分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

李少洪

摘 要：數(shù)學(xué)學(xué)科非常重視對不同解題思想的運(yùn)用，根據(jù)不同題目的類型與特點(diǎn)，采用最佳且最適合的解題方法，是數(shù)學(xué)思想運(yùn)用在解題技巧中的最佳方式。這不僅有助于提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題的效率，也有助于使學(xué)生養(yǎng)成定向解題記憶與擴(kuò)散性靈活運(yùn)用的習(xí)慣，讓學(xué)生在遇到類似的數(shù)學(xué)問題時(shí)，可以及時(shí)搜索大腦中儲(chǔ)存的類型化解題思想，從而有效地幫助學(xué)生解決所困擾的難題。就以數(shù)學(xué)分類討論思想的思考特點(diǎn)與運(yùn)用方式為著手點(diǎn)，探析在初中數(shù)學(xué)解題中學(xué)生對分類討論思想的合理運(yùn)用與解題效果，從而有效印證分類討論思想在數(shù)學(xué)解題中的科學(xué)性與必要性。

關(guān)鍵詞：分類討論思想；初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用；思考特點(diǎn)與運(yùn)用方式；解題效果

分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，更是一種重要的解題策略，它不僅體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法，也揭示著數(shù)學(xué)對象之間的內(nèi)在規(guī)律，有助于學(xué)生總結(jié)和歸納數(shù)學(xué)知識。更重要的是，在面對諸多數(shù)學(xué)問題時(shí)，科學(xué)有效、合理有序的分類討論思想不僅有利于提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題的能力，增加學(xué)生解題成功的概率，從而達(dá)到調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的熱情與積極性的目的；也有利于提高學(xué)生的創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力，使學(xué)生真正認(rèn)識到數(shù)學(xué)學(xué)科的無限魅力，從而在促進(jìn)初中數(shù)學(xué)教學(xué)優(yōu)化與升級的同時(shí)，高效推進(jìn)教育改革的完美轉(zhuǎn)型。

一、數(shù)學(xué)分類討論思想的思想特點(diǎn)與運(yùn)用方式

1.通過實(shí)際討論，實(shí)現(xiàn)思想上的論證

例如，在八年級下冊針對一元一次不等式的知識點(diǎn)考核衍生的數(shù)學(xué)問題：某公司為了擴(kuò)大經(jīng)營，決定購進(jìn)5臺(tái)機(jī)器用于生產(chǎn)某種活塞。現(xiàn)有甲、乙兩種機(jī)器供選擇，其中每種機(jī)器的價(jià)格和每臺(tái)機(jī)器日生產(chǎn)活塞的數(shù)量如下表所示。經(jīng)過預(yù)算，本次購買機(jī)器所耗資金不能超過22萬元。

據(jù)上述例子總結(jié)，可以看出分類討論思想對于實(shí)際問題進(jìn)行討論論證的特點(diǎn)是對學(xué)生思維謹(jǐn)慎性與比較性的實(shí)際鍛煉。首先，學(xué)生在看到題目時(shí)，通過題目的問題提示，即“按該公司要求可以有幾種購買方案？”學(xué)生可以立即在思想上判斷出此題的討論論證存在多種可能；接著，學(xué)生根據(jù)題目的要求，對問題進(jìn)行假設(shè)，通過對一元一次不等式的求解，得出假設(shè)的可能性結(jié)果；最后，根據(jù)不等式的求解結(jié)果，有針對性地進(jìn)行分類論證，最終得出符合公司要求的購買方案。在學(xué)生運(yùn)用分類討論思想解決該問題時(shí)，其思想上的分類結(jié)果不一定是對的，但是這個(gè)思考的步驟卻是必要的。

2.通過知識點(diǎn)的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)討論式論證

這道題針對的是九年級下冊第三章“圓”中的部分知識點(diǎn)。依據(jù)上面題目中的闡述，AB、CD是圓的兩條弦，但是卻并沒有提到AB與CD在圓內(nèi)的準(zhǔn)確位置，學(xué)生在面對這道題時(shí)，首先要查覺到這個(gè)疑點(diǎn)，隨后就自然而然地將思考方式趨向于分類討論的方法運(yùn)用上。學(xué)生的思考方向有了結(jié)果、應(yīng)該采用的解題方式也有了定向，那么就可以依照上面兩圖中AB、CD的不同位置分別對AB與CD之間的距離進(jìn)行求解。這種題目的分類討論思想運(yùn)用是有一定條件要求的，比如說AB與CD之所以存在不同位置的疑點(diǎn)，是因?yàn)锳B、CD這兩條線存在于一個(gè)圓中，而圓的性質(zhì)恰巧與AB、CD的位置疑點(diǎn)相互聯(lián)系，這就為分類討論思想提供了適時(shí)運(yùn)用的機(jī)會(huì)。

對于解不等式的問題，分類討論思想出現(xiàn)在解題過程中的現(xiàn)象非常多，主要原因有兩點(diǎn)：第一，不等式本身存在著不定性；第二，不等式中存在的變量較多。因此，學(xué)生在解答類似問題時(shí)，必須充分運(yùn)用分類討論的思路，不僅可以使解答過程更有目的性、更加順暢，也可以使解題結(jié)果更加準(zhǔn)確。如上題中，不等式中的變量為k-1，而x自身也是變量，也可以說是不等式變量中的不定變量，學(xué)生則主要根據(jù)k-1與0之間的關(guān)系進(jìn)行分類討論。當(dāng)k-1=0時(shí)，變量則主要集中在k本身；當(dāng)k-1>0或者k-1<0時(shí)，變量則以一個(gè)集合量的形式存在，學(xué)生就是通過對變量的不同存在形式進(jìn)行分類與討論，最終解開此題。

數(shù)學(xué)分類討論思想是配合初中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)教學(xué)的思維方式之一，既是對學(xué)生有針對性地理解數(shù)學(xué)題目中的實(shí)際考核要點(diǎn)與難點(diǎn)的鍛煉，也是促進(jìn)學(xué)生成功解決數(shù)學(xué)難題較為有效而方便的思考線路。同時(shí)，要注意的是，數(shù)學(xué)思想是具有很強(qiáng)的靈活性與連接性的，運(yùn)用分類討論思想解決了一種類型的數(shù)學(xué)難題，若遇到類似的問題時(shí)，學(xué)生可以進(jìn)行靈活的思想轉(zhuǎn)換；若遇到新的問題時(shí)，學(xué)生則可以鏈接相同的數(shù)學(xué)思想對問題進(jìn)行驗(yàn)證，查看是否符合解題要求的同時(shí)，也提升了對數(shù)學(xué)問題的思考能力與解決能力。總的來說，分類討論想不僅僅是一種數(shù)學(xué)思維方式，更是一種對數(shù)學(xué)的認(rèn)知能力，有效地掌握這種思想的特點(diǎn)與應(yīng)用方法，對學(xué)生綜合能力的提升與數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)化都是具有十分重要的意義的。

參考文獻(xiàn)：

[1]葉鋒.初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中分類討論思想的作用與教學(xué)策略[J].新課程：中學(xué)，2012（05）.

[2]丁守方.例談分類討論思想在解初中教學(xué)題中的應(yīng)用[J].新課程學(xué)習(xí)：基礎(chǔ)教育，2010（10）.

[3]楊懷宏.分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)大世界：初中生適用，2010（03）.

[4]周畢軍.淺談分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用[J].數(shù)理化解題研究：初中版，2013（11）.endprint

摘 要：數(shù)學(xué)學(xué)科非常重視對不同解題思想的運(yùn)用，根據(jù)不同題目的類型與特點(diǎn)，采用最佳且最適合的解題方法，是數(shù)學(xué)思想運(yùn)用在解題技巧中的最佳方式。這不僅有助于提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題的效率，也有助于使學(xué)生養(yǎng)成定向解題記憶與擴(kuò)散性靈活運(yùn)用的習(xí)慣，讓學(xué)生在遇到類似的數(shù)學(xué)問題時(shí)，可以及時(shí)搜索大腦中儲(chǔ)存的類型化解題思想，從而有效地幫助學(xué)生解決所困擾的難題。就以數(shù)學(xué)分類討論思想的思考特點(diǎn)與運(yùn)用方式為著手點(diǎn)，探析在初中數(shù)學(xué)解題中學(xué)生對分類討論思想的合理運(yùn)用與解題效果，從而有效印證分類討論思想在數(shù)學(xué)解題中的科學(xué)性與必要性。

關(guān)鍵詞：分類討論思想；初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用；思考特點(diǎn)與運(yùn)用方式；解題效果

分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，更是一種重要的解題策略，它不僅體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法，也揭示著數(shù)學(xué)對象之間的內(nèi)在規(guī)律，有助于學(xué)生總結(jié)和歸納數(shù)學(xué)知識。更重要的是，在面對諸多數(shù)學(xué)問題時(shí)，科學(xué)有效、合理有序的分類討論思想不僅有利于提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題的能力，增加學(xué)生解題成功的概率，從而達(dá)到調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的熱情與積極性的目的；也有利于提高學(xué)生的創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力，使學(xué)生真正認(rèn)識到數(shù)學(xué)學(xué)科的無限魅力，從而在促進(jìn)初中數(shù)學(xué)教學(xué)優(yōu)化與升級的同時(shí)，高效推進(jìn)教育改革的完美轉(zhuǎn)型。

一、數(shù)學(xué)分類討論思想的思想特點(diǎn)與運(yùn)用方式

1.通過實(shí)際討論，實(shí)現(xiàn)思想上的論證

例如，在八年級下冊針對一元一次不等式的知識點(diǎn)考核衍生的數(shù)學(xué)問題：某公司為了擴(kuò)大經(jīng)營，決定購進(jìn)5臺(tái)機(jī)器用于生產(chǎn)某種活塞。現(xiàn)有甲、乙兩種機(jī)器供選擇，其中每種機(jī)器的價(jià)格和每臺(tái)機(jī)器日生產(chǎn)活塞的數(shù)量如下表所示。經(jīng)過預(yù)算，本次購買機(jī)器所耗資金不能超過22萬元。

據(jù)上述例子總結(jié)，可以看出分類討論思想對于實(shí)際問題進(jìn)行討論論證的特點(diǎn)是對學(xué)生思維謹(jǐn)慎性與比較性的實(shí)際鍛煉。首先，學(xué)生在看到題目時(shí)，通過題目的問題提示，即“按該公司要求可以有幾種購買方案？”學(xué)生可以立即在思想上判斷出此題的討論論證存在多種可能；接著，學(xué)生根據(jù)題目的要求，對問題進(jìn)行假設(shè)，通過對一元一次不等式的求解，得出假設(shè)的可能性結(jié)果；最后，根據(jù)不等式的求解結(jié)果，有針對性地進(jìn)行分類論證，最終得出符合公司要求的購買方案。在學(xué)生運(yùn)用分類討論思想解決該問題時(shí)，其思想上的分類結(jié)果不一定是對的，但是這個(gè)思考的步驟卻是必要的。

2.通過知識點(diǎn)的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)討論式論證

這道題針對的是九年級下冊第三章“圓”中的部分知識點(diǎn)。依據(jù)上面題目中的闡述，AB、CD是圓的兩條弦，但是卻并沒有提到AB與CD在圓內(nèi)的準(zhǔn)確位置，學(xué)生在面對這道題時(shí)，首先要查覺到這個(gè)疑點(diǎn)，隨后就自然而然地將思考方式趨向于分類討論的方法運(yùn)用上。學(xué)生的思考方向有了結(jié)果、應(yīng)該采用的解題方式也有了定向，那么就可以依照上面兩圖中AB、CD的不同位置分別對AB與CD之間的距離進(jìn)行求解。這種題目的分類討論思想運(yùn)用是有一定條件要求的，比如說AB與CD之所以存在不同位置的疑點(diǎn)，是因?yàn)锳B、CD這兩條線存在于一個(gè)圓中，而圓的性質(zhì)恰巧與AB、CD的位置疑點(diǎn)相互聯(lián)系，這就為分類討論思想提供了適時(shí)運(yùn)用的機(jī)會(huì)。

對于解不等式的問題，分類討論思想出現(xiàn)在解題過程中的現(xiàn)象非常多，主要原因有兩點(diǎn)：第一，不等式本身存在著不定性；第二，不等式中存在的變量較多。因此，學(xué)生在解答類似問題時(shí)，必須充分運(yùn)用分類討論的思路，不僅可以使解答過程更有目的性、更加順暢，也可以使解題結(jié)果更加準(zhǔn)確。如上題中，不等式中的變量為k-1，而x自身也是變量，也可以說是不等式變量中的不定變量，學(xué)生則主要根據(jù)k-1與0之間的關(guān)系進(jìn)行分類討論。當(dāng)k-1=0時(shí)，變量則主要集中在k本身；當(dāng)k-1>0或者k-1<0時(shí)，變量則以一個(gè)集合量的形式存在，學(xué)生就是通過對變量的不同存在形式進(jìn)行分類與討論，最終解開此題。

數(shù)學(xué)分類討論思想是配合初中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)教學(xué)的思維方式之一，既是對學(xué)生有針對性地理解數(shù)學(xué)題目中的實(shí)際考核要點(diǎn)與難點(diǎn)的鍛煉，也是促進(jìn)學(xué)生成功解決數(shù)學(xué)難題較為有效而方便的思考線路。同時(shí)，要注意的是，數(shù)學(xué)思想是具有很強(qiáng)的靈活性與連接性的，運(yùn)用分類討論思想解決了一種類型的數(shù)學(xué)難題，若遇到類似的問題時(shí)，學(xué)生可以進(jìn)行靈活的思想轉(zhuǎn)換；若遇到新的問題時(shí)，學(xué)生則可以鏈接相同的數(shù)學(xué)思想對問題進(jìn)行驗(yàn)證，查看是否符合解題要求的同時(shí)，也提升了對數(shù)學(xué)問題的思考能力與解決能力。總的來說，分類討論想不僅僅是一種數(shù)學(xué)思維方式，更是一種對數(shù)學(xué)的認(rèn)知能力，有效地掌握這種思想的特點(diǎn)與應(yīng)用方法，對學(xué)生綜合能力的提升與數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)化都是具有十分重要的意義的。

參考文獻(xiàn)：

[1]葉鋒.初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中分類討論思想的作用與教學(xué)策略[J].新課程：中學(xué)，2012（05）.

[2]丁守方.例談分類討論思想在解初中教學(xué)題中的應(yīng)用[J].新課程學(xué)習(xí)：基礎(chǔ)教育，2010（10）.

[3]楊懷宏.分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)大世界：初中生適用，2010（03）.

[4]周畢軍.淺談分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用[J].數(shù)理化解題研究：初中版，2013（11）.endprint

摘 要：數(shù)學(xué)學(xué)科非常重視對不同解題思想的運(yùn)用，根據(jù)不同題目的類型與特點(diǎn)，采用最佳且最適合的解題方法，是數(shù)學(xué)思想運(yùn)用在解題技巧中的最佳方式。這不僅有助于提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題的效率，也有助于使學(xué)生養(yǎng)成定向解題記憶與擴(kuò)散性靈活運(yùn)用的習(xí)慣，讓學(xué)生在遇到類似的數(shù)學(xué)問題時(shí)，可以及時(shí)搜索大腦中儲(chǔ)存的類型化解題思想，從而有效地幫助學(xué)生解決所困擾的難題。就以數(shù)學(xué)分類討論思想的思考特點(diǎn)與運(yùn)用方式為著手點(diǎn)，探析在初中數(shù)學(xué)解題中學(xué)生對分類討論思想的合理運(yùn)用與解題效果，從而有效印證分類討論思想在數(shù)學(xué)解題中的科學(xué)性與必要性。

關(guān)鍵詞：分類討論思想；初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用；思考特點(diǎn)與運(yùn)用方式；解題效果

分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，更是一種重要的解題策略，它不僅體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法，也揭示著數(shù)學(xué)對象之間的內(nèi)在規(guī)律，有助于學(xué)生總結(jié)和歸納數(shù)學(xué)知識。更重要的是，在面對諸多數(shù)學(xué)問題時(shí)，科學(xué)有效、合理有序的分類討論思想不僅有利于提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題的能力，增加學(xué)生解題成功的概率，從而達(dá)到調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的熱情與積極性的目的；也有利于提高學(xué)生的創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力，使學(xué)生真正認(rèn)識到數(shù)學(xué)學(xué)科的無限魅力，從而在促進(jìn)初中數(shù)學(xué)教學(xué)優(yōu)化與升級的同時(shí)，高效推進(jìn)教育改革的完美轉(zhuǎn)型。

一、數(shù)學(xué)分類討論思想的思想特點(diǎn)與運(yùn)用方式

1.通過實(shí)際討論，實(shí)現(xiàn)思想上的論證

例如，在八年級下冊針對一元一次不等式的知識點(diǎn)考核衍生的數(shù)學(xué)問題：某公司為了擴(kuò)大經(jīng)營，決定購進(jìn)5臺(tái)機(jī)器用于生產(chǎn)某種活塞。現(xiàn)有甲、乙兩種機(jī)器供選擇，其中每種機(jī)器的價(jià)格和每臺(tái)機(jī)器日生產(chǎn)活塞的數(shù)量如下表所示。經(jīng)過預(yù)算，本次購買機(jī)器所耗資金不能超過22萬元。

據(jù)上述例子總結(jié)，可以看出分類討論思想對于實(shí)際問題進(jìn)行討論論證的特點(diǎn)是對學(xué)生思維謹(jǐn)慎性與比較性的實(shí)際鍛煉。首先，學(xué)生在看到題目時(shí)，通過題目的問題提示，即“按該公司要求可以有幾種購買方案？”學(xué)生可以立即在思想上判斷出此題的討論論證存在多種可能；接著，學(xué)生根據(jù)題目的要求，對問題進(jìn)行假設(shè)，通過對一元一次不等式的求解，得出假設(shè)的可能性結(jié)果；最后，根據(jù)不等式的求解結(jié)果，有針對性地進(jìn)行分類論證，最終得出符合公司要求的購買方案。在學(xué)生運(yùn)用分類討論思想解決該問題時(shí)，其思想上的分類結(jié)果不一定是對的，但是這個(gè)思考的步驟卻是必要的。

2.通過知識點(diǎn)的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)討論式論證

這道題針對的是九年級下冊第三章“圓”中的部分知識點(diǎn)。依據(jù)上面題目中的闡述，AB、CD是圓的兩條弦，但是卻并沒有提到AB與CD在圓內(nèi)的準(zhǔn)確位置，學(xué)生在面對這道題時(shí)，首先要查覺到這個(gè)疑點(diǎn)，隨后就自然而然地將思考方式趨向于分類討論的方法運(yùn)用上。學(xué)生的思考方向有了結(jié)果、應(yīng)該采用的解題方式也有了定向，那么就可以依照上面兩圖中AB、CD的不同位置分別對AB與CD之間的距離進(jìn)行求解。這種題目的分類討論思想運(yùn)用是有一定條件要求的，比如說AB與CD之所以存在不同位置的疑點(diǎn)，是因?yàn)锳B、CD這兩條線存在于一個(gè)圓中，而圓的性質(zhì)恰巧與AB、CD的位置疑點(diǎn)相互聯(lián)系，這就為分類討論思想提供了適時(shí)運(yùn)用的機(jī)會(huì)。

對于解不等式的問題，分類討論思想出現(xiàn)在解題過程中的現(xiàn)象非常多，主要原因有兩點(diǎn)：第一，不等式本身存在著不定性；第二，不等式中存在的變量較多。因此，學(xué)生在解答類似問題時(shí)，必須充分運(yùn)用分類討論的思路，不僅可以使解答過程更有目的性、更加順暢，也可以使解題結(jié)果更加準(zhǔn)確。如上題中，不等式中的變量為k-1，而x自身也是變量，也可以說是不等式變量中的不定變量，學(xué)生則主要根據(jù)k-1與0之間的關(guān)系進(jìn)行分類討論。當(dāng)k-1=0時(shí)，變量則主要集中在k本身；當(dāng)k-1>0或者k-1<0時(shí)，變量則以一個(gè)集合量的形式存在，學(xué)生就是通過對變量的不同存在形式進(jìn)行分類與討論，最終解開此題。

數(shù)學(xué)分類討論思想是配合初中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)教學(xué)的思維方式之一，既是對學(xué)生有針對性地理解數(shù)學(xué)題目中的實(shí)際考核要點(diǎn)與難點(diǎn)的鍛煉，也是促進(jìn)學(xué)生成功解決數(shù)學(xué)難題較為有效而方便的思考線路。同時(shí)，要注意的是，數(shù)學(xué)思想是具有很強(qiáng)的靈活性與連接性的，運(yùn)用分類討論思想解決了一種類型的數(shù)學(xué)難題，若遇到類似的問題時(shí)，學(xué)生可以進(jìn)行靈活的思想轉(zhuǎn)換；若遇到新的問題時(shí)，學(xué)生則可以鏈接相同的數(shù)學(xué)思想對問題進(jìn)行驗(yàn)證，查看是否符合解題要求的同時(shí)，也提升了對數(shù)學(xué)問題的思考能力與解決能力。總的來說，分類討論想不僅僅是一種數(shù)學(xué)思維方式，更是一種對數(shù)學(xué)的認(rèn)知能力，有效地掌握這種思想的特點(diǎn)與應(yīng)用方法，對學(xué)生綜合能力的提升與數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)化都是具有十分重要的意義的。

參考文獻(xiàn)：

[1]葉鋒.初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中分類討論思想的作用與教學(xué)策略[J].新課程：中學(xué)，2012（05）.

[2]丁守方.例談分類討論思想在解初中教學(xué)題中的應(yīng)用[J].新課程學(xué)習(xí)：基礎(chǔ)教育，2010（10）.

[3]楊懷宏.分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)大世界：初中生適用，2010（03）.

[4]周畢軍.淺談分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用[J].數(shù)理化解題研究：初中版，2013（11）.endprint