一種新型球面并聯分選機構運動學研究

趙曉龍+赫東鋒+張君安+林琳

摘要： 提出一種新型3自由度并聯機構來解決LED分選機的高速分選問題。首先研究了該機構自由度，該機構能提供3個方向上的純轉動；再結合自由度性質分析，建立了約束方程，進行運動學的正反解分析；使用Newton迭代的方法求得各位置點具體的運動參數，并分析了求解過程中的多解問題，及相關處理方法，最后給出相應的算例。通過實例分析數據可知：隨著執行機構目標位置的變化，能實時求解出個各曲柄相對于基座的轉角，且當2個曲柄轉角增大時，第3個曲柄轉角一定減小，符合實際的運動規律。

關鍵詞： 并聯機構； 并聯機器人； 3自由度； 運動學分析

中圖分類號： TN911?34； TH112文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）08?0005?04

Kinematics research of new spherical parallel sorting mechanism

ZHAO Xiao?long1， HE Dong?feng1， ZHANG Jun?an1， LIN Lin2

（1. College of Mechanical and Electrical Engineering， Xian Technological University， Xian 710000， China；

2. Shenzhen Hi?Text of semiconductor equipment co.， Ltd， Shenzhen 518000， China）

Abstract： A new 3?DOF （degrees of freedom） parallel mechanism is proposed in this paper to solve the sorting problem of LED high?speed sorter. DOF of the parallel mechanism is studied first in this paper. The parallel mechanism can provide pure rotation in three directions. In combination with DOF properties analysis， a constraint equation is established to analyze the kinematics pros and cons solutions. The Newton iteration method is used to solve the motion parameters at each location point， and analyze the problem of multiple solutions and the related treatment methods in the actual motion control. The corresponding numerical examples are offered. The example analysis data shows that， with the change of executive body target position， the each crank turning angle relative to the base can be calculated， and when the turning angles of two cranks increase， the turning angle of the third crank must decreases. It is in line with the actual motion law.

Keywords： parallel mechanism； parallel robot； three degrees of freedom； kinematic analysis

目前，常用的分選機構大多采用串聯方式，串聯機器人因其具有構型簡單、工作空間大、操作性好、正向運動學易求解等優點在工業得到了廣泛應用[1]，但針對LED分選機而言，高速，高穩定性，高剛度是工業應用的必然要求。串聯機器人剛性差、存在誤差積累、剛度和負載驅動能力差等系列不足[2]，進一步制約了串聯機器人的工業應用，故提出一種并聯機構（又稱并聯機器人）來解決LED分選機高速分選的問題。

并聯機構的研究從提出，一直是一個研究熱點，比較著名的有Stewart機構，Stewart機構是用作飛行器仿真器的六自由度的并聯機構[3]。在國內，燕山大學黃真教授等于 1991 年研制出了我國第一臺6自由度并聯機器人[4]。3自由度并聯機器人是少自由度并聯機器人研究的主要對象，在現有的3自由度并聯機器人中，有著名的DELTA和STAR并聯機器人，3?RPS并聯機器人等。

本文提出的3?RSS?1?S并聯機構結構簡單對稱，剛度大，且分支中不含移動副，便于使用維護。該并聯機構具備提供純轉動、運動學較簡單、可直觀預測動平臺運動等特點，本文在分析其自由度性質的基礎上，建立并求解其位姿矩陣方程，設計出了約束其三條運動支鏈曲柄相對基座轉角的運動學逆解模型；同時給出了針對該機構的運動學正解方程，為推動此類機構的應用起到了重要作用。

1機構描述

如圖1所示。該并聯機構可稱為3?RSS?1?S并聯機構（S代表球鉸，R代表轉動副），它由3個對稱分布的支鏈和通過機構中心的擺桿構成。A1，A2，A3構成此機構的靜平臺，并且繞O點均勻分布，各點和O點連線，相互夾角為120°；B1，B2，B3構成動平臺，其分布情況和靜平臺相同；（A1，C1，B1），（A2，C2，B2），（A3，C3，B3）三組支鏈分別與動平臺和靜平臺相連，三組支鏈長度，材料完全相同；機構中間擺桿和動平臺固連。圖1中，A1，A2，A3點用轉動副連接，其他O，B1，B2，B3，C1，C2，C3各點用球鉸鏈連接。

圖1 并聯機構簡圖

圖2 并聯機構三維模型

2自由度分析

3?RSS?1?S并聯機構的自由度可以通過空間機構的自由度計算公式求解[5]。在三維空間中，如果有n個完全不受約束的構件，任選其中一個作為參照物，每個物體都有6個自由度，則n個物體相對參照物共有6（n-1）個運動自由度；若將以上構件用運動副連接起來，則他們每個構件就有不同的約束數。所有的運動自由度減去所有的約束數，就能得到所求空間機構的自由度。[F0=6(n-1)-i=1nui-M] （1）

式中：n為構件的個數；[ui]為各運動副的約束數目； [F0]為總的自由度數；M為冗余自由度。由圖1得：該機構有3個轉動副，有7個球鉸，由于[BiCi]（i=1，2，3）兩端都是球鉸，[BiCi]桿各有一個繞自身轉動的冗余自由度，[n=8]，[F0=6×(8-1)-(3×5+7×3)-3=3]。

綜上所述，該機構具有3個空間自由度，分別是繞x軸轉動，繞y軸轉動，繞z軸轉動。

3 運動學正反解分析

首先建立靜坐標系xyz和動坐標系x′y′z′，由于動平臺繞靜平臺在幾何中心O點轉動，為計算方便，將動坐標系建立在靜平臺上，與靜坐標系重合，如圖3所示。過靜平臺幾何中心O點和A3點的方向設為x軸的正方向，過靜平臺幾何中心O點指向動平臺幾何中心O′點的方向設為z軸的正方向，根據右手法則確定y軸的正方向。

圖3 3?RSS?1?S并聯機構空間坐標系

3.1運動學反解

設靜平臺O點到[Ai]點的距離為R，動平臺O′點到[Bi]點的距離為r，動平臺中心到靜平臺中心的距離OO′為h，[BiCi]桿的長度為Lbc，[AiCi]桿的長度為Lac。分別可以得到[Ai]點相對靜坐標系的位置坐標，[Bi]點相對于動坐標系的位置坐標。

[A1=[-12R,32R,0]T,A2=[-12R,-32R,0]TA3=[R,0,0]T]（2）

[B1=[-12r,32r,h]T, B2=[-12r,-32r,h]T, B3=[r,0,h]T] （3）

[AiCi]桿在確定平面內轉動，設初始位置[AiCi]桿和靜平臺夾角為[θi]，可得到[Ci]點相對于靜坐標系的位置坐標。

[C1=[-12(R+Lac×cosθ1),32(R+Lac×cosθ1),Lac×sinθ1]T][C2=[-12(R+Lac×cosθ2),-32(R+Lac×cosθ2),Lac×sinθ2]TC3=R+Lac×cosθ3,0, Lac×sinθ3T]（4）

通過齊次變換矩陣來描述[Bi]相對靜坐標系的空間位置[6]。然后依次變換可最終推導出末端執行器相對于基坐標系的位姿，從而建立機器人的運動學方程：

[Rx,α=1000cosα-sinα0sinαcosαRy,β=cosβ0sinβ010-sinβ0cosβRz,γ=cosγ-sinγ0sinγcosγ0001]（5）

式中：[R(x,α)]為動坐標系相對固定坐標系x軸旋轉[α]角的旋轉矩陣；[R(y,β)]為動坐標系相對固定坐標系y軸旋轉[β]角的旋轉矩陣；[R(z,γ)]為動坐標系相對固定坐標系z軸旋轉[γ]角的旋轉矩陣。則動平臺在空間中的姿態[Rot]表示為：

[Rot=R(z,γ)R(y,β)R(x,α)]（6）

對于并聯機構動平臺來說，每一個位置對應一組確定的[α,β,γ]，故用齊次變換矩陣的方法能表示動平臺的運動姿態。由此得到動平臺上各點相對靜坐標系的位置坐標：

[Bi′=Rot×Bi] （7）

由于[BiCi]為初始桿長，不發生變化，且[AiCi]桿和靜平臺的夾角[θi]，則

[L=Bi′Ci=Ci-Bi′]（8）

結合式（8）建立方程并化簡為：

[k1icosθi+k2isinθi+k3i=0]（9）

對于已知定平臺姿態[(α,β,γ)]，則式（9）可求出3個驅動支鏈各曲柄相對基座旋轉的角度。

3.2運動學正解

并聯機構的運動學正解一般較其反解要困難得多，特別是當運動鏈增加時，并聯機構的運動學正解很難得到封閉解，這往往會給并聯機構的進一步研究帶來困難。

由于知道3個驅動支鏈各曲柄相對基座旋轉的角度，可得動平臺[Ci]點的坐標，由式（4）可得：

[C1=[C1xC1yC1z]T , C2=C2xC2yC2zT，C3=[C3xC3yC3z]T] （10）

由式（5），式（6）可得：

[Rot=Rz,γRy,βRx,α=n1o1a1n2o2a2n3o3a3] （11）

式中：[α]，[β]，[γ]為正解所要求的未知變量。

由式（3）、式（7）得到[Bi′]各位置點的坐標如下：

[B1′T=m1p1q1T，B2′=m2p2q2T，B3′=[m3p3q3]T] （12）

將式（10）、式（12）代入式（8）可得式（13）~式（15）三個方程：

[k11n1+k12o1+k13a1+k14n2+k15o2+k16a2+k17n3+k18o3+k19a3-k1=0]（13）

式中：[k1=C21x+C21y+C21z+r2+h2-L2bc,k11=-C1xr,k12=][k18=3C1zr,k19=2C1zh。]

[k21n1+k22o1+k23a1+k24n2+k25o2+k26a2+k27n3+k28o3+k29a3-k2=0] （14）

式中：[k2=C221x+C22y+C22z+r2+h2-L2bc,k21=-C2xr,k22=][-3C2xr,k23=2C2xh,k24=-C2yr,k25=-3C2yr,][k26=2C2yh]，

[k27=-C2zr,k28=-3C2zr,k29=2C2zh。][k31n1+k33a1+k34n2+k36a2+k37n3+k39a3-k3=0] （15）

式中：[k3=C231x+C23y+C23z+r2+h2-L2bc,k31=2C3xr,k33=2C3xh,]

[k34=2C3yr,k36=2C3yhk37=2C3zr,k39=2C3zh。]

共有9個未知數，再補充6個約束方程：

[n12+n22+n32=1o12+o22+o32=1n1o1+n2o2+n3o3=0a1=n2o3-n3o2a2=n3o1-n1o3a3=n1o2-n2o1]（16）

由式（13）~式（16）可以最終求解式（11）中的未知量。

4反解控制算法與實例計算

針對式（8），由于[sinθ]（或者[cosθ]）的周期是[2π]，在一個周期內，[sinθ]（或者[cosθ]）可以出現2次相同值，所以方程就可能出現2個相同的解，或者2個不同的解，則反解能得到2組不同的解。

對于機構而言，一個解就是一個運動狀態，考慮到實際控制中輸入惟一性，需對方程的根進行選擇。常用的方法就是限制機構的運行范圍，設置機械限位，在兩個限位之間的空間內運動，能滿足實際需要的運動狀態。在方程的求解中，常用的方法主要有數值法和解析法[7]，在數值法求解中，選擇合適的求解方法，對于方程的收斂速度有很大的影響。

本文選擇用Newton迭代法計算求解，計算該并聯機構運行空間中其中一個位置流程圖，如圖4所示。

結合表1所給系數，應用Newton迭代法算法求解，當繞z軸不發生轉動[(γ=0)]時，給定一組確定的角度[α]、[β]時，所求的各曲柄的轉角（即電機的轉角）見表2。

表1 RSS?1?S并聯機構實例參數mm

圖4 Newton迭代法算法流程圖

表2 三電機與基座平臺的夾角 （°）

5結語

本文針對3?RSS?1?S這一新構型，分析其自由度，該機構能實現直角坐標內繞三個軸的轉動，并建立其運動學逆解數學模型。應用齊次變換矩陣的方法來描述空間坐標下點的位置，研究該機構的正反解方法，這種算法所建立方程的復雜度低，計算效率高。同時針對一個給定幾何參數的3?RSS?1?S并聯機構，進行逆解的求解運算分析。通過實例計算表明：本文所建立算法方程能快速、準確的計算出各曲柄相對基座的轉角；由實例分析所得數據可看出，隨著執行機構目標位置的變化，能實時求解出個各曲柄相對基座轉角，且當2個曲柄轉角增大時，第3個曲柄轉角一定減小，符合實際的運動規律。

參考文獻

[1] 黃真，孔令富，方躍法.并聯機器人機構學理論及控制[M].北京：機械工業出版社，1997.

[2] 張宏濤.3?3UPSIS并聯機器人運動學分析與仿真[D].無錫：江南大學，2008.

[3] 李琨杰.3?PRS并聯結構主軸運動學研究與仿真[D].太原：太原理工大學，2007.

[4] 周國義，謝明紅，孫友生，等.6自由度解耦機器人運動學逆解優化的研究[J].機電產品開發與創新，2009，22（5）：21?23.

[5] 李禽，黃茂林，黃勇剛.基于Matlab的并聯機床逆解可視化仿真[J].機械設計與研究，2006（z1）：202?204.

[6] 張帆.并聯機構特性分析與綜合研究[D].上海：東華大學，2008.

[7] 陳文家，陳書宏.一種四自由度并聯機構及其運動學建模[J].機械設計，2001（11）：6?8.

[8] 王維新.兩輪差速機器人運動學分析和控制研究[J].現代電子技術，2012，35（10）：93?96.

綜上所述，該機構具有3個空間自由度，分別是繞x軸轉動，繞y軸轉動，繞z軸轉動。

3 運動學正反解分析

首先建立靜坐標系xyz和動坐標系x′y′z′，由于動平臺繞靜平臺在幾何中心O點轉動，為計算方便，將動坐標系建立在靜平臺上，與靜坐標系重合，如圖3所示。過靜平臺幾何中心O點和A3點的方向設為x軸的正方向，過靜平臺幾何中心O點指向動平臺幾何中心O′點的方向設為z軸的正方向，根據右手法則確定y軸的正方向。

圖3 3?RSS?1?S并聯機構空間坐標系

3.1運動學反解

設靜平臺O點到[Ai]點的距離為R，動平臺O′點到[Bi]點的距離為r，動平臺中心到靜平臺中心的距離OO′為h，[BiCi]桿的長度為Lbc，[AiCi]桿的長度為Lac。分別可以得到[Ai]點相對靜坐標系的位置坐標，[Bi]點相對于動坐標系的位置坐標。

[A1=[-12R,32R,0]T,A2=[-12R,-32R,0]TA3=[R,0,0]T]（2）

[B1=[-12r,32r,h]T, B2=[-12r,-32r,h]T, B3=[r,0,h]T] （3）

[AiCi]桿在確定平面內轉動，設初始位置[AiCi]桿和靜平臺夾角為[θi]，可得到[Ci]點相對于靜坐標系的位置坐標。

[C1=[-12(R+Lac×cosθ1),32(R+Lac×cosθ1),Lac×sinθ1]T][C2=[-12(R+Lac×cosθ2),-32(R+Lac×cosθ2),Lac×sinθ2]TC3=R+Lac×cosθ3,0, Lac×sinθ3T]（4）

通過齊次變換矩陣來描述[Bi]相對靜坐標系的空間位置[6]。然后依次變換可最終推導出末端執行器相對于基坐標系的位姿，從而建立機器人的運動學方程：

[Rx,α=1000cosα-sinα0sinαcosαRy,β=cosβ0sinβ010-sinβ0cosβRz,γ=cosγ-sinγ0sinγcosγ0001]（5）

式中：[R(x,α)]為動坐標系相對固定坐標系x軸旋轉[α]角的旋轉矩陣；[R(y,β)]為動坐標系相對固定坐標系y軸旋轉[β]角的旋轉矩陣；[R(z,γ)]為動坐標系相對固定坐標系z軸旋轉[γ]角的旋轉矩陣。則動平臺在空間中的姿態[Rot]表示為：

[Rot=R(z,γ)R(y,β)R(x,α)]（6）

對于并聯機構動平臺來說，每一個位置對應一組確定的[α,β,γ]，故用齊次變換矩陣的方法能表示動平臺的運動姿態。由此得到動平臺上各點相對靜坐標系的位置坐標：

[Bi′=Rot×Bi] （7）

由于[BiCi]為初始桿長，不發生變化，且[AiCi]桿和靜平臺的夾角[θi]，則

[L=Bi′Ci=Ci-Bi′]（8）

結合式（8）建立方程并化簡為：

[k1icosθi+k2isinθi+k3i=0]（9）

對于已知定平臺姿態[(α,β,γ)]，則式（9）可求出3個驅動支鏈各曲柄相對基座旋轉的角度。

3.2運動學正解

并聯機構的運動學正解一般較其反解要困難得多，特別是當運動鏈增加時，并聯機構的運動學正解很難得到封閉解，這往往會給并聯機構的進一步研究帶來困難。

由于知道3個驅動支鏈各曲柄相對基座旋轉的角度，可得動平臺[Ci]點的坐標，由式（4）可得：

[C1=[C1xC1yC1z]T , C2=C2xC2yC2zT，C3=[C3xC3yC3z]T] （10）

由式（5），式（6）可得：

[Rot=Rz,γRy,βRx,α=n1o1a1n2o2a2n3o3a3] （11）

式中：[α]，[β]，[γ]為正解所要求的未知變量。

由式（3）、式（7）得到[Bi′]各位置點的坐標如下：

[B1′T=m1p1q1T，B2′=m2p2q2T，B3′=[m3p3q3]T] （12）

將式（10）、式（12）代入式（8）可得式（13）~式（15）三個方程：

[k11n1+k12o1+k13a1+k14n2+k15o2+k16a2+k17n3+k18o3+k19a3-k1=0]（13）

式中：[k1=C21x+C21y+C21z+r2+h2-L2bc,k11=-C1xr,k12=][k18=3C1zr,k19=2C1zh。]

[k21n1+k22o1+k23a1+k24n2+k25o2+k26a2+k27n3+k28o3+k29a3-k2=0] （14）

式中：[k2=C221x+C22y+C22z+r2+h2-L2bc,k21=-C2xr,k22=][-3C2xr,k23=2C2xh,k24=-C2yr,k25=-3C2yr,][k26=2C2yh]，

[k27=-C2zr,k28=-3C2zr,k29=2C2zh。][k31n1+k33a1+k34n2+k36a2+k37n3+k39a3-k3=0] （15）

式中：[k3=C231x+C23y+C23z+r2+h2-L2bc,k31=2C3xr,k33=2C3xh,]

[k34=2C3yr,k36=2C3yhk37=2C3zr,k39=2C3zh。]

共有9個未知數，再補充6個約束方程：

[n12+n22+n32=1o12+o22+o32=1n1o1+n2o2+n3o3=0a1=n2o3-n3o2a2=n3o1-n1o3a3=n1o2-n2o1]（16）

由式（13）~式（16）可以最終求解式（11）中的未知量。

4反解控制算法與實例計算

針對式（8），由于[sinθ]（或者[cosθ]）的周期是[2π]，在一個周期內，[sinθ]（或者[cosθ]）可以出現2次相同值，所以方程就可能出現2個相同的解，或者2個不同的解，則反解能得到2組不同的解。

對于機構而言，一個解就是一個運動狀態，考慮到實際控制中輸入惟一性，需對方程的根進行選擇。常用的方法就是限制機構的運行范圍，設置機械限位，在兩個限位之間的空間內運動，能滿足實際需要的運動狀態。在方程的求解中，常用的方法主要有數值法和解析法[7]，在數值法求解中，選擇合適的求解方法，對于方程的收斂速度有很大的影響。

本文選擇用Newton迭代法計算求解，計算該并聯機構運行空間中其中一個位置流程圖，如圖4所示。

結合表1所給系數，應用Newton迭代法算法求解，當繞z軸不發生轉動[(γ=0)]時，給定一組確定的角度[α]、[β]時，所求的各曲柄的轉角（即電機的轉角）見表2。

表1 RSS?1?S并聯機構實例參數mm

圖4 Newton迭代法算法流程圖

表2 三電機與基座平臺的夾角 （°）

5結語

本文針對3?RSS?1?S這一新構型，分析其自由度，該機構能實現直角坐標內繞三個軸的轉動，并建立其運動學逆解數學模型。應用齊次變換矩陣的方法來描述空間坐標下點的位置，研究該機構的正反解方法，這種算法所建立方程的復雜度低，計算效率高。同時針對一個給定幾何參數的3?RSS?1?S并聯機構，進行逆解的求解運算分析。通過實例計算表明：本文所建立算法方程能快速、準確的計算出各曲柄相對基座的轉角；由實例分析所得數據可看出，隨著執行機構目標位置的變化，能實時求解出個各曲柄相對基座轉角，且當2個曲柄轉角增大時，第3個曲柄轉角一定減小，符合實際的運動規律。

參考文獻

[1] 黃真，孔令富，方躍法.并聯機器人機構學理論及控制[M].北京：機械工業出版社，1997.

[2] 張宏濤.3?3UPSIS并聯機器人運動學分析與仿真[D].無錫：江南大學，2008.

[3] 李琨杰.3?PRS并聯結構主軸運動學研究與仿真[D].太原：太原理工大學，2007.

[4] 周國義，謝明紅，孫友生，等.6自由度解耦機器人運動學逆解優化的研究[J].機電產品開發與創新，2009，22（5）：21?23.

[5] 李禽，黃茂林，黃勇剛.基于Matlab的并聯機床逆解可視化仿真[J].機械設計與研究，2006（z1）：202?204.

[6] 張帆.并聯機構特性分析與綜合研究[D].上海：東華大學，2008.

[7] 陳文家，陳書宏.一種四自由度并聯機構及其運動學建模[J].機械設計，2001（11）：6?8.

[8] 王維新.兩輪差速機器人運動學分析和控制研究[J].現代電子技術，2012，35（10）：93?96.

綜上所述，該機構具有3個空間自由度，分別是繞x軸轉動，繞y軸轉動，繞z軸轉動。

3 運動學正反解分析

首先建立靜坐標系xyz和動坐標系x′y′z′，由于動平臺繞靜平臺在幾何中心O點轉動，為計算方便，將動坐標系建立在靜平臺上，與靜坐標系重合，如圖3所示。過靜平臺幾何中心O點和A3點的方向設為x軸的正方向，過靜平臺幾何中心O點指向動平臺幾何中心O′點的方向設為z軸的正方向，根據右手法則確定y軸的正方向。

圖3 3?RSS?1?S并聯機構空間坐標系

3.1運動學反解

設靜平臺O點到[Ai]點的距離為R，動平臺O′點到[Bi]點的距離為r，動平臺中心到靜平臺中心的距離OO′為h，[BiCi]桿的長度為Lbc，[AiCi]桿的長度為Lac。分別可以得到[Ai]點相對靜坐標系的位置坐標，[Bi]點相對于動坐標系的位置坐標。

[A1=[-12R,32R,0]T,A2=[-12R,-32R,0]TA3=[R,0,0]T]（2）

[B1=[-12r,32r,h]T, B2=[-12r,-32r,h]T, B3=[r,0,h]T] （3）

[AiCi]桿在確定平面內轉動，設初始位置[AiCi]桿和靜平臺夾角為[θi]，可得到[Ci]點相對于靜坐標系的位置坐標。

[C1=[-12(R+Lac×cosθ1),32(R+Lac×cosθ1),Lac×sinθ1]T][C2=[-12(R+Lac×cosθ2),-32(R+Lac×cosθ2),Lac×sinθ2]TC3=R+Lac×cosθ3,0, Lac×sinθ3T]（4）

通過齊次變換矩陣來描述[Bi]相對靜坐標系的空間位置[6]。然后依次變換可最終推導出末端執行器相對于基坐標系的位姿，從而建立機器人的運動學方程：

[Rx,α=1000cosα-sinα0sinαcosαRy,β=cosβ0sinβ010-sinβ0cosβRz,γ=cosγ-sinγ0sinγcosγ0001]（5）

式中：[R(x,α)]為動坐標系相對固定坐標系x軸旋轉[α]角的旋轉矩陣；[R(y,β)]為動坐標系相對固定坐標系y軸旋轉[β]角的旋轉矩陣；[R(z,γ)]為動坐標系相對固定坐標系z軸旋轉[γ]角的旋轉矩陣。則動平臺在空間中的姿態[Rot]表示為：

[Rot=R(z,γ)R(y,β)R(x,α)]（6）

對于并聯機構動平臺來說，每一個位置對應一組確定的[α,β,γ]，故用齊次變換矩陣的方法能表示動平臺的運動姿態。由此得到動平臺上各點相對靜坐標系的位置坐標：

[Bi′=Rot×Bi] （7）

由于[BiCi]為初始桿長，不發生變化，且[AiCi]桿和靜平臺的夾角[θi]，則

[L=Bi′Ci=Ci-Bi′]（8）

結合式（8）建立方程并化簡為：

[k1icosθi+k2isinθi+k3i=0]（9）

對于已知定平臺姿態[(α,β,γ)]，則式（9）可求出3個驅動支鏈各曲柄相對基座旋轉的角度。

3.2運動學正解

并聯機構的運動學正解一般較其反解要困難得多，特別是當運動鏈增加時，并聯機構的運動學正解很難得到封閉解，這往往會給并聯機構的進一步研究帶來困難。

由于知道3個驅動支鏈各曲柄相對基座旋轉的角度，可得動平臺[Ci]點的坐標，由式（4）可得：

[C1=[C1xC1yC1z]T , C2=C2xC2yC2zT，C3=[C3xC3yC3z]T] （10）

由式（5），式（6）可得：

[Rot=Rz,γRy,βRx,α=n1o1a1n2o2a2n3o3a3] （11）

式中：[α]，[β]，[γ]為正解所要求的未知變量。

由式（3）、式（7）得到[Bi′]各位置點的坐標如下：

[B1′T=m1p1q1T，B2′=m2p2q2T，B3′=[m3p3q3]T] （12）

將式（10）、式（12）代入式（8）可得式（13）~式（15）三個方程：

[k11n1+k12o1+k13a1+k14n2+k15o2+k16a2+k17n3+k18o3+k19a3-k1=0]（13）

式中：[k1=C21x+C21y+C21z+r2+h2-L2bc,k11=-C1xr,k12=][k18=3C1zr,k19=2C1zh。]

[k21n1+k22o1+k23a1+k24n2+k25o2+k26a2+k27n3+k28o3+k29a3-k2=0] （14）

式中：[k2=C221x+C22y+C22z+r2+h2-L2bc,k21=-C2xr,k22=][-3C2xr,k23=2C2xh,k24=-C2yr,k25=-3C2yr,][k26=2C2yh]，

[k27=-C2zr,k28=-3C2zr,k29=2C2zh。][k31n1+k33a1+k34n2+k36a2+k37n3+k39a3-k3=0] （15）

式中：[k3=C231x+C23y+C23z+r2+h2-L2bc,k31=2C3xr,k33=2C3xh,]

[k34=2C3yr,k36=2C3yhk37=2C3zr,k39=2C3zh。]

共有9個未知數，再補充6個約束方程：

[n12+n22+n32=1o12+o22+o32=1n1o1+n2o2+n3o3=0a1=n2o3-n3o2a2=n3o1-n1o3a3=n1o2-n2o1]（16）

由式（13）~式（16）可以最終求解式（11）中的未知量。

4反解控制算法與實例計算

針對式（8），由于[sinθ]（或者[cosθ]）的周期是[2π]，在一個周期內，[sinθ]（或者[cosθ]）可以出現2次相同值，所以方程就可能出現2個相同的解，或者2個不同的解，則反解能得到2組不同的解。

對于機構而言，一個解就是一個運動狀態，考慮到實際控制中輸入惟一性，需對方程的根進行選擇。常用的方法就是限制機構的運行范圍，設置機械限位，在兩個限位之間的空間內運動，能滿足實際需要的運動狀態。在方程的求解中，常用的方法主要有數值法和解析法[7]，在數值法求解中，選擇合適的求解方法，對于方程的收斂速度有很大的影響。

本文選擇用Newton迭代法計算求解，計算該并聯機構運行空間中其中一個位置流程圖，如圖4所示。

結合表1所給系數，應用Newton迭代法算法求解，當繞z軸不發生轉動[(γ=0)]時，給定一組確定的角度[α]、[β]時，所求的各曲柄的轉角（即電機的轉角）見表2。

表1 RSS?1?S并聯機構實例參數mm

圖4 Newton迭代法算法流程圖

表2 三電機與基座平臺的夾角 （°）

5結語

本文針對3?RSS?1?S這一新構型，分析其自由度，該機構能實現直角坐標內繞三個軸的轉動，并建立其運動學逆解數學模型。應用齊次變換矩陣的方法來描述空間坐標下點的位置，研究該機構的正反解方法，這種算法所建立方程的復雜度低，計算效率高。同時針對一個給定幾何參數的3?RSS?1?S并聯機構，進行逆解的求解運算分析。通過實例計算表明：本文所建立算法方程能快速、準確的計算出各曲柄相對基座的轉角；由實例分析所得數據可看出，隨著執行機構目標位置的變化，能實時求解出個各曲柄相對基座轉角，且當2個曲柄轉角增大時，第3個曲柄轉角一定減小，符合實際的運動規律。

參考文獻

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