不斷延伸的骨牌“跳臺”

林革

多米諾骨牌是一項挑戰智力、耐心和意志的益智游戲，許多張骨牌經過精心設計后挨個豎立，推倒第一張骨牌，其余骨牌發生連鎖反應依次倒下，形成各種各樣的圖案或花紋。

現在，假設你的面前有一堆多米諾骨牌，請你做最簡單的疊加，要求每兩塊之間要有一點錯位，最終堆起一個傾斜度盡可能大的多米諾骨牌“跳臺”（如圖1）。很明顯，類似于比薩斜塔，讓骨牌“跳臺”適當傾斜一定的角度而不至于倒下，是完全可以做到的。隨著“跳臺”高度的增加，“跳臺”最上端的骨牌與最下面的骨牌之間錯位距離會越來越大，疊加時需要越發小心翼翼，慢慢地一點一點錯開，稍不留神，骨牌“跳臺”就會土崩瓦解。

如果經過精心疊加后的骨牌“跳臺”，最上面的那塊在水平方向上與最底下的那塊錯開1塊骨牌的距離，即相當于最上面一塊骨牌已經完全懸空，這有可能嗎？如果骨牌“跳臺”最上面的那塊和最底下的那塊錯開2塊、4塊、甚至10塊……骨牌的距離，你覺得還有可能嗎？

我們通過計算驗證看看。

當兩塊骨牌疊加時，將上面那塊骨牌伸出一半，而且它不會倒下，這是大家都能做到的。我們知道，上面那塊骨牌的重心在它的正中間（圖2中的虛線），而一旦這條線超過下面骨牌的邊緣，“跳臺”就會瓦解。

接著，加上第三塊骨牌，把它放在最下端，距離合適就不會倒塌。上面兩塊骨牌的重心所在虛線，距離最底下骨牌一端的距離是[14]塊骨牌的長度（如圖3），這條虛線不超出最底下的骨牌，骨牌“跳臺”就不會倒塌。

為了盡可能增大傾斜的角度，就需要盡可能多地在下面加入更多骨牌，要把握的僅僅是：確保上面骨牌的重心不會超出最底下骨牌的支撐范圍即邊緣。這樣，骨牌跳臺伸展的幅度將越來越大。

圖4就是5塊骨牌形成的跳臺。從圖中不難看出錯位的規律，從上往下相鄰兩塊骨牌間伸出的距離分別是[12，14，16，18]……塊，稍加計算可知[12]+[14+16+18]=[2524]>1塊，這表明此種情形下，“跳臺”最上面的那塊骨牌，已經超出最底下那塊骨牌的邊緣，成功懸空。

如果是6塊、7塊……骨牌形成的“跳臺”，我們可以類推得出，“跳臺”最上面那塊骨牌與最底下那塊骨牌相距[12+14+16+18+110]，[12+14+][16+18+110+112]……塊骨牌。理論上，這個疊加過程可以永遠繼續，那么最上面與最底下兩張骨牌相隔的最大距離就是[12+14+16+18+][110+112+114+116]……這無數項的和，不難推想，這無數項的和應為無窮大。這就意味著，只要堆砌足夠多的骨牌，“跳臺”最上面的那塊骨牌就可以伸展到任何距離。無論是與最底下的骨牌相距10塊、100塊，還是100萬塊、1億塊……骨牌的長度，理論上都可以實現。

這是不是個出人意料的結論？不過，這僅僅是理論上的推論，實際操作并不可行。因為要使“跳臺”向外不斷延伸，需要堆砌的骨牌數量將急劇增長。上面提到，最上面的那塊伸出1塊骨牌的距離，總共需堆5塊骨牌；但如果要伸出2塊骨牌的距離，總共就需堆32塊骨牌，[12]+[13]+[14]+[15+16+17+18]+……+[164]≈2.03>2；而若要伸出3塊骨牌的距離，總共需堆228塊骨牌；伸出4塊的距離，就需要堆積近2000塊骨牌。這種數量增長是如此巨大，以至于當最上面的那塊骨牌伸出最下面那塊10塊骨牌的距離時，骨牌“跳臺”的高度已經超出了月球軌道。

多米諾骨牌是一項挑戰智力、耐心和意志的益智游戲，許多張骨牌經過精心設計后挨個豎立，推倒第一張骨牌，其余骨牌發生連鎖反應依次倒下，形成各種各樣的圖案或花紋。

現在，假設你的面前有一堆多米諾骨牌，請你做最簡單的疊加，要求每兩塊之間要有一點錯位，最終堆起一個傾斜度盡可能大的多米諾骨牌“跳臺”（如圖1）。很明顯，類似于比薩斜塔，讓骨牌“跳臺”適當傾斜一定的角度而不至于倒下，是完全可以做到的。隨著“跳臺”高度的增加，“跳臺”最上端的骨牌與最下面的骨牌之間錯位距離會越來越大，疊加時需要越發小心翼翼，慢慢地一點一點錯開，稍不留神，骨牌“跳臺”就會土崩瓦解。

如果經過精心疊加后的骨牌“跳臺”，最上面的那塊在水平方向上與最底下的那塊錯開1塊骨牌的距離，即相當于最上面一塊骨牌已經完全懸空，這有可能嗎？如果骨牌“跳臺”最上面的那塊和最底下的那塊錯開2塊、4塊、甚至10塊……骨牌的距離，你覺得還有可能嗎？

我們通過計算驗證看看。

當兩塊骨牌疊加時，將上面那塊骨牌伸出一半，而且它不會倒下，這是大家都能做到的。我們知道，上面那塊骨牌的重心在它的正中間（圖2中的虛線），而一旦這條線超過下面骨牌的邊緣，“跳臺”就會瓦解。

接著，加上第三塊骨牌，把它放在最下端，距離合適就不會倒塌。上面兩塊骨牌的重心所在虛線，距離最底下骨牌一端的距離是[14]塊骨牌的長度（如圖3），這條虛線不超出最底下的骨牌，骨牌“跳臺”就不會倒塌。

為了盡可能增大傾斜的角度，就需要盡可能多地在下面加入更多骨牌，要把握的僅僅是：確保上面骨牌的重心不會超出最底下骨牌的支撐范圍即邊緣。這樣，骨牌跳臺伸展的幅度將越來越大。

圖4就是5塊骨牌形成的跳臺。從圖中不難看出錯位的規律，從上往下相鄰兩塊骨牌間伸出的距離分別是[12，14，16，18]……塊，稍加計算可知[12]+[14+16+18]=[2524]>1塊，這表明此種情形下，“跳臺”最上面的那塊骨牌，已經超出最底下那塊骨牌的邊緣，成功懸空。

如果是6塊、7塊……骨牌形成的“跳臺”，我們可以類推得出，“跳臺”最上面那塊骨牌與最底下那塊骨牌相距[12+14+16+18+110]，[12+14+][16+18+110+112]……塊骨牌。理論上，這個疊加過程可以永遠繼續，那么最上面與最底下兩張骨牌相隔的最大距離就是[12+14+16+18+][110+112+114+116]……這無數項的和，不難推想，這無數項的和應為無窮大。這就意味著，只要堆砌足夠多的骨牌，“跳臺”最上面的那塊骨牌就可以伸展到任何距離。無論是與最底下的骨牌相距10塊、100塊，還是100萬塊、1億塊……骨牌的長度，理論上都可以實現。

這是不是個出人意料的結論？不過，這僅僅是理論上的推論，實際操作并不可行。因為要使“跳臺”向外不斷延伸，需要堆砌的骨牌數量將急劇增長。上面提到，最上面的那塊伸出1塊骨牌的距離，總共需堆5塊骨牌；但如果要伸出2塊骨牌的距離，總共就需堆32塊骨牌，[12]+[13]+[14]+[15+16+17+18]+……+[164]≈2.03>2；而若要伸出3塊骨牌的距離，總共需堆228塊骨牌；伸出4塊的距離，就需要堆積近2000塊骨牌。這種數量增長是如此巨大，以至于當最上面的那塊骨牌伸出最下面那塊10塊骨牌的距離時，骨牌“跳臺”的高度已經超出了月球軌道。

多米諾骨牌是一項挑戰智力、耐心和意志的益智游戲，許多張骨牌經過精心設計后挨個豎立，推倒第一張骨牌，其余骨牌發生連鎖反應依次倒下，形成各種各樣的圖案或花紋。

現在，假設你的面前有一堆多米諾骨牌，請你做最簡單的疊加，要求每兩塊之間要有一點錯位，最終堆起一個傾斜度盡可能大的多米諾骨牌“跳臺”（如圖1）。很明顯，類似于比薩斜塔，讓骨牌“跳臺”適當傾斜一定的角度而不至于倒下，是完全可以做到的。隨著“跳臺”高度的增加，“跳臺”最上端的骨牌與最下面的骨牌之間錯位距離會越來越大，疊加時需要越發小心翼翼，慢慢地一點一點錯開，稍不留神，骨牌“跳臺”就會土崩瓦解。

如果經過精心疊加后的骨牌“跳臺”，最上面的那塊在水平方向上與最底下的那塊錯開1塊骨牌的距離，即相當于最上面一塊骨牌已經完全懸空，這有可能嗎？如果骨牌“跳臺”最上面的那塊和最底下的那塊錯開2塊、4塊、甚至10塊……骨牌的距離，你覺得還有可能嗎？

我們通過計算驗證看看。

當兩塊骨牌疊加時，將上面那塊骨牌伸出一半，而且它不會倒下，這是大家都能做到的。我們知道，上面那塊骨牌的重心在它的正中間（圖2中的虛線），而一旦這條線超過下面骨牌的邊緣，“跳臺”就會瓦解。

接著，加上第三塊骨牌，把它放在最下端，距離合適就不會倒塌。上面兩塊骨牌的重心所在虛線，距離最底下骨牌一端的距離是[14]塊骨牌的長度（如圖3），這條虛線不超出最底下的骨牌，骨牌“跳臺”就不會倒塌。

為了盡可能增大傾斜的角度，就需要盡可能多地在下面加入更多骨牌，要把握的僅僅是：確保上面骨牌的重心不會超出最底下骨牌的支撐范圍即邊緣。這樣，骨牌跳臺伸展的幅度將越來越大。

圖4就是5塊骨牌形成的跳臺。從圖中不難看出錯位的規律，從上往下相鄰兩塊骨牌間伸出的距離分別是[12，14，16，18]……塊，稍加計算可知[12]+[14+16+18]=[2524]>1塊，這表明此種情形下，“跳臺”最上面的那塊骨牌，已經超出最底下那塊骨牌的邊緣，成功懸空。

如果是6塊、7塊……骨牌形成的“跳臺”，我們可以類推得出，“跳臺”最上面那塊骨牌與最底下那塊骨牌相距[12+14+16+18+110]，[12+14+][16+18+110+112]……塊骨牌。理論上，這個疊加過程可以永遠繼續，那么最上面與最底下兩張骨牌相隔的最大距離就是[12+14+16+18+][110+112+114+116]……這無數項的和，不難推想，這無數項的和應為無窮大。這就意味著，只要堆砌足夠多的骨牌，“跳臺”最上面的那塊骨牌就可以伸展到任何距離。無論是與最底下的骨牌相距10塊、100塊，還是100萬塊、1億塊……骨牌的長度，理論上都可以實現。

這是不是個出人意料的結論？不過，這僅僅是理論上的推論，實際操作并不可行。因為要使“跳臺”向外不斷延伸，需要堆砌的骨牌數量將急劇增長。上面提到，最上面的那塊伸出1塊骨牌的距離，總共需堆5塊骨牌；但如果要伸出2塊骨牌的距離，總共就需堆32塊骨牌，[12]+[13]+[14]+[15+16+17+18]+……+[164]≈2.03>2；而若要伸出3塊骨牌的距離，總共需堆228塊骨牌；伸出4塊的距離，就需要堆積近2000塊骨牌。這種數量增長是如此巨大，以至于當最上面的那塊骨牌伸出最下面那塊10塊骨牌的距離時，骨牌“跳臺”的高度已經超出了月球軌道。