EMD-ARI模型在大壩滲流預報中的應用研究

劉彩花，景 浩，成一雄，牛 月

（太原理工大學水利科學與工程學院，山西 太原 030024）

國內外統計資料顯示，地下滲漏引起大壩發生安全事故的概率為20%，失事原因為滲流量增大、滲透坡降加大等[1]。我國1981年的調查結果表明，31.7%的大壩安全事故是由滲漏管涌引起的[2]。因此，對大壩進行滲流監測，通過建立恰當模型來監控大壩運行狀態、預測大壩未來運行性狀意義重大。

由于滲流序列體現出復雜的非線性、非平穩特征，可能包含周期性、趨勢性及隨機波動等成分，因此聯合運用多種理論分析方法建立耦合模型取代單一模型預測成為研究趨勢。本文利用經驗模態分解法 （Empirical Mode Decomposition，EMD） 具有秉留原數據屬性的特點及時間序列ARI(Auto Regressive Integrated)模型具有預測精度較高與先進統計性的優勢，提出了EMD-ARI滲流耦合模型，將此模型應用于汾河水庫左壩岸滲流量的預報中，并將預報結果與ARI單一時序模型的預報結果進行比較和分析，以期為大壩安全運行狀態監控及模型構建提供參考。

1 理論分析方法

1.1 EMD-經驗模態分解法

EMD[3]可將原始序列分解為若干階頻率不同的固有模態函數 (Intrinsic Mode Function，IMF)和一階趨勢項，分解步驟為:

（1）找出原始序列x（t）全部極大值點，進行3次樣條函數法插值，得各時刻上、下包絡線值xmax（t）、xmin（t） 及包絡線均值 m（t）

（2） 求類距平值函數 h（t）

判斷h（t）是否為固有模態函數的依據為:①h（t）函數的極值點個數與跨零點個數相等或僅相差1；②m（t）恒等于零。滿足則h（t）為固有模態函數，否則將 h（t）作為原始序列重復步驟 （1）、（2），直至同時滿足①、②為止。得到的一階固有模態函數I1（t）及剩余值序列為

（3）以r1（t）為新序列，重復以上步驟，直至分解出所有階IMF分量及一階趨勢項r（t）。

1.2 求和自回歸模型ARI(p,d)

ARI[4,5]（p,d）模型是d次差分運算與AR（p）模型的組合，表達式為:

式中，Xt為原序列；φ1,φ2,…,φp為自回歸系數；p 為自回歸模型階數；B為后移算子；B的次數表示后移期數；d為差分運算次數；Φ(B)為自回歸系數多項式；at為零均值白噪聲序列。

2 汾河水庫E MD-ARI滲流模型開發

2.1 工程簡介

汾河水庫建于1958年，為大 (二)型水利樞紐，具有發電、防洪、灌溉等綜合效益。水庫于1990年建立了大壩滲流自動觀測系統，監測內容包括左右壩基滲流、左壩岸滲流、古河床壩體繞滲、浸潤線等，其中，左壩岸滲流采用三角堰觀測，觀測頻率為每周一次，觀測設備完好。本文采用2010年7月2日～2012年11月17日汾河水庫左壩岸共125組滲流監測數據進行模型構建；采用2012年11月24日～2012年12月29日汾河水庫左壩岸共6組滲流監測數據檢驗模型擬合結果與預報精度，部分滲流監測數據如表1所示。

表1 汾河水庫左壩岸部分滲流量監測數據L·s-1

2.2 EMD分解

基于MATLAB平臺對汾河水庫左壩岸滲流序列進行EMD分解，分解結果如圖1所示。分解得4階IMF分量與趨勢項，經Hilbert變換及倒數運算后求得 4階 IMF分量的平均周期分別為 23.8、43.6、148、222.7天，表明滲流序列可能存在23.8、43.6、148、222.7天這4個波動周期；1階趨勢項總體呈上升趨勢，表明汾河水庫左壩岸滲流量有隨時間推移增加的趨勢。

圖1 汾河水庫左壩岸滲流序列EMD分解結果

2.3 IMF分量及趨勢項擬合

應用Fourier級數對4階IMF分量進行周期擬合[6]，不考慮均值項的擬合結果為

應用線性方程對趨勢項進行擬合，擬合結果為

式中，t為滲流量序列時間序號(1，2，…，125)。

2.4 剩余值序列ARI模型建立

水庫滲流序列經提取可能周期與趨勢項后得剩余值序列，對其進行時序分析建立ARI模型的步驟[7]為:

（1）剩余值序列平穩性檢驗。ADF單位根檢驗結果表明剩余值序列顯著非平穩，一階差分后平穩。

（2）差分序列的純隨機性檢驗。采用LB檢驗統計量對差分后的剩余值序列進行純隨機性檢驗,檢驗結果為LB統計量的P（Pr>ChiSq）值均小于0.05，說明該序列為非白噪聲序列，滿足時序建模條件。

（3）差分序列擬合AR模型。模型階數由BIC準則確定，BIC值最小時相應模型階數最優，其表達式如下

式中，BIC為信息準則函數；N為序列長度；p為模型階數；C為常數；為模型殘差方差的極大似然估計值。

根據BIC準則確定最優模型為AR（2），模型參數經檢驗極顯著，還原差分后得ARI（2，1）模型表達式為

（2） 模型殘差檢驗。 ARI（2，1）模型殘差的檢驗結果為LB檢驗統計量的P（Pr>ChiSq）值均大于0.05，表明ARI(2，1)模型適合滲流序列。

2.5 汾河水庫EMD-ARI模型建立

汾河水庫EMD-ARI模型的結構為

式中，yt為汾河水庫左壩岸滲流量序列；aj、bj為相應各階IMF分量的傅氏系數；ωj為相應各階IMF分量的角頻率；ci為趨勢項各項系數；ut為汾河水庫左壩岸滲流量剩余值序列；φk為時間序列ARI模型參數；ut-k為t-k時刻的剩余值序列；εt為模型殘差項。

基于SAS軟件平臺運用Gauss-Newton[9]（高斯-牛頓）法對全部參數進行重構，所得EMD-ARI模型參數重構的最小二乘估計值如表2、3、4所示。

表2 IMF分量傅氏系數

表3 趨勢項系數

表4 ARI模型參數

汾河水庫EMD-ARI模型的回歸方程為

3 汾河水庫ARI滲流模型開發

水庫左壩岸滲流序列只進行時序分析，經平穩性與隨機性檢驗后確定最優模型為ARI(2,1)，對模型參數進行條件最小二乘檢驗，檢驗結果如表5所示。

表5 條件最小二乘結果

由表5可知，t檢驗統計量的P(Pr>|t|)值全部小于檢驗水平0.01，模型參數均極顯著，將一階差分還原后得ARI(2,1)模型的表達式為

式中，yt為汾河水庫左壩岸滲流量序列；yt－1為t-1時刻滲流量序列；yt－2為 t-2時刻滲流量序列；yt－3為t-3時刻滲流量序列；εt為模型殘差項。

經參數檢驗后對ARI(2,1)模型進行殘差檢驗，檢驗結果如表6所示。

從表6可以看出，ARI（2，1）模型殘差的LB檢驗統計量的P（Pr>ChiSq）值均大于0.05，殘差序列為白噪聲，表明滲流序列可建立ARI（2,1)模型。

表6 ARI(2,1)模型殘差自相關檢驗

表7 滲流模型預報誤差分析

圖2 EMD-ARI滲流模型擬合

圖3 ARI滲流模型擬合

4 汾河水庫滲流模型預報結果的對比分析

（1）EMD-ARI模型與ARI模型的擬合結果分別如圖2、3所示。從圖2和圖3可以看出，兩個模型的預報值與實測值的吻合度均較高、擬合效果均較好。

（2）EMD-ARI模型與ARI模型的預報結果如表7所示。由表7可知，①EMD-ARI模型其預報值與實測值的相對誤差E總體偏小；②EMD-ARI模型第6步預測的相對誤差E為7.56%，小于ARI模型的11.65%；④E<10時EMD-ARI模型的預報合格率為100%，高于ARI模型的83%；④E<15，E<20時兩模型的預報合格率均為100%，滿足相對誤差E小于20%的要求。

5 結 論

（1）汾河水庫左壩岸滲流序列經EMD分解，得4階IMF分量與1階趨勢分量，4階IMF分量表征滲流序列可能具有的4個周期成分，1階趨勢分量表明滲流量隨時間推移增加。

（2）EMD-ARI模型與ARI模型的相對誤差呈先增后減再突變增趨勢，即相對誤差表現為跳躍特征，且第6步預測的相對誤差的突變增表明隨預測步長的增大模型預測精度降低。

（3）本文1步預測的時間間隔為7天，ARI模型第6步預測的相對誤差為11.65%，誤差較大，因此適用于進行5步預測，即預測汾河水庫未來35天以內的左壩岸滲流量；EMD-ARI模型第6步預測的相對誤差為7.56%，預測精度較高，可對汾河水庫左壩岸滲流量進行6步預測。

（4）EMD-ARI滲流耦合模型的預報精度高于ARI滲流單一模型的預報精度，該法切實可行，可用于滲流預測。

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