妙用類比推理

羅冰

加拿大外交官切斯特·朗寧，出生于湖北襄陽，是喝中國人的奶水長大的。他競選省議員時，反對派多次詆毀他說：“你是喝中國人的奶水長大的，你身上一定有中國人的血統。”朗寧坦然地駁斥道：“你們也喝過牛奶，是不是說你們身上一定也有牛的血統呢？”朗寧的話音一落，聽眾立即報以熱烈的掌聲。朗寧在這次競選中大獲全勝，如愿以償地當上了省議會議員。

在上面的故事中，朗寧由反動派的“喝中國人的奶水長大就有中國人的血統”推理到“喝牛奶長大就有牛的血統”，成功地駁斥了反對派，用的就是一種類比推理的方法。

這種“把類似問題進行比較、聯想，由一個數學對象已知的性質遷移到另一個數學對象上去，從而獲得另一個數學對象的性質”的思維方法就是類比推理。

在數學教學中，我們要注意運用類比推理的方法進行數學教學，在教學過程中注意把新知識與記憶中結構相類似的舊知識聯系起來。通過類比推理，從已知對象具有的某種性質推出未知對象具有的相應性質，從而尋找解決問題的途徑。下面僅從類比推理在數學概念和解題教學中的應用兩個方面進行說明。

一、在概念教學中巧妙運用類比推理。在教學中，教師采用類比推理的方法引進新的數學概念有助于激發學生的思維，提高學生的參與意識，因為學生一旦發現新的數學概念與過去所學的概念相似，他們會積極主動地推測新概念與舊概念的相似之處，這也是培養學生探索能力的有效途徑之一，同時也有效地加強了師生之間的互動。

例如，在學習角的內容時，學生前面已經學習了有關線段的知識，由于線段與角在許多方面有相同或相似之處（如線段有大小，可以度量長度，可以比較長短），在教學中我先設計一些與線段有關的題目，讓學生通過類比推理認識到線段與角之間的區別與聯系，這樣在后續知識的學習中，他們自然由線段的性質聯想出角的類似性質。如此，由舊知識類比推理出新知識的性質，激發了學生的學習熱情，使他們敢于猜想，善于挖掘，大膽證實，學生獲得的知識遠比教師的講授記憶深刻。當然，我們還可以類比分數學習分式，類比有理數學習實數，類比全等三角形學習相似三角形，類比同類項學習二次根式等。

二、在應用題教學中巧妙引入類比推理。解題教學是數學教學的重要組成部分。在解題教學中，教師可運用類比的方法，挖掘教材的潛力，培養學生的類比能力。在選擇試題、編擬試題等方面有意識地設計一些可以運用類比方法解決的問題，強化學生對類比方法的應用。

例如，在教學“實際問題與一元一次方程”時，教師可以出示有一定挑戰性的問題：

問題1：李老師為學生去買書，他帶的錢正好可買15本語文書或24本數學書，如果李老師買了10本語文書后，剩下的錢全部買數學書，可以買幾本？

這道題有一定的難度，難點在于，已知條件里沒有告訴李老師的總錢數，因而也就無法知道每本語文書和數學書的價格，不少同學因此解題“卡殼”。

這時，教師適時引入類比題目，換一種方法對學生進行引導。如：

問題2：有一項工作，甲單獨完成要10小時，乙單獨要15小時完成。現在甲先單獨做2小時，剩下的工作由乙單獨完成，那么乙還需要多長時間才能完成這項工作？

一些思維敏捷的學生稍加思索，馬上就知道這道題的出題意圖，但仍有一部分學生不知道這兩道題之間有什么聯系。這時，可向學生拋出如下問題：問題1中的總錢數是多少？問題2中的總工作量是多少？能否把問題1中的總錢數理解為總工作量？如果可以的話，那么問題1中的“帶的錢可買15本語文書或24本數學書”可以怎樣理解？

經過這樣的提示，一些學生通過類比推理，馬上領悟出可以把問題1理解成這樣一道工程問題：

一項工作，甲做15小時完成，乙做24小時完成，現在甲做10小時后，再由乙接著做，還需多長時間才能完成？

這樣思考求解，就簡單多了。

在數學解題過程中，當我們的思維受阻時，運用類比的方法，將已學的知識或已掌握的解題方法遷移過來，把這些類似進行比較并加以聯想，往往能實現知識的正遷移，從而“出奇制勝”。

責任編輯 嚴 芳