單頻較少歷元下GPS整周模糊度的快速解算

李林澤

[摘 要]鑒于大多數使用的GPS接收機都為單頻載波相位L1，整周模糊度的解算需要大量衛星大量歷元，使得求解十分困難而且無法快速準確求解，滿足不了實時動態相對定位的需要而且解算整周模糊度精度不是很高。可以通過較好能快速檢驗出是否有周跳的情況下采用QR矩陣分解差分觀測量矩陣減少未知參數的個數，以及通過Cholesky下三角陣分解方差陣，降低其相關性的方法能在單頻接收機較少歷元的情況下改善整周模糊度浮點解，減少模糊度的搜索空間，快速有效實現整周模糊度的解算過程。

[關鍵詞]單頻 雙差多普勒頻移 周跳QR分解Cholesky分解

[中圖分類號] P228.4 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2014）15-0163-02

一、前言

現階段GPS接收機中最為常用的為L1單頻波段的載波相位，而載波相位中最為重要求解的內容即為其整周模糊度。目前世界上有許多整周模糊度的解算方法，較為常用的有快速模糊度確定方法（FARA）和最小二乘相關分解法（LAMBDA）。比較這兩種方法則：FARA的基本思想是以數理統計的參數估計和假設檢驗為基礎，利用初始平差的解向量以及其協因數陣、單位權中誤差等，并確定一個置信區間，在該區間內逐次找尋整周模糊度的組合，將平差結果中驗后方差最小的一組作為其最佳的估值。而采用LAMBDA方法包含兩個部分：整數變換和基于目標函數分解的搜索方法 [1] [2]。

二、新方法

前面兩種方法普遍存在觀測時間長，無法快速解算整周模糊度、較難在搜索區間內快速找到最小二乘解、觀測量之間具有較強的相關性無法精確合理的提供浮點模糊度協方差矩陣的問題 [3] [4]。而本文則采用新方法來快速解算整周模糊度，通過單頻載波相位，利用雙差，在去相關性的權陣中快速求取整周模糊度，具體解法為：先通過QR矩陣分解變換消去觀測方程中坐標參數信息，在此基礎上利用Cholesky分解進行降相關處理，再利用最小二乘即可減少搜索區域快速求解整周模糊度。

三、周跳檢測

相位測量中存在如果信號失鎖，相位測量就必須從新開始，這種現象稱為整周跳變 [5] [6]。周跳的檢測可以保證模糊度參數的修正，本文主要介紹一種合理有效地周跳檢測方法。

用多普勒觀測量探測周跳存在的方法：

假設發射標準頻率為f，則衛星相對于接收機的徑向速度為Vρ=■·■ρ=|V|cosα。式中■為衛星相對于接收機的速度矢量，V=|■|，■ρ為接收機相對于衛星的單位矢量α，為矢量■在■ρ上的投射角，ρ為接收機與衛星之間的距離。則接收信號頻率為：

則多普勒頻移為： fr=f（1+■）-1≈f（1-■）

fd=f- fr≈f■=■=■

如果時間間隔選擇足夠小，則多普勒計數等于瞬時多普勒頻移即：

D=■≈■

在不考慮其他誤差的情況下：

■≈■

φ■■（tr）=■-f（δtr-δts）+N■■-■+■+■+■+ε （1）

D=■-■+ε （2）

其中（1）式中為載波相位的相位觀測量，δtide表示潮汐和海水負荷潮汐效應，δmul表示多路徑效應，δrel表示相對論效應，ε 表示殘差。

（2）式則為（1）式對于時間的求導，因為歷元采樣率時間較短，在短時間內電離層、對流層等影響因素的差值誤差較少則舍去。

則對（1）、（2）式方程積分可得：

λjΔtΦj=Δtρ-Δt（δtr-δts）c+λjΔtNj+εj （3）

則（3）-（4）得

λj■Djdt=Δt ρ-Δt （δtr-δts）c+εp （4）

則（3）-（4）得

λjΔtNj=λjΔtΦj-λj■Djdt+ε1 （5）

相位觀測是通過對局部相位保持跟蹤和累計整周數測量的，如果期間發生信號失鎖，整周數錯誤，即發生了周跳。因此，該積分可以通過首先將多普勒值調整為適當多項式，然后在一定時間內完成積分。

四、單頻GPS動態定位中的模糊度浮點數計算

當分別安置在基準站和流動站的兩臺單頻GPS接收機共視n+1顆衛星時，每一個歷元可以組成n個相位雙差觀測方程。則對不同歷元i建立線性化后的雙差觀測方程為（根據（1）式中單頻相位的計算方程）

？塄ΔLi=Bi δXi+λL1？塄ΔN+εi （6）

公式簡化為：Li=Bi δXi+λNi+ε （6-1）

式中？塄ΔLi為單頻雙差實測值即流動站與基準站之間雙差測量值的差值；Ai為雙差方程的系數陣；Xi為坐標分量改正數；？塄ΔN為整周模糊度差值改正數；εi為隨機誤差。

此時如果直接使用間接平差即V=Bx-l模型則會暴漏一些問題：

（1） 該方程中明顯位置系數高于已知參數，求解則需要大量歷元（至少200個）來解算，這樣不僅不能達到 實時動態定位，高維矩陣方程中求逆等解算過程也是十分復雜。

（2）法方程系數的制約數為誤差方程系數陣制約數的平方，即

（k（B））2=k（BTB）

因此，當誤差方程系數陣B的制約數較大時增加了對舍入誤差的敏感性。

（3）矩陣系數BTB帶來的誤差，當k（BTB）比較大的時候不能保證計算BTB的正定性。

（4）矩陣B的稀疏性不一定能保證BTB的稀疏性。

所以針對上述存在的問題，應該采用QR方法，將公式（6）中矩陣B分解為正交矩陣Q和對角線都為正數的上三角矩陣R。

具體分解步驟如下：

（1）將ji分解為QR，即：Bi=Qi Ri，Qi為n*n價矩陣，Ri為n*3價矩陣；

（2）對矩陣Qi分解為Q■■，Q■■即

Q■■=[Q■■+Q■■]；

（3）提取子矩陣Q■■，并求其轉置（Q■■）T；

（4）對公式（6-1）兩邊左乘（Q■■）T，可以證明（Q■■）T*Bi=0，此時可以消除位置參數，只剩下模糊度參數：

（Q■■）T*Li=（Q■■）T*λNi+（Q■■）T*ε （7）

Ni=（Li-ε）/λ

從而可以求出整周模糊度Ni。

使用該方法可以有效降低未知參數的個數，方便快速解算整周模糊度，對于通視效果較好的衛星可以選擇較好的4-6顆衛星作為主組建立搜索空間，其余衛星用于模糊度的檢測，可以極大的減少對歷元數的需要，盡量快速高效準確求得整周模糊度。

五、降相關分解及搜索固定

實際應用中雙差處理模糊度浮點數間會產生很大的相關性，所以模糊度方差陣不為對角陣。同時強相關性會使得模糊度搜索區域拉伸而效果很差，較為浪費時間，所以應該降低模糊度的相關性，本文給出將方差陣變換為下三角陣（Cholesky）來降低其間模糊度的相關性。

Cholesky 公式如下：

■

通過該公式減小方差陣的強相關性，解算結果更加精確。

六、設定置信區間進行整周模糊度的索搜

在距離較短的基準站流動站可以測量出基線向量的大概方位和長度，所以在此基礎上可以建立較為精確的整周模糊度求解的置信區間，在該區間中通過最小二乘法尋找出最佳整周模糊度，大大節省了觀測時間，歷元個數并且得到了精度較高的解值。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 李淑慧，劉經南.整周模糊度搜素方法的效率比較和分析[J].測繪通報，2003（10）：1-3.

[2] 劉寧，熊永良，馮威，徐韶光.單頻GPS動態定位中整周模糊度的一種快速解算方法[J].2013（2）：211-217.

[3] 趙麗，劉建業，范勝利.基于QR矩陣的快速解算初始整周模糊度方法的研究[J].南京航空航天大學校報，2004（2）：249-253.

[4] 魯定鐵，周世健，朱煜峰，張立婷.間接平差與矩陣QR分解[J].華東理工大學學報，2009（4）：381-384.

[5] 劉立龍，劉基余，李光成.單頻GPS整周模糊度動態快速求解的研究[J].武漢大學學報，2005（10）：885-887.

[6] Guochang Xu著.GPS理論、算法與應用（第二版）[M].北京：清華大學出版社，2011.

[責任編輯：黃緊德]