光鑷系統(tǒng)中一種亞像素位移測(cè)量方法研究

張曉林++趙志丹++王曉玲

摘 要：光鑷系統(tǒng)中光阱剛度系數(shù)的快速、準(zhǔn)確、高精度測(cè)量是光鑷進(jìn)行粒子定量操控的關(guān)鍵因素。本文給出了一種利用數(shù)字圖像相關(guān)匹配的方法實(shí)現(xiàn)亞像素的位移測(cè)量。為提高測(cè)量精度，此方法在捕獲過(guò)程中采集多幅圖像并以相鄰前一幅圖像作為模板去匹配下一幅圖像，以此類推，最后將每個(gè)增量位移場(chǎng)疊加作為最終的位移，同時(shí)在亞像素計(jì)算時(shí)采用較高精度的梯度法；為了提高計(jì)算速度，在整像素點(diǎn)匹配時(shí)，采用了動(dòng)態(tài)閾值序貫相似法。最后，通過(guò)模擬仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)此算法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明本算法比普通亞像素算法快1～2倍。

關(guān)鍵詞：亞像素位移測(cè)量 數(shù)字圖像相關(guān)法 序貫相似法 動(dòng)態(tài)閾值 梯度法

中圖分類號(hào)：TP2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2014）01（b）-0001-04

光鑷（Optical tweezers）又稱為單光束梯度力光阱，是一種利用高度聚焦的激光束形成的三維梯度勢(shì)阱來(lái)捕獲、操控微小粒子的技術(shù)[1]。光鑷自1986年由Arthur Ashkin[2]發(fā)明以來(lái)，以其非接觸、地?fù)p傷等優(yōu)點(diǎn)，已被廣泛應(yīng)用于物理學(xué)中的激光冷卻、膠體化學(xué)、生物醫(yī)學(xué)尤其是分子生物學(xué)等領(lǐng)域[3]，成為一項(xiàng)重要的研究工具。

光鑷的一個(gè)重要功能為微小力的測(cè)量，對(duì)光阱的剛度進(jìn)行標(biāo)定是光鑷測(cè)力的重要環(huán)節(jié)。標(biāo)定光阱剛度有許多方法，常用的有流體力學(xué)法、熱運(yùn)動(dòng)分析法、功率譜法和外加周期驅(qū)動(dòng)力法等[4～6]，文獻(xiàn)[7]詳細(xì)分析比較這四種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，其中流體力學(xué)法和熱運(yùn)動(dòng)分析法均需要CCD跟蹤微粒運(yùn)行軌跡，在微粒運(yùn)行一段期間內(nèi)拍攝大量的圖像，然后再對(duì)些圖像進(jìn)行后期處理。由此可知在硬件條件一定的情況下圖像亞像素分析對(duì)測(cè)量精度有著重大的意義。

亞像素位移測(cè)量的算法主要有如下幾種：亞像素灰度插值法[8]、曲面擬合法[9]、相關(guān)系數(shù)插值法，牛頓-拉普森[10]（Newton-Rapshon，簡(jiǎn)稱N-R）、基于梯度的方法；頻率相關(guān)法，后驗(yàn)概率算法，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法和基于迭代的最小二乘法[11]。這些算法測(cè)量精度所稱精度能到0.005～0.1pixel。常用的算法就三種，下面就簡(jiǎn)單的總結(jié)這三種算法的優(yōu)缺性：亞像素灰度插值法，計(jì)算量大，精度較低，一般較少直接使用；牛頓-拉普森是基于最優(yōu)化的思想，建立合理的位移和變形模型后然后進(jìn)多次迭代后然后求出其中的參數(shù)，由于迭代過(guò)程中要用到灰度插值，以及灰度的梯度插值，因此目前這個(gè)算法是精度最高的，但耗時(shí)也最長(zhǎng)。相關(guān)系數(shù)曲面擬合法，有著很強(qiáng)的抗噪性能，但計(jì)算精度比相關(guān)系數(shù)插值法略低。梯度法（又稱微區(qū)統(tǒng)計(jì)特性梯度法），其基本思想是微小物體的近似剛性位移后微小變形前后點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的灰度值保持不變。潘兵等人，指出梯度法與曲面擬合法具有相同的效率，且精度優(yōu)于相關(guān)系數(shù)曲面擬合[12]。

本文用圖像相關(guān)法[12]并利用位移場(chǎng)的連續(xù)性，設(shè)計(jì)了一套分步計(jì)算整像素位移、壓像素位移，最后將兩者疊加作為最終的位移，如圖1。在具體的計(jì)算過(guò)程中將集標(biāo)準(zhǔn)化協(xié)方差相關(guān)法，動(dòng)態(tài)閾值序貫相似法，梯度法眾多優(yōu)點(diǎn)集于一體。最后通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證算法的有效性和實(shí)驗(yàn)。

1 本文算法的計(jì)算流程

1.1 整像素位移測(cè)量

為了提高計(jì)算的效率和速度這里采用了動(dòng)態(tài)閾值序貫相似法（SSDA）[13]。下面給出動(dòng)態(tài)閾值SSDA算法大致流程：

（1）定義絕對(duì)誤差：

其中，，。

（2）在相鄰圖像中前一幅中取選定一塊大小和位置合適的圖像作為模板中心坐標(biāo)為；

（3）確定在后面一幅圖像中的搜索范圍（即子圖的遍歷范圍）；

（4）在后面一幅圖像中，計(jì)算模板圖像與初始位置子圖中所有像素點(diǎn)的的累加值，并將其作為閾值的初始值；

（5）計(jì)算模板和一個(gè)位置子圖中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的并累加記作；

（6）在計(jì)算并累加過(guò)程中比較與的大小，若在計(jì)算完每一行或一列后就立刻比較與，若，則停止計(jì)算，并將圖像子移動(dòng)到下一個(gè)位置，重復(fù)（4）計(jì)算，加快匹配速度；

（7）若再遍歷模板圖像與該位置子圖的所有像素點(diǎn)后，有，則用T更新，并記錄此子圖中心點(diǎn)的坐標(biāo)。

下面給出算法的具體流程如圖2所示。

1.2 亞像素位移的測(cè)量

為了獲取更高的精度，需要在正像素結(jié)果的基礎(chǔ)上進(jìn)一步進(jìn)行亞像素位移的求解，設(shè)變形前的圖像為，變形后的圖像為，分別為對(duì)應(yīng)于原圖像中所求位移點(diǎn)在變形的圖像中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的整像素位移，為對(duì)應(yīng)于整像素位移結(jié)果的亞像素位移。

當(dāng)選物體作微小位移時(shí)，且物體表面上任意一點(diǎn)在周圍的領(lǐng)域內(nèi)的元面積足夠小，則小面元可以看成近似剛體運(yùn)動(dòng)，亦元面內(nèi)所有的點(diǎn)的均勻相同的位移量。根據(jù)數(shù)字圖像基本假設(shè)，在微區(qū)內(nèi)，和有下面的關(guān)系：

同時(shí)，考慮到相關(guān)搜索對(duì)應(yīng)變的不敏感性，設(shè)真實(shí)位移為：

定義是微區(qū)內(nèi)的刻畫與的相似程度函數(shù)：

在微區(qū)內(nèi)，和相似程度最大，應(yīng)該滿足（4）式，此時(shí)應(yīng)該取駐值。

將（4）式待入中并進(jìn)一步表示的函數(shù)如下：

對(duì)應(yīng)真實(shí)的微小變形應(yīng)有：

本文中選取了公式（9）作為相似程度函數(shù)：

式中，為模板在點(diǎn)點(diǎn)處的灰度值，是變形子區(qū)在點(diǎn)處灰度值；分別是模板區(qū)域與變形子區(qū)的中像素灰度值的平均值。詳細(xì)的推導(dǎo)過(guò)程，見(jiàn)文獻(xiàn)[14]。

1.3 位移場(chǎng)的疊加

位移場(chǎng)疊加時(shí)考慮相鄰圖像之間的位置傳遞。例如，根據(jù)圖像1和圖像2，可以算出圖像2相對(duì)圖像1的位移增量為 ，其中是以圖像1為參考系的坐標(biāo)。同理由圖像2、圖像3，得出，其中是以圖像2為坐標(biāo)系，簡(jiǎn)單推導(dǎo)后得到圖像3相對(duì)圖像1的位移場(chǎng)為：

據(jù)此類推，可以得到任意一個(gè)圖像相對(duì)于第一副圖像的位移。

2 數(shù)值模擬

采用斯坦福大學(xué)Peng Zhou等人提出的算法[15]，生成標(biāo)準(zhǔn)散斑圖如圖3，每一幅圖大小為512×512，散斑的光強(qiáng)程高斯分布，散斑尺寸大小為4個(gè)像素，散斑數(shù)為1200，在水平方向移動(dòng)0～0.1pixel像素內(nèi)以0.01步長(zhǎng)生成9幅圖像，在0.1～1像素位移范圍內(nèi)以0.1為步長(zhǎng)，生成9幅圖像。同時(shí)在每幅圖像上取上5個(gè)不同位置的采用41×41模板，然后經(jīng)行統(tǒng)計(jì)分析，如圖4所示。endprint

由圖4可以看出，在理想的條件下，本文的亞像素有0.005pixel精度，單從精度要求上，滿足光鑷光鑷中對(duì)亞像素速位移精度的要求。同時(shí)發(fā)現(xiàn)在0～0.5pixel時(shí)，計(jì)算位移值大于設(shè)定位移值，而在0.5～1pixel時(shí)計(jì)算位移小于設(shè)定的位移值。設(shè)定位移在0.5pixel時(shí)出現(xiàn)反轉(zhuǎn)現(xiàn)象。

第二組實(shí)驗(yàn)，生成10幅散斑圖像，每幅圖像沿y軸上移動(dòng)移動(dòng)3.25 pixel，在x軸上外加一個(gè)隨機(jī)0.1*rand的小位移量作為步進(jìn)電機(jī)的運(yùn)作時(shí)的擾動(dòng)，同時(shí)兼顧電磁噪聲和其他噪聲，在后續(xù)的圖像中加均值為0，方差為0.01+0.01*rand高斯噪聲和噪聲密度0.01+rand*0.01的椒鹽噪聲如圖5所示。表1，采用相鄰的模板匹配得到的不同幀數(shù)上的匹配點(diǎn)的坐標(biāo)。圖5，微粒的不同時(shí)刻的相對(duì)位置顯示。

由第一幅到最后一幅在y軸理論位移量為256+9×3.25=285.250；本文提出的算法最后結(jié)果為：285.195，誤差值為0.055pixel；而直接用第一幅和最后一幅相關(guān)算出的位移為：285.097；與理論值相差為0.1530pixel。顯然本文提出的算法有較強(qiáng)的抗干擾性。

第三組實(shí)驗(yàn)，是比較在整像素點(diǎn)搜索采用動(dòng)態(tài)閾值的SSDA的和普通的搜索的時(shí)間，而亞像素點(diǎn)的計(jì)算采用相同算法。對(duì)比，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下表2。表格中的運(yùn)行時(shí)間是在CPU為Intel（R） Core（TM）2 T5870，主頻為2.00 GHz處理器，內(nèi)存大小為2 G，計(jì)算5次匹配所畫的時(shí)間。實(shí)際上程序運(yùn)行的時(shí)間取決于程序效率，編程語(yǔ)言、以及計(jì)算機(jī)硬件設(shè)備。本文算法基本比普通亞像素算法快1～2倍。倍數(shù)相差不明顯的原因是：亞像素計(jì)算的時(shí)間占整個(gè)計(jì)算時(shí)間很大的部分。

3 結(jié)論

由上面的分析可以得出，本文給出一種了利用圖像相關(guān)分析法通過(guò)整數(shù)像素位移場(chǎng)計(jì)算、亞像素位移計(jì)算、和位移場(chǎng)的疊加，來(lái)實(shí)現(xiàn)大位移場(chǎng)的高精度的亞像素位移測(cè)量的方法。在整像素的計(jì)算時(shí)采的動(dòng)態(tài)的閾值的序貫相似法能使整個(gè)匹配過(guò)程所花時(shí)間節(jié)省1～2倍；第二組實(shí)驗(yàn)中看出，粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)提高采集圖像的頻率能的改善測(cè)量精度，本文直接用起始位置和終點(diǎn)位置的圖像計(jì)算出的位移誤差是采集多張圖像和計(jì)算相鄰的位移最后按1.3所述疊加后位移出差的近似9倍。此外，雖然本文盡力考慮了各種的干擾影響，步進(jìn)電機(jī)的震動(dòng)，電磁脈沖的等，但是實(shí)際實(shí)驗(yàn)中的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如此，如細(xì)胞各自的布朗運(yùn)動(dòng)、焦平面的變化、光照的不均勻等。下一步工作應(yīng)在光鑷捕獲微粒實(shí)驗(yàn)中檢驗(yàn)本算法的性能。

參考文獻(xiàn)

[1] 余娜，蔡志崗，梁業(yè)旺，等.光鑷系統(tǒng)的組建及光阱效應(yīng)的觀察[J].大學(xué)物理，2010，29（3）：59-62.

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[15] Zhou P，Goodson KE.Subpixel displacement and deformation gradient measurement using digital image speckle correlation（DISC）[J].Opt.Eng.2001，40（8）：1613-1620（August 2001）.endprint

由圖4可以看出，在理想的條件下，本文的亞像素有0.005pixel精度，單從精度要求上，滿足光鑷光鑷中對(duì)亞像素速位移精度的要求。同時(shí)發(fā)現(xiàn)在0～0.5pixel時(shí)，計(jì)算位移值大于設(shè)定位移值，而在0.5～1pixel時(shí)計(jì)算位移小于設(shè)定的位移值。設(shè)定位移在0.5pixel時(shí)出現(xiàn)反轉(zhuǎn)現(xiàn)象。

第二組實(shí)驗(yàn)，生成10幅散斑圖像，每幅圖像沿y軸上移動(dòng)移動(dòng)3.25 pixel，在x軸上外加一個(gè)隨機(jī)0.1*rand的小位移量作為步進(jìn)電機(jī)的運(yùn)作時(shí)的擾動(dòng)，同時(shí)兼顧電磁噪聲和其他噪聲，在后續(xù)的圖像中加均值為0，方差為0.01+0.01*rand高斯噪聲和噪聲密度0.01+rand*0.01的椒鹽噪聲如圖5所示。表1，采用相鄰的模板匹配得到的不同幀數(shù)上的匹配點(diǎn)的坐標(biāo)。圖5，微粒的不同時(shí)刻的相對(duì)位置顯示。

由第一幅到最后一幅在y軸理論位移量為256+9×3.25=285.250；本文提出的算法最后結(jié)果為：285.195，誤差值為0.055pixel；而直接用第一幅和最后一幅相關(guān)算出的位移為：285.097；與理論值相差為0.1530pixel。顯然本文提出的算法有較強(qiáng)的抗干擾性。

第三組實(shí)驗(yàn)，是比較在整像素點(diǎn)搜索采用動(dòng)態(tài)閾值的SSDA的和普通的搜索的時(shí)間，而亞像素點(diǎn)的計(jì)算采用相同算法。對(duì)比，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下表2。表格中的運(yùn)行時(shí)間是在CPU為Intel（R） Core（TM）2 T5870，主頻為2.00 GHz處理器，內(nèi)存大小為2 G，計(jì)算5次匹配所畫的時(shí)間。實(shí)際上程序運(yùn)行的時(shí)間取決于程序效率，編程語(yǔ)言、以及計(jì)算機(jī)硬件設(shè)備。本文算法基本比普通亞像素算法快1～2倍。倍數(shù)相差不明顯的原因是：亞像素計(jì)算的時(shí)間占整個(gè)計(jì)算時(shí)間很大的部分。

3 結(jié)論

由上面的分析可以得出，本文給出一種了利用圖像相關(guān)分析法通過(guò)整數(shù)像素位移場(chǎng)計(jì)算、亞像素位移計(jì)算、和位移場(chǎng)的疊加，來(lái)實(shí)現(xiàn)大位移場(chǎng)的高精度的亞像素位移測(cè)量的方法。在整像素的計(jì)算時(shí)采的動(dòng)態(tài)的閾值的序貫相似法能使整個(gè)匹配過(guò)程所花時(shí)間節(jié)省1～2倍；第二組實(shí)驗(yàn)中看出，粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)提高采集圖像的頻率能的改善測(cè)量精度，本文直接用起始位置和終點(diǎn)位置的圖像計(jì)算出的位移誤差是采集多張圖像和計(jì)算相鄰的位移最后按1.3所述疊加后位移出差的近似9倍。此外，雖然本文盡力考慮了各種的干擾影響，步進(jìn)電機(jī)的震動(dòng)，電磁脈沖的等，但是實(shí)際實(shí)驗(yàn)中的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如此，如細(xì)胞各自的布朗運(yùn)動(dòng)、焦平面的變化、光照的不均勻等。下一步工作應(yīng)在光鑷捕獲微粒實(shí)驗(yàn)中檢驗(yàn)本算法的性能。

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[15] Zhou P，Goodson KE.Subpixel displacement and deformation gradient measurement using digital image speckle correlation（DISC）[J].Opt.Eng.2001，40（8）：1613-1620（August 2001）.endprint

由圖4可以看出，在理想的條件下，本文的亞像素有0.005pixel精度，單從精度要求上，滿足光鑷光鑷中對(duì)亞像素速位移精度的要求。同時(shí)發(fā)現(xiàn)在0～0.5pixel時(shí)，計(jì)算位移值大于設(shè)定位移值，而在0.5～1pixel時(shí)計(jì)算位移小于設(shè)定的位移值。設(shè)定位移在0.5pixel時(shí)出現(xiàn)反轉(zhuǎn)現(xiàn)象。

第二組實(shí)驗(yàn)，生成10幅散斑圖像，每幅圖像沿y軸上移動(dòng)移動(dòng)3.25 pixel，在x軸上外加一個(gè)隨機(jī)0.1*rand的小位移量作為步進(jìn)電機(jī)的運(yùn)作時(shí)的擾動(dòng)，同時(shí)兼顧電磁噪聲和其他噪聲，在后續(xù)的圖像中加均值為0，方差為0.01+0.01*rand高斯噪聲和噪聲密度0.01+rand*0.01的椒鹽噪聲如圖5所示。表1，采用相鄰的模板匹配得到的不同幀數(shù)上的匹配點(diǎn)的坐標(biāo)。圖5，微粒的不同時(shí)刻的相對(duì)位置顯示。

由第一幅到最后一幅在y軸理論位移量為256+9×3.25=285.250；本文提出的算法最后結(jié)果為：285.195，誤差值為0.055pixel；而直接用第一幅和最后一幅相關(guān)算出的位移為：285.097；與理論值相差為0.1530pixel。顯然本文提出的算法有較強(qiáng)的抗干擾性。

第三組實(shí)驗(yàn)，是比較在整像素點(diǎn)搜索采用動(dòng)態(tài)閾值的SSDA的和普通的搜索的時(shí)間，而亞像素點(diǎn)的計(jì)算采用相同算法。對(duì)比，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下表2。表格中的運(yùn)行時(shí)間是在CPU為Intel（R） Core（TM）2 T5870，主頻為2.00 GHz處理器，內(nèi)存大小為2 G，計(jì)算5次匹配所畫的時(shí)間。實(shí)際上程序運(yùn)行的時(shí)間取決于程序效率，編程語(yǔ)言、以及計(jì)算機(jī)硬件設(shè)備。本文算法基本比普通亞像素算法快1～2倍。倍數(shù)相差不明顯的原因是：亞像素計(jì)算的時(shí)間占整個(gè)計(jì)算時(shí)間很大的部分。

3 結(jié)論

由上面的分析可以得出，本文給出一種了利用圖像相關(guān)分析法通過(guò)整數(shù)像素位移場(chǎng)計(jì)算、亞像素位移計(jì)算、和位移場(chǎng)的疊加，來(lái)實(shí)現(xiàn)大位移場(chǎng)的高精度的亞像素位移測(cè)量的方法。在整像素的計(jì)算時(shí)采的動(dòng)態(tài)的閾值的序貫相似法能使整個(gè)匹配過(guò)程所花時(shí)間節(jié)省1～2倍；第二組實(shí)驗(yàn)中看出，粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)提高采集圖像的頻率能的改善測(cè)量精度，本文直接用起始位置和終點(diǎn)位置的圖像計(jì)算出的位移誤差是采集多張圖像和計(jì)算相鄰的位移最后按1.3所述疊加后位移出差的近似9倍。此外，雖然本文盡力考慮了各種的干擾影響，步進(jìn)電機(jī)的震動(dòng)，電磁脈沖的等，但是實(shí)際實(shí)驗(yàn)中的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如此，如細(xì)胞各自的布朗運(yùn)動(dòng)、焦平面的變化、光照的不均勻等。下一步工作應(yīng)在光鑷捕獲微粒實(shí)驗(yàn)中檢驗(yàn)本算法的性能。

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