求解二維半線性微分方程多解問題的間斷Galerkin有限元方法*

楊 婧

（湖南農業大學理學院，湖南長沙 410128）

求解二維半線性微分方程多解問題的間斷Galerkin有限元方法*

楊 婧

（湖南農業大學理學院，湖南長沙 410128）

結合間斷Galerkin有限元和插值系數有限元方法計算二維半線性多解問題，并通過數值例子證實了方法的有效性.

半線性微分方程；多解；間斷Galerkin有限元；插值系數有限元

在科學和工程計算中半線性微分方程非常常見，它們往往有多個甚至無窮多個解.對于這些結構復雜的解，尤其是非穩定解，用數值方法進行求解，是一個具有挑戰性的重要課題.陳傳淼等［1］提出了一種用于計算多解的搜索延拓法，理論上能計算出任意高Morse指標的解，但實際上，當Morse指標很大時，解的圖形中含有很多陡峭的峰，數值解容易振蕩.

近三十年來，在橢圓方程、對流擴散方程、Hamilton方程、Maxwell方程等問題上取得卓越成效的間斷有限元方法［2，3］，在解決含有振蕩現象的問題中發揮著巨大的作用.間斷有限元方法既能保持傳統有限元方法的優勢，又能克服其不適于間斷問題的缺點，對于求解含邊界峰和內部峰的解是一個有效的方法［4］，所以本文結合插值系數有限元，采用間斷有限元方法計算半線性微分方程多解問題.

1 半線性橢圓問題的間斷有限元

我們在區域Ω＝（0，π）×（0，π）上討論以下Dirichlet問題

令q＝▽u，可將方程（1）改寫為

取試探函數v∈L2（Ω），r∈L2（Ω）2，分別與方程（2）中的前兩個方程相乘，然后在每個單元上進行分部積分，可得（2）的弱解形式

其中nk是邊界上的外法向向量.

記s（k）為對Ω剖分成的矩形網格T上的雙線性分片多項式空間，定義有限元空間MN＝｛q∈L2（Ω）2：q｜k∈s（k）2，?k∈T｝，VN＝｛u∈L2（Ω）：u｜k∈s（k），?k∈T｝，則有限元解qN∈MN，uN∈VN滿足弱解形式，且對任意的v∈VN，r∈MN有其中G為五對角塊陣，D為對角塊陣，U為未知向量.

2 數值例子

我們用前面敘述的間斷有限元和插值系數有限元方法實際計算半線性問題（1），最終轉化為用牛頓法求解一個非線性方程組（5），故有必要討論初值的選取.

圖1 λ11對應的解，N＝32

圖2 λ22對應的解，N＝32

圖3 λ12對應的解，N＝32

圖4 λ21對應的解，N＝32

從圖中可以看出，間斷有限元處理多解問題仍能體現出它的優點，它所計算出來的解沒有任何振蕩.但間斷有限元的缺點是計算量偏大，故可以考慮采用并行算法進行運算.

［1］陳傳淼，謝資清.非線性微分方程多解計算的搜索延拓法［M］.北京：科學出版社，2005.

［2］Cockburn B，Shu C.The local discontinuous Galerkin method for time－dependent convection－diffusion systems［J］.SIAM Journal on Numerical Analysis，1998，（6）：2440－2463.

［3］張作政.對流擴散方程間斷有限元方法的后驗誤差估計指［J］.長沙大學學報，2012，（2）：1－2.

［4］Xie Z，Zhang Z，Zhang Z.A numerical study of uniformsuperconvergence of LDGmethod for solving singularly perturbed problems［J］. Journal of Computational Mathematics，2009，（2－3）：280－289.

［5］Xie Z，Chen C.The interpolated coefficient FEM and its application in computing the multiple solutions of semilinear elliptic problems［J］.International Journal of Numerical Analysis and Modeling，2005，（1）：97－106.

（責任編校：晴川）

The DG M ethod for Solving M ultip le Solutions of Two－dimensional Sem ilinear Differential Equations

YANG Jing
（College of Science，Hunan Agricultural University，Changsha Hunan 410128，China）

In this paper，discontinuous Galerkin finite elementmethod and interpolated coefficient finite elementmethod are combined to solve two－dimensional semilinear problem with multiple solutions.Numerical results are presented to show the efficiency of the method.

semilinear differential equation；mutiple solutions；DGFEM；ICFEM

O241.81

A

1008－4681（2014）05－0001－02

2014－07－09

湖南農業大學青年科學基金（批準號：12QN28）資助項目.

楊婧（1982－），女，湖南長沙人，湖南農業大學理學院講師，碩士.研究方向：微分方程數值解.