非線性優化PID控制在橋式起重機防擺中的應用*

劉輝 黃國健 勉智

（廣州特種機電設備檢測研究院）

0 引言

橋式起重機是現代生產中一種重要的搬運機械設備，在各個生產領域都有廣泛的應用。然而橋式起重機在作業過程中，由于小車的加速度和負載的提升動作以及風、摩擦引起的擾動等，產生負載擺動，從而在整個系統水平方向上形成周期性的動力學激勵，嚴重影響工作效率，并增加起重裝卸作業安全隱患[1]。若能控制或消除吊重擺角，可實現快速起重機小車精確定位，從而提高橋式起重機工作效率。PID控制是比例、積分和微分控制的簡稱[2]。近年來雖然許多先進控制方法不斷推出，但PID控制器以其結構簡單，對模型誤差具有魯棒性及易于操作等優點，廣泛應用于冶金化工、電力、輕工和機械等工業過程控制中[3]。

PID參數整定方法有Ziegler-Nichols方法、幅值相位裕度設定方法、最優整定以及其它一些方法[4]，但它們局限于線性系統。在Matlab NCD工具箱中提供專門的NCD Blockset用于非線性系統優化設計和仿真[5]。該工具箱以Simulink模塊的形式，集成基于圖形界面的非線性系統控制器優化設計和仿真功能。非線性規劃是在一組等式和不等式約束條件下求一個函數極值問題。Matlab優化工具箱的函數constr.m是針對有約束條件的極值問題進行優化計算。它涉及KT（Kuhn-Tucker）方程的求解，BFGS（Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno）[6]無約束變尺度法和 SQP（Sequential Quadratic Programming）[7]約束序列二次規劃法。

針對橋式起重機在運行過程中會產生較大的慣性載荷，在啟動和制動的過程中會導致負載擺動的問題，本文首先建立橋式起重機系統仿真模型，然后借助非線性控制系統優化設計的工具箱 NCD，快速實現橋式起重機防擺系統參數的優化設計。

1 橋式起重機數學模型建立

橋式起重機系統中，只有大車和小車在各自方向做水平移動，這兩個方向上的運動是自然解耦的，要控制橋式起重機任意位置的防擺，只需要研究小車的運動即可，而大車的控制規律相同。橋式起重機小車運行系統模型如圖1所示。

圖1 橋式起重機簡化模型

利用拉格朗日力學對系統進行受力分析可得[8]：

其中，M為小車質量；m為吊重質量；x為小車位移；F為小車驅動力，g為重力加速度；Fl為鋼絲繩提升力；μ為軌道和小車之間的摩擦系數。

考慮到橋式起重機實際工作狀況，為研究方便，鋼絲繩長度變化忽略不計，即θ在0θ=附近變化較小，可以取sin0θ=，cos1θ=，則系統模型可以簡化為：

由式（4）、式（5）聯合式可得：

在 Simulink中建立橋式起重機系統仿真模型如圖2所示。假設小車質量M = 5 kg，摩擦系數μ=1，輸入參數u(1)、u(2)、u(3)、u(4)、u(5)分別代表x、F、m、l、θ，其中m、l為可調節參數。

圖2 橋式起重機系統仿真模型圖

2 NCD優化PID橋式起重機防擺仿真

將圖2所示模型進行封裝，以此為被控對象并引入小車位置PID控制器PID1作為外環控制，吊重擺角PID控制器PID2作為內環控制，分別對位置輸出端和擺角輸出端各添加一個NCD模塊，結構如圖3所示。

圖3 橋式起重機PID雙閉環控制結構圖

取m=2，l=0.8。仿真程序包括2部分：Simulink程序及初始化的M函數程序。在Simulink中雙擊NCD Output模塊，彈出NCD Block約束窗口，設置步驟如下：

1) 設置Step Response定義階躍響應性能指標，參數定義如表1所示；

表1 Step Response定義階躍響應性能指標

2) 設置 Parameters定義調整變量及參數如表 2所示；

表2 Parameters定義調整變量及參數

3) 選擇界面Start命令，進行調整變量的優化，直到階躍響應指標達到要求為止。優化參數結果如表3所示。

將優化參數用于PID控制器，仿真得到小車位置x的響應如圖4所示，吊重擺角θ響應如圖5所示?？梢钥闯?，小車位置在5 s完成消擺并到達指定位置。

表3 PID優化參數結果

圖4 小車位置x響應

圖5 吊重擺角θ響應

3 NCD優化PID橋式起重機防擺系統魯棒性驗證

在圖3橋式起重機PID雙閉環結構中，將常量m=2，l=0.8改為變量，結構如圖6所示。在NCD Block約束窗口中設置步驟如下：

圖6 變參數橋式起重機PID雙閉環控制結構圖

步驟1）、步驟2）同2節；

3) 設置Uncertainty定義不確定變量及有關參數如表4所示；

表4 Uncertainty定義不確定變量及有關參數

4) 選擇界面Start命令，進行調整變量的優化，直到階躍響應指標達到要求為止。優化參數結果如表5所示。

表5 PID優化參數結果

取不同組m、l參數來驗證所優化參數的魯棒性：

1) 取m=2，l=0.7，小車位置x的響應如圖7所示，吊重擺角θ響應如圖8所示；

圖7 取m=2、l=0.7時小車位置x響應

圖8 取m=2、l=0.7時吊重擺角θ響應

2) 取m=3，l=0.6，小車位置x的響應如圖9所示，吊重擺角θ響應如圖10所示。

由仿真圖可知小車在5 s左右到達目標位置，吊重擺角消除。可見即使在橋式起重機系統參數 m、l發生一定變化時，系統仍能快速消除擺動，達到滿意的控制效果，優化后的PID參數對于系統參數的變化具有一定魯棒性。

圖9 取m=3、l=0.6時小車位置x響應

圖10 取m=3、l=0.6時吊重擺角θ響應

4 結論

PID是工業控制中應用最普遍的一種控制規律，本文將NCD非線性優化PID控制方法應用在橋式起重機防擺控制系統中，避免了傳統設計中復雜計算，快速精確得到所需控制參數。

通過設定橋式起重機容易變化參數的范圍，使得在參數在一定的變化范圍內，控制系統仍能達到滿意的控制效果，具備一定魯棒性。

[1] 王克奇.橋式起重機的定位和防擺控制研究[J].系統仿真學報,2007,19(8):1799-1802.

[2] 陶永華,尹怡欣,葛蘆生.新型 PID 控制及其應用[M].北京:機械工業出版社,2002.

[3] 夏曉晶.單片機實現的仿人智能PID控制器[D].大連:大連海事大學,2004.

[4] 滕青芳.基于NCD工具箱的非線性系統PID控制器優化設計[J].電氣傳動自動化,2002,24(3):32-34.

[5] Math Works. MATLAB version 2 user’s guide [DB/OL].http://www.doc88.com/p-54805404.html.

[6] Fletcher R. A new approach to variable-metric algorithms[J].Computer Journal, 1970, 13(3): 317-322.

[7] Fletcher R. Practical methods of optimization[M]. Wiley, 1980.

[8] Ahmad M A, Raja Ismail R M T, Nasir A N K , et al.Anti-sway control of a gantry crane system based on feedback loop approaches[C].Singapore: IEEE/ASME International Conference on Advanced Intelligent Mechatronics, 2009.