接近凸雙調和多項式的構造

喬金靜，高紅亞

（河北大學數學與計算機學院，河北保定 071002）

接近凸雙調和多項式的構造

喬金靜，高紅亞

（河北大學數學與計算機學院，河北保定 071002）

主要介紹單位圓盤上一類保向接近凸的雙調和多項式.令上述雙調和多項式的次數趨于無窮，取極限，進而得到一類接近凸的雙調和映射.

雙調和映射；接近凸；雙調和多項式

MSC2010：30C45

解析函數是復分析中的主要研究對象.作為解析函數的推廣，復平面上的調和映射也越來越得到人們的關注.而作為調和映射的推廣，雙調和映射來源于許多物理問題，特別是流體力學和彈性問題，它在工程學和生物學都有許多重要的應用［13］，故它的研究具有明顯的應用特色.本文主要研究單位圓盤上的雙調和映射.

單葉（解析）多項式在驗證幾何函數論中的諸多猜測中發揮了作用，構造此類多項式的方法是經典的.而構造調和多項式和雙調和多項式的相關文獻很少.多項式的單葉性與其零點的位置關系密切.文獻［4］考慮了調和多項式解析部分的導數Q在單位圓盤無零點的情形，給出了一類保向的調和多項式.如果進一步規定該導數Q的零點都在單位圓周上，可得一類接近凸的調和多項式［5］.本文的主要目的是把上述結果推廣到雙調和映射的情形，構造一類接近凸的雙調和多項式.

1 預備知識

設f是定義在單位圓盤D＝｛z：｜z｜＜1｝上的復值調和函數，則f可表示為f＝h＋g，其中h，g在D上

解析.調和映射f局部單葉且保向的充分必要條件是JacobJf（z）是正的［67］，其中

單位圓盤D上的4次連續可微函數F是雙調和的當且僅當ΔF是調和的，即Δ（ΔF）＝0，且雙調和映射F具有表達式其中G和H是D上的復值調和映射.如果對于z∈D／｛0｝，F的Jacob

就稱雙調和映射F是保向的［89］.

在文獻［8，10］中，作者討論了形如式（1）的雙調和映射的性質，如單葉性和星形性，這里H（z）≡0.從而引出了形如F＝｜z｜2G的單葉保向的雙調和映射類.本文討論形如F＝｜z｜2G的雙調和映射.

如果區域Ω的補集可以由閉的半直線覆蓋，這里閉的半直線對應的開的半直線是不相交的，就稱區域Ω是接近凸的.如果單葉雙調和映射（或調和映射）映D到一個接近凸區域，就稱此雙調和映射（或調和映射）是接近凸的.

2 主要結果

［1］ HAPPEL J，BRENNER H.Low reynolds numbers Hydrodynamics［M］.Englewood Cliffs：Princeton-Hall，1965.

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［9］ ABDULHADI Z，ABU MUHANNA Y KHOURY S.On some properties of solutions of the biharmonic equation［J］.Appl Math Comput，2006，177：346 351.

［10］ ABU MUHANNA Y.On univalence of biharmonic maps［J］.Complex Var Elliptic Equ，2008，53：745 -751.

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（責任編輯：王蘭英）

Construction of certain close-to-convex biharmonic polynomials

QIAO Jinjing，GAO Hongya
（College of Mathematics and Computer Science，Hebei University，Baoding 071002，China）

A family of sense-preserving biharmonic polynomials that are close-to-convex on the unit disk is introduced.By taking limits as the degree of the polynomials tends to infinity，a family of close-toconvex biharmonic mappings is also obtained.

biharmonic mapping；close-to-convexity；biharmonic polynomial

O174

A

1000 -1565（2014）05 -0467 04

10.3969／j.issn.1000 -1565.2014.05.004

2013 06 -20

河北省自然科學基金青年科學基金資助項目（A2013201104）

喬金靜（1980-），女，河北館陶人，河北大學講師，博士，主要從事函數論研究.E-mail：mathqiao＠126.com