自動空中加油桿LQR控制器設計

高久安，賈秋玲

（西北工業大學 自動化學院，陜西 西安 710129）

空中加油技術在60年代得以大規模應用，其對提高空中力量的裝備水平、決定戰爭的勝負有重要意義和關鍵作用。伸縮管加油裝置是硬管式空中加油系統的核心部件，伸縮管控制系統必須保障加油過程的安全性、加油對接的可靠性及加油對接和加油過程伸縮管能穩定運動的性能[1]。Eunyoung Kim[2]等提出了一種受油機與加油機關聯控制技術，該技術能夠很好的解決加受油過程中的飛機運動控制問題，但仍然是針對飛機層面的控制設計，無法指導伸縮管控制系統設計。清華大學的胡亞峰[3]等對空中加油的遞推模型與調度策略進行了研究，總結出了適用于空中加油調度模型解算的合理算法，上述研究工作屬于空中加油空域管理的范疇，未涉及空中加油核心技術問題。中航第一飛機設計研究院的黑文靜[4]等完成了對伸縮桿解耦控制的研究，首先建立加油桿的數學模型，結果表明伸縮桿是一個多輸入多輸出、耦合、非線性系統，當系統滿足可解耦條件時，采用一種非線性反饋線性化的微分幾何方法，輸出與等效新輸入之間呈現線性微分方程關系，選擇合適的反饋形式可使伸縮桿的姿態控制解耦。然后在MATLAB中建立了伸縮桿及其解耦模型，并進行了仿真研究。結果表明該解耦方法很好地消除了系統間的耦合作用

本文通過對國內外關于硬式空中加油研究成果的總結，先建立了加油桿的數學模型，推算出其狀態空間方程，然后進行硬式空中加油桿的控制方法研究。根據加油桿模型的結構特點，設計了線性二次型最優控制律。最后仿真結果表明，該控制律下的系統響應穩定，對于實際應用有一定的參考價值。

1 硬式空中加油桿動力學模型

1.1 加油桿縱向力矩分析

根據加油桿坐標系進行受力分析，縱向力矩分別有重力引起的Mp1，尾翼的兩個舵面引起的Mp2，本身氣動力引起的Mp3，姿態變化引起的附加力矩Mp4。下列各式中，G表示加油桿重力，φ，θ分別表示滾轉角和俯仰角，|OG|表示桿重心到節點的距離，ρ表示大氣密度，vx表示飛機飛行速度，S表示尾翼舵面面積，C1，C2，C3分別表示升力系數，阻力系數，加油桿本體阻力系數，ψ表示舵面同對稱面的夾角，|OO1|表示舵面氣動力焦點到節點的距離，δe1表示順航向左邊舵面的偏角，δe2表示順航向右邊舵面的偏角，S1表示加油桿本體底面面積，M表示總力矩，J表示加油桿的轉動慣量。

由動力學方程可得：M=J·θ¨，取某一平衡狀態（θ0，δe10，δe20，φ0，θ˙0）作為工作點，在該工作點小范圍內，可將加油桿的運動近似為線性運動[5]可得：

（2）式中 Mp=Mp1+Mp2+Mp3+Mp4

作拉式變換并整理的：

1.2 加油桿橫側向力矩分析

橫側向力矩分別有重力引起的Mr1，尾翼的兩個舵面引起的Mr2，加油桿本體所受氣動力引起的Mr3。

同理，在工作點小范圍內，可將加油桿的運動近似為線性運動，拉式變換整理得：

（5）式中 Mr=Mr1+Mr2+Mr3+Mr4

2 加油桿傳遞函數

參考前面的方程組并結合加油桿某工作點的狀態和加油桿自身參數，該工作點處加油桿的狀態如下：

可計算得加油桿的狀態方程如下：

俯仰角θ和滾轉角φ對舵面的傳遞函數分別為：

分析其零極點特性可知對于俯仰角，極點非常接近虛軸，系統動態性能不好。對于滾轉角，極點位于虛軸，系統也會處在振蕩狀態，系統響應曲線如圖1。所以需要加入反饋，利用線性二次型最優控制來優化該模型的系統的階躍響應。

圖1 未加控制時系統的響應曲線Fig.1 System response curve without control

3 LQR控制器設計

最優控制實際上是指在某個性能指標下的最優控制，線性二次型最優控制就是被控對象為線性系統，性能指標是二次型泛函指標的最優控制問題[6-8]。

在前一節中介紹了硬式空中加油桿在θ=30°，φ=0°時的狀態方程，根據實際工程需要，可設計無限長時間狀態調節器。針對該系統的陣A和B陣，有：

易知系統可控，可以對系統設計無限長時間狀態調節器。令加權矩陣：

由黎卡提代數方程：

加入反饋矩陣后，系統的響應曲線如圖2，3所示，對比未加控制器之前的系統，加入了最優控制之后，系統變得穩定了。

由圖2和3可知，加油桿舵面先后偏轉一定角度，即在5秒和15秒的兩次輸入給入以后，俯仰角和滾轉角會在2秒左右達到穩定，且超調也在很小的范圍內，俯仰角速度和滾轉角速度也比較小，線性二次型最優控制的控制效果較為理想。

圖2 線性二次型最優控制輸出響應曲線Fig.2 Output response curve under linear quadratic optimal control

圖3 線性二次型最優控制輸出響應曲線Fig.3 Output response curve under linear quadratic optimal control

4 結 論

文中建立了加油桿的數學模型并推算了其狀態空間方程，采用了線性二次最優控制器的設計，利用simulink搭建加油桿線性二次型最優控制仿真模塊框架，且得到了較為理想的仿真結果，保證了系統良好的動態性能，從而實現了與受油機精確對接的目的，對于實際應用有一定的參考價值。

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