淺談線性代數在化學理論中的應用

徐克龍

摘 要：線性代數與化學理論有著很多的聯系。量子化學就是建立在線性Hilbert空間的理論基礎上的，沒有很好的線性代數的基礎，不可能很好的掌握量子化學。而如今新藥的研發和化學都離不開量子化學的計算。隨著化學科技和信息技術的發展，線性代數對化學的影響越來越多，應用也越來越來廣泛。對線性代數的基本意義和在化學涉及的常見理論進行了簡述，并通過例子來具體說明線性代數在化學理論中的應用，對進一步了解抽象的線性代數很有意義。

關鍵詞：線性代數；化學；量子

1 線性代數與線性關系[1][2]

線性代數是數學的一個部分，線性代數處理的是線性關系的問題。線性代數是理工科、專科學生必修的一門重要基礎課，它既是學習計算數學、微分方程、離散數學的基礎，也在工程技術和自然科學中被廣泛應用。代數英文是Algebra，起源于阿拉伯語。它的原意是“結合在一起”，代數能夠把原來很多不相關的沒有聯系的事物結合在一起，從而進行抽象。抽象是為了更好地解決問題，同時也是為了能讓我們更好的工作，能大大提高我們的工作效率，我們可以通過學習線性代數來把很多問題歸為一種問題解決，線性代數中的行列式、矩陣和向量尤為重要，在以下討論的量子化學中也應用到行列式和矩陣的知識。隨著數學的發展，線性代數的含義也不斷的擴大。它的理論不僅滲透到了數學的許多分支中，而且在理論化學、工程技術、航天、生物技術、理論物理、航海等領域中都有著廣泛的應用。線性代數在很多領域都得到了廣泛的應用，這又是因為什么呢？原因可以歸結為以下幾點。

1.1 大千世界的許多現象是成線性變化的。例如牛頓第二定律，物體的加速速度同它所受到的力成正比，這就是一個線性方程。量子化學中物質的波粒二象性的薜定諤方程，也是線性方程組。

1.2 我們在研究單個變量的關系時，也必須由此聯想到多個變量之間的關系。因而大多數的實際問題都可以用線性關系來解決，這也是線性代數被廣泛應用的原因。

1.3 線性代數從具體概念到抽象的公理化方法以及嚴謹的邏輯推證、巧妙的歸納綜合等，對于提高科學智能是很有用的。

2 物理化學中的量子化學[3][4]

量子化學是物理化學中的一部分，量子化學可分基礎研究和應用研究兩大類，基礎研究主要是尋求量子化學中的自身規律，建立量子化學的多體方法和計算方法等，多體方法包括化學鍵理論、密度矩陣理論和傳播子理論，以及多級微擾理論、群論和圖論在量子化學中的應用等。應用研究是利用量子化學方法處理化學問題，用量子化學的結果解釋化學現象。量子化學的計算方法主要分為：（1）分子軌道法；（2）價鍵法。分子軌道法，它是原子軌道對分子的推廣，即在物理模型中，假定分子中的每個電子在所有原子核和電子所產生的平均勢場中運動，即每個電子可由一個單電子函數來表示它的運動狀態，并稱這個單電子函數為分子軌道，而整個分子的運動狀態則由分子所有的電子的分子軌道組成（乘積的線性組合），這就是分子軌道法名稱的由來。量子力學有五個基本假設：

假設一：對于一個微觀體系，它的狀態和由該狀態所決定的各種物理性質可用波函數

Ψ（x， y， z，t）表示。Ψ是體系的狀態函數，是體系中所有粒子坐標的函數，也是時間函數。

假設二：對于一個微觀體系的每個可觀測的物理量，都對應著一個線性自軛算符 。

假設三：若某一物理量A的算符B作用于某一狀態函數Ψ，等于某一常數a乘以Ψ，即BΨ=aΨ。那么對Ψ所描述的這個微觀體系的狀態，物理量A具有確定的數值a。a稱為物理量算符B的本征值，Ψ稱為本征波函數。

假設四：若Ψ1，Ψ2，Ψ3，...Ψn為某一微觀體系的可能狀態，則由他們的線性組合所得的Ψ也是該體系可能存在的狀態。

假設五：在同一原子軌道或分子軌道上，最多只能容納倆個電子，這兩個電子的自旋狀態必須相反。或者說，兩個自旋相同的電子不能占據同一軌道。這一假設在量子力學中通常表達為：描述多電子體系軌道運動和自旋運動的全波函數，對任意兩粒子的全部坐標（空間坐標和自旋坐標）進行交換，一定得反對稱的波函數。

在以上的量子力學中五個假設中也用到了線性代數的相關知識，假設二中有線性自軛算符，而在假設三中自軛算符的第二項重要性質就是歸一性，在假設四中態疊加原理中也有線性組合系數。在以上我們所討論的幾個方面中我們了解了什么是線性代數，線性代數被廣泛應用的原因，物理化學中的量子力學。雖然不能全面的，精確地解釋線性代數和化學的聯系。但從他們各自的解釋中我們也不難看出線性代數在量子力學中的應用，量子化學是建立在線性Hilbert空間的理論基礎上的，沒有很好的線性代數的基礎，不可能很好的掌握量子化學。當我剛剛接觸物理化學的第一節課時，對物理化學的印象是特別抽象難懂，但經過幾節課的學習后發現，線性代數對學習這門物理化學的幫助也是很大的，特別是在下面的一節中更多的用到了線性代數的知識，下面就讓我們一起看一下。

在利用變分法解Schrodinger方程時，利用了線性變分法求出線性組合系數，進而得到波函數，此外在解方程的時候也應用到了對稱矩陣的知識，利用學到的線性代數中的行列式的知識，得到了久期方程組以及久期行列式，在原子軌道線性組合為分子軌道中，久期方程是指關于組合系數的線性齊次方程組。該方程組有不全為零的解的條件是由系數所構成的行列式等于零，此行列式稱為久期行列式。久期方程是對任意線性齊次方程組而言的。任意線性齊次方程組有根的條件是其系數行列式為零。這說明幾個方程不是線性無關的，即至少有一組線性相關的解組。一般用久期方程判斷方程組有無根的性質來確定某方程組的系數。

3 線性代數在化學方程式系數配平中的作用

從配平化學方程式的線性代數法介紹可知，用線性代數法配平化學反應方程式時，只需求出齊次線性方程組的一個基礎解系.這種方法簡單、易行，然而，此方法并不是對所有反應方程式的配平都適用。在化學方程的配平中，以前我們進常用的方法氧化值法，電子法，離子電子法、觀察法等，這些方法都有他們的局限性，他們只對簡單的化學方程式的配平有效，他們只是專門針對某一個特定的化學反應，因而不具有普遍性，但利用線性代數的方法解決化學方程式系數配平的問題就簡單方便了，由此我們有一次看出了線性代數對化學產生了重要影響，線性代數與化學倆者之間聯系密切，相互關聯，相互作用。

4 結束語

線性代數對化學產生重要的影響，線性代數與化學之間密不可分，相互聯系，相互作用。線性代數中的行列式、矩陣運算、初等變換與線性方程組、向量的線性相關性、矩陣的對角化及二次型能與化學產生聯系。現在所學的物理化學很抽象，特別難理解，但是結合線性代數和微積分來理解，就能更加深入了解這些化學理論知識的意義。

參考文獻

[1]同濟大學數學系.工程數學-線性代數（第5版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]王萼芳，石生明.高等代數（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3]夏少武，夏樹偉.量子化學基礎[M].北京：科學出版社，2010.

[4]天津大學物理化學教研室.物理化學[M].北京：高等教育出版社，2009.