不確定環境多目標投資組合模型及求解算法探究

錢淑渠, 韓燕飛,李曉麗

（安順學院 數理學院,貴州 安順 561000）

不確定環境多目標投資組合模型及求解算法探究

錢淑渠, 韓燕飛,李曉麗

（安順學院 數理學院,貴州 安順 561000）

考慮投資市場的隨機動態屬性，以Markowitz均值-方差模型為基礎，建立了一種不確定環境多目標投資組合模型，模型中以天為時間單位，通過預先設定的采樣周期計算當前時刻的收益率和方差而獲得時變的投資組合模型。利用一種動態多目標免疫優化算法對模型進行實證分析，選取深滬300中的23種資產(2009年1-2月份)的實際日交易數據進行實驗，結果表明：算法能跟蹤不同時刻的收益-風險Pareto有效面，且采樣周期的選取對相同風險下的收益具有一定的影響，此結論對投資組合理論的進一步研究具有一定價值。

投資組合模型；多目標優化；免疫算法；Pareto有效面

不確定投資組合問題即在瞬息萬變的投資市場環境，如何實時分配有限資金，使投資收益(Return)最大、風險(Risk)最小。早在1952年，Markowitz提出了一種靜態的均值-方差模型(M-V)[1]，該模型使得投資風險首次被量化，奠定了投資組合理論的研究基礎。繼后，大量靜態投資組合模型及其相應的求解算法被提出：Chen等[2]基于直觀模糊優化方法提出了M-V非對稱模糊選擇模型，并利用matlab軟件求解；Huang等[3]引入一種股票scoring機制利用模糊函數計算股票得分，進而對投資組合資產進行排序選擇，獲得一種新的模糊組合模型，并用遺傳算法對模型求解，研究了算法求解模型的有效性；Kawakami等[4]以信息率為目標函數研究了遺傳算法對M-V模型求解的有效性; Mishra等研究了多目標進化算法在金融投資領域中的應用，并以股票投資組合問題為實例研究的算法求解的實用性；Anagnostopoulos等研究了5種著名的多目標進化算法(MOEAS, NPGA2,NSGAII,SPEA2,e-MOEA)對約束M-V模型的求解的優越性。其他參見文獻[5]。

實際上，投資市場的不確定屬性決定了投資組合問題屬一類不確定環境問題，已有的模型均在理想市場環境下獲得的一種靜態優化模型，不能較真實的反應現實中的不確定投資環境，且投資者往往不僅對某一種投資組合感興趣，而希望得到不同時刻的一系列風險-收益的投資組合，此決定了投資組合模型是一類不確定多目標優化問題，不同風險-收益點對構成多目標問題的pareto有效面，已有的數學規劃法均將多目標問題化為單目標問題求解，經過選擇不同權重系數而獲得pareo有效面，算法計算量較大，為了克服此缺點，故需要設計更高級的優化算法。近來，大量的學者論證了遺傳算法對投資組合模型求解的有效性, 但遺傳算法固有的局部收斂特征使得其不適應求解該類復雜NP-hard問題，而免疫算法其群體多樣特性、強探索和開采能力使得其適合投資組合問題的求解，該領域的相關研究在國內外還極為罕見，本研究組近年在該領域已做了部分初步探究，獲得部分成果[6-7]。故文中在Markowitz的M-V模型的基礎上，建立不確定多目標投資組合模型 (DMPM)并利用本研究小組已設計的不確定多目標免疫優化算法 (DMIOA)[8]對模型求解。數值實驗中，選取深滬300的23中股票從2009年1月5日至2009年2月3日3周內日收益率進行實證分析，實驗表明模型的合理性及算法的優越性。

1 不確定多目標投資組合模型

1.1 收益風險函數

對于不確定投資組合問題，取采樣周期為p天，估計t∈Z+時刻的收益和風險，如圖1所示。

圖1 風險和收益的采樣方法示意圖Fig.1 The sample method of risk and return

設市場有n種可交易的風險資產，資產i在t時刻之前 p天的收益率分別為

第i種風險資產t時刻的方差

第ik兩種風險資產t時刻的協方差

設Xi為第i種風險資產的投資比率，則資產i在t時刻前p天的收益分別為

則p天風險資產的期望收益

相應的方差為

1.2 約束條件

因為X為t時刻投資比率，故為了滿足投資者的預算需求，有

一般情況下考慮不允許賣空，則有

投資者在投資的過程中還會考慮到每一種資產的最大和最小投資比率，以便分散投資，即有

式(8)(9)(10)即為Markowitz的均值-方差模型，在此引入投資比率的約束(11)。

由式(8)～式(11)構成一種約束不確定多目標投資組合模型(DMPM)。

2 實證分析

根據所建立的不確定多目標投資組合模型，投資管理者往往希望快速獲得不確定市場環境下分布較好的風險-收益Pareto有效面以供其按自己的偏好作出不同時刻的最優決策，故為了將模型用于實際，獲取2009年1月5日至2009年2月3日發布的深滬300的23種風險資產（深發展A，深能源A，中興通訊，長城電腦，深圳機場， TCL集團，美的電器等）3周內的日收益率(如表1)進行實證分析，由于篇幅的限制，在此僅列出4個時刻的實驗結果。

選取本研究小組已設計的算法DMIOA[13]對所建立的不確定多目標投資組合模型進行求解，算法中參數λ = 0.03，β =2.5，m0= 5，算法的初始群規模N = 80，指定算法所獲Pareto解集的最大規模N0= 80，算法最大迭代數 G = 200。

模型DMPM中參數a1= 0.5,b1= 0.75，以2009年1月5日為初始天，根據式(1)依次獲得1月16日(t=1)，1月19日(t=2)，2月3日(t=8)期望收益率及資產間的方差協方差矩陣，應用算法DMIOA所獲不同采樣周期下不同時刻Pareto有效面為圖2～圖5。

特別指出，DMIOA中環境識別依據下式確定環境t是否存在相似環境

表1 選取深滬23種風險資產3周內日收益率Tab.1 Return rate of 23 assets of Shenzhen and Shanghai stock

表2 不同時刻23種資產的平均收益率Tab. 2 Average return of 23 assets in difference time

圖2～圖5為取不同采樣周期所獲得t由1～4時刻的風險-收益Pareto有效面。首先，對于同一采樣周期，從不同時刻所獲Pareto有效面分析，由圖2獲知，當采樣周期p=5天時，算法在4個時刻均能獲得有效的Pareto有效面，在t=2和t=3兩個時刻算法所獲風險-收益Pareto有效面范圍非常窄，當兩時刻風險分別大于0.6×10-3和0.85×10-3時，不能獲得風險-收益Pareto有效面，特別在t=3時相對于其他時刻在相同的風險下所獲的收益非常低，此由表2可以看出，此時刻資產的平均收益率較低，影響了資產的總投資收益，表2中t=1、2兩時刻資產平均收益率較高，對應于圖2中此兩時刻所獲風險-收益Pareto有效面分布范圍非常廣，此能給投資者更多的選擇余地，此表明算法能根據時間的變化跟蹤不同時刻的Pareto有效面；同樣由圖3～圖5獲相似結論。

圖2 采樣周期p=5時DMIOA在1～4時刻所獲風險-收益Pareto有效面Fig.2 The Pareto-optimal front of risk-return obtained by DMIOA with p=5 form 1 to 4 time

圖3 采樣周期p=10時DMIOA在1～4時刻所獲風險-收益Pareto有效面Fig.3 The Pareto-optimal front of risk-return obtained by DMIOA with p=10 form 1 to 4 time

圖4 采樣周期p=15時DMIOA在1～4時刻所獲風險-收益Pareto有效面Fig.4 The Pareto-optimal front of risk-return obtained by DMIOA with p=15 form 1 to 4 time

圖5 采樣周期p=20時DMIOA在1～4時刻所獲風險-收益Pareto有效面Fig.5 The Pareto-optimal front of risk-return obtained by DMIOA with p=20 form 1 to 4 time

其次，從不同采樣周期分析，由圖2～5獲知，對于同一時間，采樣周期不同，所獲的Pareto有效面不盡相同，由所有圖獲知，對于t=1、2、3、4時，采樣周期p=10天時所獲Pareto有效面較好，對于同一風險下所獲的收益較大(如當風險為0.8×10-3時，采樣周期p=10天在t=1時所獲收益大于0.035，在t=2、3、4時所獲收益均大于0.025，而其他采樣周期下在t=1時收益均小于0.35，在t=2、3、4時收益或小于0.025或比0.025稍大)，且Pareto有效面分布較均勻，而其他采樣周期下稍差，此表明投資組合的收益預測受采樣周期的選取影響。

綜上，算法DMIOA在不同時刻均能獲得相應的風險-收益Pareto有效面，當取不同采樣周期時所獲Pareto有效面效果不盡相同，由實驗可知，當取采樣周期p=10時在不同時刻所獲風險-收益Pareto有效面較好，對于相同的風險下所獲收益較大。

3 結 論

文中考慮實際市場投資環境，建立一種不確定多目標投資組合模型，并用利用不確定多目標免疫優化算法對模型求解，選取23種投資資產歷史數據仿真分析，表明不確定投資組合模型較靜態投資模型更能體現實際投資市場，有利于進一步指導投資者如何選擇恰當的投資市場環境，提高投資效益，對投資組合理論研究提供了新的研究方向。接下來還需進一步考慮其他市場環境，建立更合理的不確定投資組合模型及其求解算法的研究工作。

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[2] Chen GH, Luo Z J, Liao X L. Mean variance skewness fuzzy portfolio selection model based on intuitionistic fuzzy optimization[J]. Procedia Engineering, 2011(15):2062-2066.

[3] Huang C F, Chang C H,. Chang B R,et al. A study of a hybrid evolutionary fuzzy model for stock selection[C] //2011 IEEE International Conference of Fuzzy Systems, Taipei,2011:210-217.

[4] Kawakami A , Orito Y, Inoguchi M , et.al. Dynamic asset portfolio optimization by using genetic algorithm[J]. Information and Systems, 2009 ,129(7):1348-1355.

[5] Zheng J.G, Zhou L.Multi-objective model for uncertain portfolio optimization problems[J]. International Journal of Advancements in Computing Technology,2011,3(8):138-145.

[6] 錢淑渠, 武慧虹. 約束多目標投資組合模型及其求解算法研究[J]. 計算機仿真.2011, 28(10): 389-392.

QIAN Shu-qu,WU Hui-hong. Study of constrained Multiobjective Portfolio model and solving algorithm[J]. Computer Simulation, 2011, 28(10):389-392.

[7] 錢淑渠, 武慧虹. 動態環境模糊投資組合模型求解研究[J]. 安順學院學報, 2012, 14(1):114-117.

QIAN Shu-qu, WU Hui-hong. Fuzzy portfolio model and solving in dynamic environment[J]. Journal of Anshun University, 2012,14(1):114-117.

[8] 錢淑渠, 張著洪. 動態多目標免疫優化算法及性能測試研究[J]. 智能系統學報, 2007,2(5):68-77.

QIAN Shu-qu, ZHANG Zhu-hong. Dynamic multi-objective immune optimization algorithm and study on performance Test[J].CAAI Transactions on Intelligent Systems, 2007,2(5):68-77.

Study of uncertain environment multi-objective portfolio model and solving algorithm

QIAN Shu-qu, HAN Yan-fei, LI Xiao-li
（School of Mathematics and Physics Science, Anshun University, Anshun 561000,China）

A uncertain multi-objective portfolio model that based on Markovits mean-variance model is proposed,which considers the time-changing nature of the problem emerges from the fact that market conditions and asset performance change continuously, the model unit of time in days, the return rate and variance are obtained by predetermined sampling period. the existing immune optimization algorithm for dynamic multi-objective empirical is used to analysis the performance of the model, Selecting the actual data of 1-2 months transaction of the 23 kinds of assets of Shanghai and Shenzhen 300 in 2009, results show that: the algorithm can track the dynamic Pareto efficient frontier, and the return is effected by the sampling period, the conclusion of the experience has a certain reference value for further theory research of portfolio.

portfolio model; multi-objective optimization; immune algorithm; Pareto efficient frontier

TN911.2

A

1674-6236(2014)14-0013-04

2014-03-17 稿件編號：201403172

貴州省科學技術基金項目資助(黔科合J字[2012]2002號)；安順學院SRT項目資助(2013SRT03)

錢淑渠(1978—)，男，安徽樅陽人，碩士，副教授。研究方向:智能優化算法、數學建模。