基于進化策略的頂張力立管海底井口布置方法研究

肖志國，羅 勇，李 欣

(上海交通大學海洋工程國家重點實驗室，上海 200240)

立管是連接海底井口與平臺的導管，用于生產、采油、注水、鉆井、修井和完井等。立管在工作時受風、浪、流以及平臺的運動的影響，工作環境十分復雜。立管的設計涉及到多方面的優化問題，包括立管壁厚、頂張力系統、井口布置、立管節、渦激振動抑制裝置的優化等［1-2］。

對于由多根立管組成的立管束，鑒于立管之間會形成遮蔽、尾流效應，以及考慮到立管間幾何、材料特性可能不同，此時立管之間容易發生碰撞。立管的碰撞可能在碰撞位置產生凹陷損傷。損傷區的局部變形和立管整體彎曲的相互作用會嚴重影響立管結構的極限承載能力，降低立管使用壽命，會對正常生產帶來嚴重的影響，應該要盡量避免立管間的碰撞。而隨著海洋石油工程邁向深水領域，立管長度急劇增加導致立管的柔性增加，這將增大立管間發生碰撞的可能性。

立管的碰撞主要受到立管材料特性、幾何參數、在平臺上和海底端口的布置以及立管頂張力的影響。其中設計時可以有效處理的是端口的布置和頂張力的大小。由于甲板上的立管端口布置通常受到平臺大小、平臺設備以及操作的限制，難以進行有效的設計來避免立管之間的碰撞，因此對于立管碰撞的避免則主要集中在對立管頂張力和立管海底端口布置的設計這兩方面。Yongjun Chen，Peimin Cao等［3］將立管設計限制條件量化標準進行簡化，并采用三角形法則，對立管的布置進行了研究，取得了很好的效果，但是采用這種方法得到的立管布置結果立管的位置是存在一定限制的，只能分布在特定的一些離散的位置上。

介紹采用演化策略(ES)進行立管海底端口布置設計。在對限制條件的處理上采用Yongjun Chen，Peimin Cao等的方法。

1 設計模型

在進行立管海底端口布置設計時，事實表明增大海底端口間距可以避免立管間的碰撞。但增大端口間距會帶來另外一個問題:會導致立管傾斜度的增加。而這一現象會對立管的受力以及正常工作帶來不利的影響，從優化單根立管的受力環境的角度來考慮，應該減小立管的傾角，最好的情況當然就是立管垂直于海底，因為這樣同時還有利于立管的安裝［4］。

這里出現了一個優化設計問題。為了減小立管間碰撞的發生，希望立管海底端口之間的間距越大越好，而為了使單根立管的受力更加均勻，希望立管是垂直于海底的，即立管海底端口之間的間距會等于平臺甲板上立管端口之間的間距，則與前者所要求的立管之間間距越大越好的限制是相矛盾的。

為了進行有效的設計，對問題進行量化，認為:為了減小立管之間碰撞發生的可能性，要求立管之間的間距必須大于一個閾值Dlimit;同時為了優化單根立管的工作環境，要求立管的傾角小于另一個閾值alimit。而問題是:在滿足這兩項要求的前提下尋找出一個有效的端口布置方案［3］。

這一問題用數學語言來描述即為:

其中，ai和Dij分別指第i根立管的傾角和第i根立管與第j根立管海底端口之間的距離;alimit和Dlimit分別指立管傾角的上限閾值和立管間距的下限閾值。

2 進化策略ES簡介

Evolution Strategy(ES)是在20世紀60年代初，柏林工業大學的I Rechenberg和H-P Schwefel等在進行風洞實驗時提出來的一種進化算法。ES的主要思想是模擬生物的變異進化來進行問題優化求解。問題的解決過程就是變異、選擇、進化不斷重復進行直至獲得最優解的過程［5］。

采用(μ，λ)-CMA-ES，該方法利用協方差矩陣來決定解的進化方向，可以獲得更快的收斂速度［6-7］。

3 使用ES進行井口布置

立管海底井口布置的數學模型如下:

目標函數:min:ai，max:Dij;限制條件:ai＜alimit，Dij＞Dlimit。其中，ai和Dij分別指第i根立管的傾角和第i根立管與第j根立管海底端口之間的距離。alimit和Dlimit分別指立管傾角的上限閾值和立管間距的下限閾值。

其中，xi，yi是第i根立管平臺上端口的x坐標和y坐標，Oxi，Oyi是第i根立管平臺上端口的x坐標和y坐標;L是第i根立管的長度。

3.1 某一根立管布置的優化求解

立管布置是一個多目標函數的優化問題，在優化其中某一根立管的位置時，優化目標為:最大化該立管與其他各立管之間間距以及最小化該立管的傾角。

多目標函數的優化求解，由于其特殊，在進行求解時，得到的多個解中會存在的現象是:某個解在某一個目標函數量化下比其他解要優秀，然而在其他目標函數下卻比其他解要差。即可能不存在一個解能實現在所有目標函數的量化下都達到最優。這就表明多目標函數優化求解可能不存在一個絕對最優解，而是有很多的有效解。而具體地哪些解能最好地滿足要求，則需要根據需要，考慮具體哪些目標函數更為重要來進行判斷。

對于多目標優化問題的求解，目前主要采用的方法是分層序列法和權函數法。分層序列法是將各目標函數按重要程度排序，分成不同的優先層，按層次優先次序，先對優先級最高的目標函數進行單一變量優化，然后優化次優先級的，如此進行下去得到優化解。權函數法是對各目標函數根據重要性賦予權重，然后將各目標函數進行加權組合成單一目標函數進行優化求解。兩種方法的實質都是將多目標優化問題轉化為單一目標問題進行求解。

對于由n根立管組成的系統，由于立管布置優化涉及到一部分目標函數要求最大化，一部分目標函數要求最小化，先將一類目標函數取倒，然后采用權函數法求解，在對第i根立管位置進行優化設計時，令:

其中，W為加權函數，Wa和WD稱為對應目標函數的權重，且滿足Wa+WD=1

從而將問題簡化為單目標函數的優化問題［8］:

然后采用ES進行單目標函數優化設計求解。對于ES來說，優化變量的初始值對最終結果不會產生影響，但是，通過設置合適的初始值，可以減少計算量，提高計算效率。在實際計算時，可以直接將立管下端端口坐標設置為與上端端口坐標相同，即初始認為立管完全豎直。W在這里將起到很重要的作用，通過調整Wa、WD的大小，可以獲得偏重于不同目標函數的解。當Wa較大時，立管的傾角將成為主要的優化目標函數，從而最終結果將傾向于使傾角變小，而這時立管海底端口間距將成為次要的目標函數。反之亦然。實際在設置加權因子時則需要根據具體需要來進行設置。

3.2 整個立管系統布置的優化求解

在對第i根立管優化求解之前，令目標函數初始值為:( fi)init、( Di)init、( ai)init。求解完成后，令得到的目標函數值為 ( fi)opt、( Di)opt、( ai)opt。

此時，若設:

其中，Si為除去第i根立管后剩余立管兩兩之間的距離之和。在優化求解第i根立管時，Si是始終保持不變的。

若以第i根立管優化求解后的立管系統的布置作為第i+1根立管優化求解的初始值。

在對第i+1根立管求解完成之后，

可以得到:若以第i根立管的優化后得到的立管系統的布置作為第i+1根立管優化求解的初值，在求解第i+1根立管之后，整個立管系統的布置是朝向更加優化的方向發展的。將這一過程循環進行，就可以保證整個立管系統不斷地像優化解的方向發展，直至收斂得到最優解。

因此，可以通過先固定其他變量，優化其中一個變量得到該變量的最優解，然后不斷循環，直到最終n個變量的解都收斂保持不變，并將這一過程重復多次的方法來篩選得到整體的最優解(見圖1)。因為在循環內每一次計算優化一個變量之后，都可以保證計算之后的結果要比計算之前的更加優秀，因而得到的最終收斂的結果一定是比之前的結果都要優秀的。若在多次重復這一過程的基礎上可以保證最終結果收斂到同一結果，則說明該結果比解域內的任何其他結果都要更加優秀，即說明該結果確是最優解。

對于n根立管組成的立管束，在確定第i根立管的坐標時，采取先固定其他立管的位置，在此條件下利用CMA-ES按照上面所述的數學模型進行該立管的位置優化，在得到第i根立管在此條件下的最優位置之后，再固定第i根立管，然后對第i+1根立管的位置坐標進行優化。如此循環進行下去，直到結果不再發生變化，即各根立管的位置坐標不再發生變化。則認為得到此條件下的n根立管的最優布置。

圖1 計算流程Fig.1 Calculation flow chart

由于ES是對整個平面進行優化來得到最優解，優化變量的初始值對最終的結果是不會產生影響的，但是，設置合理的初始值可以減少計算量，提高計算速度。對于某些加權因子W，在進行優化時，得到的多變量函數最終收斂的優化解可能是不滿足其中某些優化限制條件的。這時就需要不斷動態調整W的大小實現多目標所占權重的動態分配，直到最終的結果能夠滿足設計限制條件則停止。初始W的選取對于計算量的大小影響很大，對于W動態變化的調整函數，由于它控制了W動態變化的步長，因而對于它的設計也有很重要的意義，步長太大，可能會跳過最優解，步長太小，計算效率會很低下。至于該動態調整函數，則需要結合對結果進行預估來進行設計，以使該函數在可能出現最優解的地方將步長縮小，在其他地方則可以采用大步長，以提高計算效率。而對于目標函數的組合方式，由于該組合方式會影響到多個目標之間的平衡點，并且它將和權重一起影響其中的目標函數的的影響因子大小，所以也需要仔細設計，以使加權因子的動態調整能夠有效地引起最終結果的變化。

4 實例計算結果

Lingo［9］是美國LINDO公司推出的，可以方便和有效地構件和求解線性、非線性和整數最優化模型的功能全面的工具，包括功能強大的建模語言，以及一系列完全內置的求解程序［10］。

用Matlab［11］編程采用ES進行計算。

4.1 立管數目n=4

對于水深150 m，由4根立管組成的立管束，將立管下端的初始x、y坐標設置為上端的x、y坐標，Lingo計算結果如圖2所示。

使用ES進行優化計算得到的結果如圖3、4所示。

結果比較可知，采用ES計算出來的結果與Lingo計算得到的結果幾乎相同。但是所花費的時間要少得多。而從圖中也可以看到，立管海底端口在布置時，對于簡單的4根立管的情況，結果就是立管海底端口對稱地向外側展開，以達到在保證單根立管傾角不至于過大的同時，增大海底端口的間距。

圖2 Lingo計算得出的立管布置Fig.2 Layout calculated by Lingo

圖3 采用ES計算過程散點圖Fig.3 Scatterplot calculated using ES

4.2 立管數目n=6

對于水深150 m，由6根立管組成的立管束，將立管下端的初始x、y坐標設置為上端的x、y坐標，Lingo計算結果如圖5所示。

圖4 采用ES計算結果布置Fig.4 Layout calculated using ES

圖5 Lingo計算得出的立管布置Fig.5 Layout calculated by Lingo

使用ES進行優化計算得到的結果如圖6、7所示。

圖6 采用ES計算過程散點圖Fig.6 Scatterplot calculated using ES

圖7 采用ES計算結果布置Fig.7 Layout calculated using ES

而此時通過調整權重及目標函數的組合參數(增大距離所占權重)可以得到不同的結果，如圖8所示。

從圖中比較可以看出，采用ES的計算結果與采用Lingo的計算結果接近，但并不完全相同，但是采用ES用Matlab自行編程計算速度要快得多。Lingo不能處理多目標同時優化的問題，因而在計算時，采用將立管的角度限制在極限值之上，然后在此基礎上選出使距離最大的點出來。而采用ES計算時，由于采用的是將多目標組合優化簡化為單目標的優化問題，所以我們計算出來的實際上是滿足后面單一目標的優化解，得到的解依賴于所采用的多目標函數的組合方式以及權重的分配，通過調整權重及多目標函數的組合方式可以得到不同的結果。

圖8 調整參數后得到的布置Fig.8 Layout after adjusting the parameter

對于參數的調整帶來的不同結果，由于存在多個目標優化函數，在涉及那種結果更好的比較時，不同情況下可能側重點是不同的，所以無法一概而論的比較。關于多個目標函數的權重，即側重點，這里可以通過權重因子W來調整，但是實際上調整時是會受到所采用的多目標組合方式的限制的，即多目標的組合方式影響重大?？梢灾苯硬捎镁嚯x取倒數然后線性組合的方式，但這種方式在距離達到一定值之后，距離的增加所產生的它的倒數值的減小將微乎其微，這將限制結果的進一步優化，此時，則需要改變多變量的組合方式，增大距離這一優化變量的系數，以提高距離變化所帶來的影響。

4.3 立管數目較多時

在一個立管系統中，立管的數目可能會達到20根或更多［4］。當立管數較多時，不管是使用Lingo還是采用ES直接計算，計算量都會急劇上升，導致最終計算時間長(十幾個小時或者更多)，效率不高。因此對于立管數目較多的情況，采用分組ES計算的辦法，先將立管按空間位置分成幾組(組內立管應該是相臨的)，對每一組內數目較少的立管先采用程序進行計算，得到組內布置方案。然后將每一組僅用一根立管來代替(代替用的立管選擇每組內與其他組之間最相近的立管)，以構成簡化模型(有幾組就有幾根立管，但是分組后應使得模型盡量簡單，最好就是4組)，然后對簡化模型進行計算，再對計算結果以立管間距為目標函數劃定存在域(以保證域與域之間間距大于間距閾值如圖9數字1、2、3、4表示的區域)，將每一組立管放入該組立管的存在區域內(組內計算結果中代表該組的立管的底部端口與組間計算結果中該立管的底部端口位置應重合)，最后則參照傾角和間距進行每一組整體微調的辦法來得到結果，這樣可以大大減少計算所需時間(1分鐘以內計算完畢)。

對于水深150 m，含有立管數目為24的立管束。我們將立管分成4組(第1、2、3、4組)，每組6根立管。然后計算只有四根立管的情況，得到結果如圖9所示。

每一組的立管只能分布在該組的范圍之內，即第1組的立管只能分布在橫線標注區域的右上角，第2組立管只能分布在橫線標注區域的左上角，第3組立管只能分布在橫線標注區域的左下角，第4組立管只能分布在橫線標注區域的右下角，這樣即可以保證組與組之間的立管間距大于間距閾值。

再對只含有六根立管的情況進行計算。在得到了六根立管布置的計算結果(圖10)之后(這里選擇了間距所占權重更大的計算結果，該結果更利于組與組之間的協調)，將前后兩次計算的結果按前述方法進行合并后處理，得到立管束整體的布置結果(圖11)，其中，圖11(a)與圖11(b)的差別在于組內立管布置的方向不同，圖11(a)每組方向都相同，圖11(b)對左右兩邊的組則進行了鏡像處理。

采用Lingo進行計算得到的結果如圖12。

從以上結果中可以看到，采用分組求解的辦法可以得到接近于Lingo計算結果的一個布置方案。該方法可以提高計算效率，以更快地得到計算結果，但是，由于該方法進行了大量簡化，并且需要對結果進行后期組合、微調，以使結果滿足約束性要求，所以實際上得到的并不是最優的結果，而只是該結果的一個近似值。而不同的組合微調方式會得到完全不同的結果。

圖9 分組后四立管的布置(每一組的立管下端口只能分布在相應的組的范圍之內，圖中橫線和數字標注范圍)Fig.9 Layout of four risers after grouping(the risers in the same group must stay in the corresponding area，indicated by dash and numbers)

圖10 六根立管的布置Fig.10 Layout of 6 risers

圖11 結果進行組合之后得到的24根立管布置Fig.11 Layout of 24 risers after combination

圖12 Lingo計算所得立管布置Fig.12 Layout calculated by Lingo

5 結語

ES進行單目標優化計算是一種十分高效的方法，采用ES進行多目標的優化，經過實例計算，表明，該方法在可以解決立管底部端口海底的布置問題:

1)在立管數目較小時，可以快速高效地解決問題，但是當立管數目增加時，計算所花費的時間將會急劇增加。

2)多個目標函數組合時的權重W對最終結果的影響十分重要。通過調整W的分配，可以得到有不同偏重點的最終結果。權重W的動態調整函數需要結合對最優結果出現時W值的預估來進行設計，以保證該函數在關鍵位置步長足夠小，而其他位置步長則可以放大一些以提高計算速度。在計算時，多個目標函數之間的組合方式的選擇會對結果產生影響。若組合方式選擇不當，在W到達一定值之后，它對目標函數組合的影響將明顯降低。

3)在立管數目較多時，為了提高效率，采用分組簡化的方法，而當立管數目難以分組的時候(如23根)，這時候可以采用將立管數目擴展成容易分組的數目(如24)，然后在最終結果的基礎上進行處理。

［1］ Lixin Xu.Design optimization of top-tensioned risers for deepwater HPHT applications(PartⅠ)［C］//OMAE2010-20679.2010.

［2］ Lixin Xu.Design optimization of top-tensioned risers for deepwater HPHT applications(PartⅡ)［C］//OMAE2011-49550.2011.

［3］ Yongjun Chen，Peimin Cao.Top tensioned riser layout design optimization［C］//ISOPE.2011.

［4］ Arve Johan Kalleklev，Kim J Mork.Design guideline for riser collision［C］//Offshore Technology Conference Proceedings.2003:OTC15383.

［5］ 袁志發，周靜芋.多元統計分析［M］.北京:科學出版社，2002.(Yuan Zhifa，Zhou Jingyu.Multivariate Statistical Analysis［M］.Beijing:Science Press，2002.(in Chinese))

［6］ Nicolaus Hansen.The CMA Evolution Strategy:A Tutorial［M］.2011.

［7］ Christian Igel，Nikolaus Hansen，Stefan Roth.Covariance matrix adaptation for multi-objective optimization［J］.Evolutionary Computation，2007，15(1):1-28.

［8］ 劉淳安.動態多目標優化進化算法及其應用［M］.北京:科學出版社，2011.(Liu Chunan.Evolutionary Algorithm and Its Application in Dynamic Multi-objective Optimization［M］.Beijing:Science Press，2011.(in Chinese))

［9］ LINGO.User Manuel［M］.LINDO Systems Inc，2011.

［10］謝金星，薛 毅.優化建模與LINDO/LINGO軟件［M］.北京:清華大學出版社，2005.(Xie Jinxing，Xue Yi.Optimization Modeling with LINDO/LINGO［M］.Beijing:Tsinghua University Press，2005.(in Chinese))

［11］ Matlab.Help System［M］.The MathWorks Inc.，2009.