材制造的基本原理，建立了增材制造加工模型，并完成了增材制造過程分析.

2)運用超景深三維顯微系統(tǒng)和三坐標測量機檢測該齒輪的齒面誤差及齒距誤差.建立了橢圓錐齒輪的誤差模型，分析了理論誤差，并與實際齒面誤差作比較.

3)由實驗測量結果與理論誤差之間的對比分析可知，增材制造法加工的橢圓錐齒輪誤差偏大.該方法原理較為簡單，計算容易，從齒形與齒距方面綜合評價了該齒輪，為增材制造加工質(zhì)量的優(yōu)化設計提供了理論基礎.

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