基于變步長模式搜索法的輪胎縱向剛度估計算法研究

彭 瑾，黃元峰

（武漢工程大學 電氣信息學院，湖北 武漢 430000）

根據汽車胎壓的監測原理分類，主要有有直接式和間接式兩種[1]。

直接式具有測量數據實時性較高的特點，但同時也有電池壽命短，無限收發端容易受到其他電子信號的干擾，以及安裝更換繁瑣等缺點。

對于間接式胎壓監測技術，就不存在上述問題，因此，我們認為如果能將間接式監測技術的監測精度不高的這一問題攻克，那么在未來，間接式監測技術將更有市場前景[2]。

文中采用汽車自帶的ABS輪速傳感器的信號來計算車速，并利用此信號與輪胎的數學模型相結合，采用模式搜索法可以較準確的估計出輪胎縱向剛度這一參數，進而可以判斷胎壓的異常情況。

輪胎的縱向剛度是輪胎的基本力學參數，在研究輪胎縱向振動、牽引力、制動力及胎壓監測時有重要意義。Chistopher.R.Carlson等的研究表明，輪胎氣壓降低10%，輪胎縱向剛度將增加20%，即輪胎縱向剛度可較明確地反映輪胎氣壓變化。文中通過建立輪速與輪胎縱向剛度之間的關系，只需采集ABS輪速傳感器信號，并采用基于變步長模式搜索的方法對輪胎縱向剛度進行估計，最終實現利用輪胎縱向剛度對輪胎氣壓變化的間接監測。

1 輪胎縱向剛度估計模型

“魔術公式”是汽車操縱動力學研究中較流行的公式，它采用特殊三角函數多項式來近似輪胎縱向摩擦力與縱向滑移率、側向摩擦力與側滑角以及回正力矩與側滑角之間的數關系[2]。

圖1 魔術公式輪胎模型的力-滑移率曲線Fig.1 Curve of force and slip rate based on the magic formula

圖1是“魔術公式”輪胎模型典型的力-滑移率曲線，從圖中可以看出，當輪胎滑移率在3%以內時，力和滑移率兩者之間是近似線性關系。而汽車正常行駛時，輪胎滑移率很少超過1%～2%，因此，在這個線性區域，兩者之間的關系可以描述為下面的線性形式

式中，F——輪胎所受的縱向力；CX——輪胎的縱向剛度；S——輪胎的滑移率。

根據SAE的定義，滑移率為

式中，V——輪胎中心的速度；R——輪胎的滾動半徑；ω——輪胎的角速度。

綜合（1） （2）兩式，得

從式（3）可以看出，如果能求得汽車行駛時的受力情況F，汽車運動時的速度V，以及輪胎旋轉的角速度ω，則等式兩邊剩下的未知參數只有R和Cx了。

顯然，F可以根據汽車動力學方面的知識將汽車受力情況進行分析，求出各種性質的分力，進而易求得總體受的合力情況[3]。而角速度ω可以利用ABS系統中的輪速傳感器測得，只需經過一定信號處理手段即可采集得到角速度信號，而V則可由角速度ω間接求出。

根據系統辨識理論結合最優化方法理論的知識，可以估計出R和Cx這兩個未知參數，而這兩個參數均和輪胎胎壓有關，可以反映輪胎氣壓的變化情況。

對每個驅動輪來說，它受到的驅動力Fq應該為汽車所受驅動力的一半，即

根據汽車行駛方程，這里Ft即汽車的驅動力。

式中Ff——滾動阻力，Ff=mf，m，f分別為汽車總質量和滾動阻力系數；Fw——空氣阻力；Fi——坡度阻力；Fj——加速阻力；Fj=ma，a為汽車行駛加速度

其中

CD——空氣阻力系數；A——迎風面積；V——汽車行駛速度。

由式（3）（4）（5）可得

則式（6）可以簡化為

對于任一種特定的車型，CD，A，m均為已知參數，所以這里我們只需要通過測取車輪轉速信號w，即可求得車速V，加速度a，然后即可估計出參數R和Cx，最后，根據汽車工程理論中的輪胎縱向剛度Cx與輪胎氣壓成反比的關系即可判斷胎壓的異常情況。

2 模型參數計算方法

2.1 車速計算方法

車速的求取本文這里打算采用最大輪速法，該方法是在汽車行駛和制動防抱調節過程中，把所采集的4個車輪輪速的最大值作為參考車速。優點是無須路面識別，計算簡單，考慮到本文所研究對象的正常工作狀況下，基本上都處于常速直線行駛狀態，而且路況基本都屬于市區道路，因此，這種方法完全可以適用于本文的研究對象。

根據最大輪速法，車輪的轉速等于4個車輪中轉速最大的值，即

再由轉速可以求出車速V

其中f是ABS輪速傳感器輸出的信號頻率，Z是齒輪的齒數，R為車輪的半徑。

2.2 加速度a的求取

根據加速度的差分方程定義，

按照上面介紹的求取v的方法求取兩個檢測時點的車速，并記錄兩次檢測的時間差，即可求得a。

3 輪胎縱向剛度的估計

目前，國內對輪胎縱向剛度的估計這方面研究較少，而且在現有的研究成果中采用的是都是基本模式搜索法（Pattern search method，PSM），這種算法雖然不需考慮初始搜素點和梯度計算的問題，但是同時也有搜索精度不高的缺陷，采用此種算法的系統時有對結果進行誤報警的情況發生。針對此技術缺陷，本文提出了一種新的變步長的模式搜索法（Variable step-length pattern search method， VSLPSM）來估計輪胎縱向剛度這一關鍵參數，并將此算法與之前普遍采用的基本模式搜索法（PSM）進行對比，并在文章最后給出了兩者的估計流程和仿真結果對比的示意圖，從對比的結果可以得知，改進后的算法較之前的基本算法在精度方面有了較大提高，這對輪胎氣壓監測報警系統來說可以減少誤報。

3.1 采用基本模式搜索法

記 E=ma，T=（w，V），B=（Cx，R）， 則可以簡化為 E=f（T，B），因此可以建立對B進行估計的目標函數

采用基本模式搜索法的估計流程圖如圖2所示。

3.2 采用改進的變步長模式搜素法

3.2.1 變步長的模式搜索法介紹

圖2 采用基本模式搜索法的估計流程圖Fig.2 Estimation flow chart using basic pattern search method

常規的模式搜索法在進行探測移動時，優先考慮點（ti+aei），再考慮點（ti-aei），這對于一般情況沒有太大影響。但是如果搜索點ti為函數局部極大點時，這樣的做法就可能導致探測移動選取了次優點（ti+aei）而舍棄了更優點（ti-aei）。如圖3所示，若點A為搜索點，按照常規的模式搜索法則會優先考慮B點而放棄更優點C點?；诖朔N缺陷，本文在這里提出一種改進的變步長模式搜索法，其基本思想是，在探測選點時，首先將B點和C點處的函數值進行比較，再進行較優點的選擇，這樣可以從搜索機制上避免較優點被遺漏，在整個搜索過程中更容易搜索到近似最優解[4]。

圖3 搜索點示意圖Fig.3 Brief graph of search points

常規的模式搜索法在一個探測模式迭代周期內步長都是相對不變的，在模式移動后才進行步長的調整。但是考慮到函數值在各個方向上的差異，各方向的步長可根據實際情況做變動。此外，借鑒模擬退火的思想，隨著搜索越來越接近最優點，加速因子可相應減小。

基于上述考慮，為了提高算法的收斂速度和精度，本文在模式搜索法的基礎上作出改進，提出一種新的變步長模式搜索法。

3.2.2 變步長模式搜索法應用于輪胎縱向剛度的搜索

1）選擇初始點 x（1）=（Cx，R），初始步長（jump1，jump2）＞0，步長增加率 λ＞1，步長縮減率 β∈（0，1），加速因子 δ≧1，置精度要求 ε，置 y（1）=x（1），搜索循環步數 r=1。

2）對于 i=1，2，進行以下工作：

①如果

③否則，置 y（i+1）=y（i）

3）如 果 Q（y（3））＜Q（x（r）），則 令 x（r+1）=y（3），y（1）=x（r+1）+δ*（x（r+1）-x（r）），jump=jump*λ， 置 r=r+1，轉第 2）步。

4）若 y（1）≠x（r），則置 y（1）=x（r），轉第 2）步。

5）若 jump（i）＜ε，i∈[1，2]，則停止計算，輸出 x（r）為近似最優解；否則置jump=jump*β，轉第2步。

經過這種改進后的算法，步長jump不再是一個數字，而是一個n*1維的向量，其中每一個分量在剛開始時是相同的初始值，但進行若干次的沿坐標探測的動作之后，會根據函數值的大小而相應的變大或變小，在進行模式移動后，各個坐標分量方向上的步長會相應的同步變化。

因此，這種改進后的模式搜索法雖然較傳統的模式搜索法運算量變大了，但是對于最終估計結果的準確性卻有很大的提升，具體算法的流程圖如圖4所示。

圖4 變步長模式搜索法的運算流程圖Fig.4 Flow chart of estimation using VSLPSM

4 輪胎縱向剛度的估計結果

本文使用奇瑞QQ0.8汽車作試驗車，保持其他輪胎氣壓為標準氣壓（207kPa）的情況下，改變左前輪輪胎氣壓，分別按標準氣壓、低于標準氣壓20%、低于標準氣壓30%變化，利用DEWE-2010PC數據采集系統分別采集各車輪的輪速信號用以計算車速及估計加速度，最終估計得出氣壓變化時輪胎的縱向剛度值。

這里，我們分別采用傳統的模式搜索法及經過算法改進的變步長模式搜索法進行兩組實驗分析。

4.1 采用傳統模式搜索法估計縱向剛度

采用此種估計方法，我們通過對三十組實驗數據的分析估計得到在不同胎壓情況下的縱向剛度估計結果，如圖5～圖7所示。

圖5 標準胎壓情況下縱向剛度的估計結果Fig.5 Estimation result in standard tire pressure

圖6 胎壓為標準胎壓的80%時的縱向剛度估計結果Fig.6 Estimation result in 80%standard tire pressure

圖7 胎壓為標準胎壓的70%時的縱向剛度估計結果Fig.7 Estimation result in 70%standard pressure

4.2 采用變步長模式搜索法估計縱向剛度

采用此種估計方法，我們通過對三十組實驗數據的分析估計得到在不同胎壓情況下的縱向剛度估計結果，如圖8～圖10所示。

圖8 標準胎壓情況下縱向剛度的估計結果Fig.8 Estimation result in standard tire pressure using VSLPSM

5 仿真結果對比分析

圖9 胎壓為標準胎壓的80%時的縱向剛度估計結果Fig.9 Estimation result in 80%standard tire pressure using VSLPSM

圖10 胎壓為標準胎壓的70%時的縱向剛度估計結果Fig.10 Estimation result in 80%standard tire pressure using VSLPSM

從分別采用了基本模式搜索法和變步長模式搜索法這兩種算法的仿真估計結果來分析，再結合本文前面提到的輪胎縱向剛度與胎壓近似成反比關系這個理論，假設此款輪胎的標準胎壓為207KPa，標準胎壓下對應的標準縱向剛度值為5.0×106（N/m），在胎壓下降20%左右的情況下，輪胎縱向剛度理論上應該為7.0×106（N/m），在胎壓下降30%左右的情況下，輪胎縱向剛度理論上應該為8.0×106（N/m）。

下面表1和表2分別列出了采用兩種搜索算法的結果和理論真值的比較以及誤差率的情況。

表1 采用PSM算法的輪胎縱向剛度估計結果Tab.1 The result of estimation of tire longitudinal stiffness by PSM

表2 采用VSLPSM算法的輪胎縱向剛度估計結果Tab.2 The result of estimation of tire longitudinal stiffness by VSLPSM

6 結 論

由表1和表2的分析可見，相同輪胎氣壓下，雖然采用基本模式搜索法對輪胎縱向剛度進行估計可以達到較好的一致性，但精度方面卻不太理想，而VSLPSM算法比PSM算法在估計精度方面有了較大幅度的提升，同時也能保持估計結果的一致性，在仿真所假設的幾種情況下，基本可以將估計誤差控制在百分之十以內。不同輪胎氣壓下，輪胎縱向剛度估計值差別較為明顯，可以清晰地反映輪胎氣壓的變化。

因外，經過改進后的變步長模式搜索法相比傳統的模式搜索法，在參數估計的準確性方面更占優勢，能搜索到更接近真值的最優點。

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