航向數據混沌特性分析及預測

黎才鑫等

摘 要：慣導系統輸出航向數據具有混沌特性，應用混沌理論對其進行分析，采用C?C方法重構相空間，在此基礎上分別通過定性與定量方式分析其混沌特性并計算最大Lyapunov指數。以相空間重構后的時間序列為變量輸入，采用RBF神經網絡預測航向數據，結果表明其預測精度優于未經相空間重構的直接預測法。

關鍵詞： 航向數據； 混沌特性分析； 相空間重構； RBF神經網絡； Lyapunov指數

中圖分類號： TN911.7?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）19?0128?04

Analysis and prediction for chaotic characteristics of course data

LI Cai?xin1， LI Tian?wei1， GUO Jiao2， MENG Fan?jun1

（1. Department of Navigation， Dalian Naval Academy， Dalian 116018， China； 2. Department of Basic， Dalian Naval Academy， Dalian 116018， China）

Abstract： Since the course data from INS features chaotic property， the chaos theory is applied to its analysis and C?C method is used for reconstructing the phase space of course data. Based on this， not only different methods are adopted to conduct qualitative and quantitative analyses of chaos characteristics， but also its maximum Lyapunov exponent is calculated. Taking the time sequence after phase space reconstruction as variable input， RBF neural network is used to predict course data， the test result shows that its prediction accuracy is superior to that of the traditional RBF neural network without the phase space reconstructing.

Keyword： course data； chaotic characteristic analysis； phase space reconstruction； RBF neural network； Lyapunov exponent

慣性導航系統輸出數據的準確性與艦船安全航行息息相關，其數據精度取決于陀螺儀自身的漂移誤差、結構形變以及濕度、溫度等參量[1]，并且與之存在著顯著的非線性關系。通過分析數據，判斷系統運動特性，短時預測系統行為，進而為修正系統誤差提供基礎。目前以參數辨識為主的分析方法需要通過理想化部分參量的數值進而簡化原系統建模，顯然降低了模型對原系統的擬合度?；煦缣匦苑治隼碚摓榻鉀Q這類非線性問題提出了一種新方法。慣導航向輸出數據可以看作是一個多種相關量綜合作用下的非線性混沌時間序列，輸出數據通常會表現出極其復雜而難以長期精確預測的演化特征，利用混沌理論中的相空間重構方法，可將輸出數據時間序列擴展到高維相空間，體現時間序列信息后再進行短時預測 [2?6]。

1 航向數據的相空間重構

1.1 實測航向數據

本文采用慣導系統在航向074°的導航狀態上保持5 h，去除暫態數據后，由監控計算機實時采集的實測航向數據，數據的時間序列采樣間隔為5 s，采樣時間約為2.7 h。所得數據如圖1所示。

1.2 相空間重構

復雜非線性系統的變量通常具有低可測行、初值敏感性、非平穩、非線性等特征，一般只能觀測到其中某一分量的離散樣本序列，例如文中航向數據時間序列，分析這類數學模型未知的非線性動力系統混沌特性時，為了從時間序列中得到必要的信息，首先需要進行合理的相空間重構。時間序列本身蘊含了組成動力系統全部變量的相關信息，所以根據一個變量的時間序列可以重構系統的相空間，通過分析變量的分量數據，將其在固定時間延遲點的觀測量作為新坐標，可張成一個多維狀態空間，稱為重構的相空間，即1981年Takens提出的延遲坐標法[7]。其中相空間的維數稱為嵌入維數，用[m]表示，固定的時間延遲稱為嵌入延遲，用[τ]表示，則相空間的重構矢量[Xi]即為：

[Xi=xi，xi+τ，xi+2τ，…，xi+（m-1）τ， i=1，2，…，N-（m-1）τ] （1）

重構后的相空間即為：[X=X1X2…XMT， M=N-（m-1）τ] （2）

重構后的相空間[Xi]為一個[M×m]的矩陣，根據Takens定理，可以在拓撲等價的意義下恢復吸引子的動力學特征，從而識別原動力學系統的基本特性。

1.3 C?C方法

相空間重構有多種方法，1999年Kim H.S.等人提出了基于統計學理論的 C?C方法[8]，該方法易于操作，計算量小，在實際使用中有較好的效果，本文采用該方法進行相空間重構。對于重構后的相空間[X]（如式2），其關聯積分定義為：

[C（m，N，r，t）=2M（M-1）1≤i≤j≤MMθ（r-Xi-Xj）， M=N-（m-1）t] （3）

式中：[t]為序列拆分數；[N]為時間序列長度；[r]為半徑。用一個線性區域的斜率近似表示關聯維，當[N=tl]時，[l=Nt]是子序列長度，將長度為[N]的時間序列分為[t]個不相交的子序列，令[N→∞，]每個子序列[S（m，N，r，t）]可化為[S（m，r，t）：]

[S（m，r，t）=1tS=1tCs（m，r，t）-CmS（1，r，t）， m=2，3，…] （4）

式中：[Cs（m，r，t）]表示計算以嵌入維數[m]重構拆分后的子序列的關聯積分，子序列時間延遲為1；[CmS（1，r，t）]表示計算拆分后子序列關聯積分的[m]次方，[S]表示拆分后的子序列。選取最大和最小兩個半徑[r，]計算差量為：

[ΔS（m，t）=maxS（m，rj，t）-minS（m，rj，t）] （5）

應用統計學BDS理論[9]可以得到[N，][m]和[r]的值，Brock等人所做的關于幾種重要漸進分布的數學統計結果表明，當[2≤m≤5， σ2≤r≤2σ， N≥500]時，漸進分布可以通過有限序列得到很好的近似，并且[S（m，N，r，1）]能有效的代表序列的相關性，根據統計結論，取[m=2，3，4，5， ][rj=iσ2，][ i=1，2，3，4， ][σ]為時間序列標準差[10]，計算：

[S（t）=116m=25j=14S（m，r，t）] （6）

[ΔS（t）=14m=25ΔS（m，t）] （7）

[Scor（t）=ΔS（t）+S（t）] （8）

航向數據時間序列的[ΔS（t），][Scor（t）]變化曲線如圖2所示。計算可得到航向數據時間序列的時間延遲[τ]=16，嵌入維數[m=6。]

2 航向數據混沌特性分析

由于測量原理及工具的限制，使得時間序列不可避免地帶有噪聲。因此如何將服從一定規律的信號（如混沌信號）與無規律的噪聲相區分是分析時間序列特性的關鍵。分析混沌時間序列的方法主要有主分量分析方法、功率譜分析方法、最大Lyapunov指數法、龐加萊截面法、飽和關聯維數法等，由于這些方法都是從某一方面對序列進行判別，是判斷序列是否混沌的必要條件，因此需要采取多種方法結合的方式，以確保判別的準確性。本文采用功率譜分析方法、主分量分析方法和最大Lyapunov指數方法分別分析航向數據時間序列的特性。

2.1 功率譜分析

在一些物理現象中，頻率[f]與相應的功率[E（f）]之間具有指數關系，功率譜的冪函數形式表明，雖然頻率[f]在空間中跨越很寬的尺度，但其結構卻有自相似的特征[10]，因此，看上去不規則的時間序列圖像，其功率譜卻可能呈現出規則性。一般地，功率譜具有單峰（或多個峰）的譜圖對應于周期序列（或擬周期序列）；無明顯的峰值或峰連成一片，則對應于湍流或混沌序列。所以，可用功率譜分析作為判斷序列混沌的一種方法[11?12]。

圖3是航向數據時間序列功率譜分析圖，從圖中可以看出，航向數據時間序列的功率譜圖無明顯峰值，表明該時間序列具有混沌特性。

2.2 主分量分析

主分量分析（PCA分布）方法是近年來提出的一種能有效識別與分析混沌和噪聲的方法[13]，由于混沌信號和噪聲的主分量分布之間存在著顯著差異，混沌信號的主分量譜圖是一條近似直線（或含有類似直線的部分），其斜率為負值且過定點，而噪聲信號的主分量譜圖是一條與[x]軸接近平行的直線，所以可用于判斷所采集的航向數據時間序列是否為混沌時間序列。

對所采集的航向數據繪制時間序列的主分量譜圖，如圖4所示，從圖中可以看出，對所得到的嵌入維數[m]（m=6）進行相空間重構后，繪制的主分量譜圖存在斜率為負值的直線部分，這個結果可以作為一個必要條件證明航向數據時間序列具有混沌特性的。

2.3 最大Lyapunov指數

以上兩種方法是通過定性分析判斷混沌特性的，而最大Lyapunov指數方法則通過定量分析判斷混沌特性。混沌運動具有初值敏感性的特點，因此即使兩個初值較為靠近，隨著時間的推移，其產生的軌道仍會按指數方式分離，這一現象可采用Lyapunov指數定量描述[14]。若最大Lyapunov小于零，意味著初始相鄰點經迭代后最終要靠攏合并成一點，對應于穩定的不動點或周期運動；若最大Lyapunov大于零，意味著相鄰點最終要分離，對應于軌道的局部不穩定，或在整體穩定因素作用下反復折疊形成混沌吸引子。因此，最大Lyapunov指數可作為判斷時間序列混沌特性的一個條件。

本文采用小數據量算法[15]計算航向數據時間序列的最大Lyapunov指數（用[λ1]表示），通過小數據量算法計算經過C?C方法重構相空間的航向數據時間序列，得到[λ1=0.001 278 2，][λ1]>0，即最大Lyapunov指數大于零，說明所采集的航向數據時間序列具有混沌特性。

對于一個混沌系統，通常將最大Lyapunov指數的倒數作為該系統確定性預測時間的上界，即：

[T=1λ1] （9）

當預測時間在該時間尺度內時，預測誤差會隨著預測步長平穩增大；當超過該界限時，誤差會倍增，使預測結果失去意義。利用上文計算結果，可得預測時間尺度為[T=782。]

3 航向數據時間序列預測

由于混沌系統的運動狀態會受到初值的影響，難以對其進行長期預測，但是在短時間內系統軌道比較穩定，且混沌時間序列內部有一定的規律性，因此可利用神經網絡的非線性擬合能力、自組織、自學習特點，對混沌系統進行短時預測，本文采用具有較好的收斂速度、擬合能力以及更高預測精度的徑向基函數（RBF）神經網絡預測航向數據時間序列[16]，將相空間重構后的矢量作為輸入數據，神經元數目與嵌入維數[m]相等。采用圖1中1 700點樣本序列進行分析，前1 500點用于訓練神經網絡，后200點用于校驗神經網絡精度。使用前面的計算結果，取時間延遲[τ]=16，嵌入維數[m=6。]將基于RBF神經網絡的預測航向和實測航向對比，通過均方根誤差（Root Mean Square Error of Prediction，RMSE）衡量預測效果。

[RMSE=i=1N（xi-xi）2N] （10）

式中：[xi]為預測航向；[xi]為實測航向。經計算，直接使用RBF神經網絡預測數據的RMSE標準差為0.0711，經相空間重構后使用RBF神經網絡預測數據的RMSE標準差為0.052 1?？梢姡涍^相空間重構后可使預測精確度提高1.36倍。圖5為經相空間重構后的航向數據預測結果與實際數據比較。

4 結 語

將航向數據作為具有混沌特性的時間序列處理，通過各自獨立的方法從定性與定量兩方面驗證其輸出數據的混沌特性，避免了單一方法所導致的分析偏差，并計算得最大Lyapunov指數為0.001 278 2，將經過相空間重構后的數據時間序列用于訓練RBF神經網絡并進行數據預測，與傳統的直接預測方法相比，預測精度有所提高，準確預測航向數據可為誤差修正提供參考。由于本文數據樣本有限，所以該方法應用范圍及適用性還有待于進一步實驗驗證。

參考文獻

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[RMSE=i=1N（xi-xi）2N] （10）

式中：[xi]為預測航向；[xi]為實測航向。經計算，直接使用RBF神經網絡預測數據的RMSE標準差為0.0711，經相空間重構后使用RBF神經網絡預測數據的RMSE標準差為0.052 1。可見，經過相空間重構后可使預測精確度提高1.36倍。圖5為經相空間重構后的航向數據預測結果與實際數據比較。

4 結 語

將航向數據作為具有混沌特性的時間序列處理，通過各自獨立的方法從定性與定量兩方面驗證其輸出數據的混沌特性，避免了單一方法所導致的分析偏差，并計算得最大Lyapunov指數為0.001 278 2，將經過相空間重構后的數據時間序列用于訓練RBF神經網絡并進行數據預測，與傳統的直接預測方法相比，預測精度有所提高，準確預測航向數據可為誤差修正提供參考。由于本文數據樣本有限，所以該方法應用范圍及適用性還有待于進一步實驗驗證。

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[RMSE=i=1N（xi-xi）2N] （10）

式中：[xi]為預測航向；[xi]為實測航向。經計算，直接使用RBF神經網絡預測數據的RMSE標準差為0.0711，經相空間重構后使用RBF神經網絡預測數據的RMSE標準差為0.052 1?？梢?，經過相空間重構后可使預測精確度提高1.36倍。圖5為經相空間重構后的航向數據預測結果與實際數據比較。

4 結 語

將航向數據作為具有混沌特性的時間序列處理，通過各自獨立的方法從定性與定量兩方面驗證其輸出數據的混沌特性，避免了單一方法所導致的分析偏差，并計算得最大Lyapunov指數為0.001 278 2，將經過相空間重構后的數據時間序列用于訓練RBF神經網絡并進行數據預測，與傳統的直接預測方法相比，預測精度有所提高，準確預測航向數據可為誤差修正提供參考。由于本文數據樣本有限，所以該方法應用范圍及適用性還有待于進一步實驗驗證。

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