用于數字D類放大器的雙邊PWM調制模塊

史龍飛，樊養余，呂國云，袁永金，黃伯驊

（西北工業大學 陜西 西安 710129）

用于數字D類放大器的雙邊PWM調制模塊

史龍飛，樊養余，呂國云，袁永金，黃伯驊

（西北工業大學 陜西 西安 710129）

文中介紹了一種雙邊PWM調制的數字D類放大器調制模塊，使用偽自然采樣法消除諧波失真。該偽采樣算法是將牛頓-拉夫森迭代法和多項式逼近法相結合而形成的。近年來，雖有較多關于前沿PWM調制（LEPWM）和后沿PWM調制（TEPWM）的數字D類放大器的文獻，但基于雙邊PWM（DEPWM）調制的數字D類放大器方面的文獻較少。因此本文利用現有的 噪聲整形技術，基于牛頓-拉夫森迭代法的偽采樣算法等實現了一種用于數字D類放大器的雙邊PWM調制模塊，并使用FPGA搭建了一個24位立體聲數字音頻D類放大器調制系統。經測試，該調制系統THD+N@6 kHz性能達到-80.5 dB。

數字D類放大器；偽采樣PWM調制；雙邊PWM調制；牛頓-拉夫森迭代法；FPGA

數字D類放大器中PWM調制方式分為單邊調制（SEPWM）和雙邊調制（DEPWM），兩種調制方法均有不同程度的諧波失真，但雙邊調制較單邊調制來說具有更小的奇次諧波失真，并且不包含載波的諧波和偶次諧波。然而由于數字D類放大器中的數字PWM調制方式使得調制后的PWM信號的諧波失真大大增加，為了減少諧波失真，需要使用偽自然采樣（PNPWM）的方法來逼近自然采樣PWM（NPWM），并要依據PWM調制方式制定一定的偽采樣算法降低諧波失真。

單邊PWM調制只有一個調制邊沿，計算過程較為簡單，因此有較多調制方法提出[1-3]，而雙邊PWM調制具有兩個調制邊沿，不能簡單按照單邊PWM調制的過程來進行調制。單邊PWM調制的偽采樣算法也不能直接被用做雙邊PWM調制，∑Δ噪聲整形技術的使用也與單邊PWM調制不同。因此，文中介紹了一種基于偽自然采樣算法的雙邊PWM調制模塊。

1 雙邊PWM調制

如圖 1，圖中 c（t）為三角載波，x（t）為被調制信號，y（t）為調制后的PWM信號。雙邊PWM調制和單邊PWM調制區別在于雙邊PWM調制的載波為三角波，具有兩個調制邊沿，調制出的PWM信號的兩個邊沿均隨信號的變化而變化；而單邊PWM調制由于其載波為鋸齒波，有一個邊沿垂直于軸，因此其調制出的PWM信號同樣有一個邊沿固定，而另外一個邊沿隨著信號的變化而變化。因此，雙邊調制較單邊調制來說具有更小的奇次諧波失真，并且不包含載波的諧波和偶次諧波。

依據[4]的結論，雙邊自然采樣PWM（NPWM）的頻譜可以分解為兩個單邊NPWM的頻譜之差，如式（1）：

圖1 單邊和雙邊PWM調制Fig.1 Single-edge and double-edge PWM modulate

式中，pDE，pLE和 pTE分別為 DEPWM，LEPWM 和 TEPWM信號。如圖2所示，DEPWM可以分為兩個TEPWM信號，一個由信號和三角波的上升邊沿交點決定寬度，另一個由信號和三角波的下降邊沿交點決定寬度，最終的DEPWM信號為兩個PWM信號之差。

圖2DEPWM生成圖示Fig.2 DEPWM generation diagram

在生成PWM信號之后，將PWM信號通過低通濾波器（LPF）濾除超出音頻范圍的頻率成分。該過程可以用下面的式子表示：

從式（2）可以看出低通濾波器在DEPWM的兩個∑Δ部分上均有作用，且相互獨立。因此可以分別使用兩個調制器對DEPWM的兩個部分進行噪聲整形，將降低數據位寬造成的量化噪聲推移至音頻頻帶以外。

為了生成DEPWM信號，首先需要產生兩路連續的采樣數據，這兩路數據為一個調制周期內 c（t）和 x（t）的兩個交點，設為向量xk，該數據應為經過PNPWM模塊調整過后的數據。然后分別對兩路信號進行∑Δ噪聲整形，設生成的低位寬的信號向量為yk。假設∑Δ調制器階數為n，那么生成的信號在z域的表達式為：

其中Ek（z）為量化誤差在z域的表示。

然后，信號經過 PWM 發生器，將所有成分（pe（t），po（t））轉換成為 PWM 信號。 而兩個信號成分的差值 pDE（x（t））=pe（t）-po（t）即為最終的DEPWM信號。DEPWM信號在時域可以表示為：

其中 ee（t）和 eo（t）分別為兩路信號的量化誤差。 和式（4）對應的信號z域表達式為：

其中pDE（z）為最終DEPWM信號的z域表達式。由此可以看出分別使用兩路調制器能夠將正確的傳遞原始的DEPWM信號頻率成分，并且將量化噪聲推移至音頻頻帶外，經過低通濾波之后能夠還原為輸入信號。

2 基于牛頓-拉夫森迭代法的偽采樣算法

第一部分已經敘述了從∑Δ噪聲整形到產生DEPWM信號的相關內容，而∑Δ噪聲整形模塊需要輸入信號，該輸入信號可以直接使用過采樣之后的信號，但是由于數字信號在單個脈沖周期中保持不變，因此會產生較大的諧波失真[5]。為了消除該諧波失真，普遍采用偽自然采樣的方法去模擬自然采樣，使數字PWM調制器能夠接近模擬PWM調制器低諧波失真的性能。本文利用牛頓-拉夫森迭代法和多項式逼近法實現了一種偽自然采樣算法。該算法在一個PWM脈沖周期內使用多項式逼近法近似求出輸入信號的表達式，然后使用牛頓-拉夫森迭代法求出信號和載波的交點，由于載波具有兩個調制邊沿，因此需要分別計算信號和載波兩個調制邊沿的交點。求出交點后，如第一部分所述，將經過偽采樣調整之后的數據分別送入兩個∑Δ調制器，最后經過PWM發生器即可得到最終的DEPWM信號。與用于單邊PWM調制的為采樣算法不同的是，用于雙邊PWM調制的單個脈沖周期跨越兩個采樣周期，因此雙邊PWM調制對原始信號的插值倍數較單邊PWM調制要多一倍。

如圖 3 所示，輸入信號為 in（t），載波信號為 cw（t），單個脈沖周期區間為t0～t2。偽采樣算法則要求輸入信號in（t）和載波信號 cw（t）的交點，該問題可以轉化為求方程 f（t）=cw（t）-in（t）=0的根，假設根為tr。因為能夠獲得的數據僅為離散的采樣點，無法求得方程真正的根，只能求得方程根的逼近值，本文采用牛頓-拉夫森迭代法進行逼近計算。

假設時間軸的間隔為1，即t1-t0=1，載波幅度為-1到1，則載波兩邊的斜率的絕對值均為2，那么t0～t1之間的載波可以表示為，cw（t）=-2t+1，t1～t2之間的載波可以表示為，cw（t）=2t-1。首先，為了逼近方程f（t）的根，需要一個方程根的預測值作為迭代的初值，為了使得最終迭代結果精確，使用兩個采樣點連線和載波的交點作為迭代的初值，設為ta。在t0和t1之間，ta的值可以表示為：

然后在ta處使用一次牛頓-拉夫森迭代，得到te，即為較為精確的對tr值的逼近：

式中te的為對方程 f（t）根的估計，即較為精確的對tr值的逼近。將te帶入載波方程cw（t）即可求得信號和載波的交點處的幅值。

圖3 雙邊PWM調制偽自然采樣算法圖示Fig.3 Pseudo natural sampling for double-edge PWM modulation

但是式（7）中的 in（t）和 in′（t）均為未知，因此需要對輸入信號進行擬合，得到其近似的數學表達式。為了使計算過程不會過于復雜，這里使用三階的插值多項式逼近，使用4個采樣點作為參考點進行計算。假設逼近得到的信號表達式及其一階微分為 i＾n（t）和 i＾n′（t），方程式 f（t）對應的逼近表達式及其一階微分為f＾（t）和f＾′（t）。 它們可以表示為：

式（8）和式（9）中的多項式系數 ci（i∈{-1，0，1，2}）可以通過將已知采樣點的值帶入上面的式子中進行計算。可以得到：

至此，將 ta帶入式（8）和式（9）即可得到 f（ta）和 f′（ta）的近似值，最終依據式（7）得到方程根的逼近值te，將te帶入載波方程cw（t）即可得到交點處信號的幅值。

以上列出了在t0～t1之間（載波三角波的下降邊沿）的計算過程，而在t1～t2之間（載波三角波的上升邊沿），重新計算系數ci的值，將新的載波方程cw（t）以及信號方程的逼近值帶入上述計算過程中即可得到方程根的逼近值，計算過程相似，這里不在贅述。

3 雙邊PWM調制模塊

3.1 調制模塊的數值仿真

為了驗證調制模塊的性能并確定模塊的參數，本文首先使用MATLAB進行了數值仿真。圖4為構建的調制模塊輸出頻譜仿真結果（輸入信號：6 kHz正弦波），由圖可見調制模塊產生的諧波失真和量化失真處在相同的水平上，不能被明顯區分開來，模塊的THD+N達到-90 dB。

圖4 調制模塊輸出頻譜仿真結果Fig.4 Spectrum of modulator’s simulation result

3.2 調制模塊的硬件實現

本文構建的雙邊PWM調制立體聲音頻數字D類放大器調制模塊，使用Altera公司的Cyclone IV E（EP4CE30F23C6N）器件配合前端數字同軸接收模塊和后端低通濾波器模塊實現。前端模塊主要包含數字同軸接口以及解碼芯片（CS8416），解碼后的數據使用I2S串行音頻接口送至FPGA，FPGA在接受到數據后進行音量控制、過采樣、調制以及DEPWM調制，將調制過后的PWM信號輸出至后端的模擬低通濾波器進行低通濾波器，還原為輸入信號。模塊主要使用Verilog語言編寫，使用FPGA內部的DSP硬核作為乘法器的實現資源，FPGA的通用I/O口作為串行音頻輸入口和PWM信號的輸出口。

該調制模塊能夠處理48 kHz采樣率的24位立體聲信號。調制模塊中音量控制能夠對輸入數據的大小進行調節，并能夠實現防止輸入飽和的作用。過采樣部分實現了16倍過采樣，采用了4級半帶FIR濾波器的結構。調制模塊的偽采樣部分采用如圖3所示的方法實現了雙邊偽采樣。噪聲整形部分使用兩個5階調制器來實現，量化精度為5位。PWM發生器部分使用計數器實現，工作于24.576 MHz時鐘頻率下，輸出PWM信號的脈沖重復頻率為384 kHz。

偽采樣部分中，由于牛頓-拉夫森迭代法涉及到較多的乘法操作，因此使用單個乘法器，按照高頻時鐘進行分時計算，以降低邏輯資源的消耗。同時將迭代法的計算過程進行化簡[6]，減少計算過程中重復的乘法運算，降低邏輯資源的消耗。

3.3 調制模塊的性能測試

本文搭建了一個由PC機，數據采集卡以及該調制模塊組成的測試系統。使用PC端生成6 kHz的正弦波經由數字同軸輸出，經過調制模塊之后，使用高速數據采集卡對模擬低通濾波器的輸出進行采樣，將得到的數據在MATLAB中進行分析，得到模塊的性能指標。

圖5所示的為對采集卡得到的數據進行頻譜分析得到的頻譜圖。由圖可知，調制模塊輸出的PWM波正確包含了輸入的正弦波（6 kHz）信息，達到了調制的目的。但是由于電路的開關瞬態效應、FPGA的通用I/O口的電平轉換速度以及模擬低通濾波器的諧波失真等非理想因素，與圖4的仿真圖比較起來，包含了更多的噪聲和諧波失真。由圖5可以看出，調制模塊引入了2次和3次諧波失真，但其幅度均在-80 dB以下。從圖中也可以看出由于量化產生的噪聲被調制器推移至20 kHz以上，在音頻頻帶內本底噪聲達到了-100 dB左右。調制模塊的THD+N在6 kHz達到了-80.5 dB，說明該雙邊PWM調制模塊能夠有效的抑制調制中產生的諧波，但是模擬濾波器明顯增加了二次和三次諧波，同時本地噪聲也有所增加。

圖5 模擬低通濾波器輸出頻譜Fig.5 Spectrum of LPF's output

4 結 論

文中實現了一種用于數字音頻D類放大器的雙邊PWM調制模塊，使用牛頓-拉夫森迭代法和多項式擬合法相結合的偽自然采樣算法，并通過兩個∑Δ調制器進行噪聲整形，最終使用PWM發生器產生雙邊PWM信號。并基于FPGA構建了一個立體聲24位數字音頻D類放大器調制模塊，實現了從數字同軸輸入至模擬低通濾波器輸出的功能。通過高速數據采集卡采集輸出，分析后得到調制模塊的THD+N@6 kHz達到-80 dB。證明了該雙邊PWM調制模塊的有效性，但PWM輸出端口的高低電平轉換特性以及模擬低通濾波器的濾波特性也同樣制約著數字D類放大器的性能。

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Double-edge PWM modulator for digital class-D amplifiers

SHI Long-fei， FAN Yang-yu， LV Guo-yun， YUAN Yong-jin， HUANG Bo-hua
（Northwestern Polytechnical University， Xi’an 710129， China）

This paper introduced a double-edge PWM modulator for digital class-D amplifiers，which used pseudo sampling algorithm to reduce the harmonic distortion，the pseudo sampling algorithm is based on Newton-Raphson method and polynomial approximation method.Although many works about single edge PWM modulation scheme have been done recently，but little work are reported on the design of the DEPWM based digital audio amplifier.In this paper we applied a double-edge PWM modulator for digital class-d amplifiers，using well known noise shaping technology and pseudo sampling algorithm.Also， a 24-bits stereo digital class-d amplifier’s modulation module was implemented based on FPGA.After testing， the THD+N@6 kHz of this module has reached-80.5 dB.

digital class-D amplifier； pseudo nature PWM modulation； double edge PWM modulation； Newton-Raphson method；FPGA

TN402

A

1674-6236（2014）15-0112-04

2013-10-27 稿件編號：201310207

陜西省科學技術研究發展計劃項目（2012K06-10）；華為公司創新研究計劃項目（YJCB2011062RE）

史龍飛（1989—），男，河南新鄭人，碩士。研究方向：物理電子學、高速數字信號處理。