Cl0，2k＋1的張量積分解式與矩陣表示

宋元鳳，李武明

（1.吉林大學 數學學院，長春130012；2.通化師范學院 數學學院，吉林 通化134002）

Clifford代數在高維幾何、理論物理、編碼理論、機器人科學和地理科學等領域應用廣泛［1－2］.設Clp，q為?p，q上的實 Clifford代數，Lee等［3－4］給出了實 Clifford代數Cl0，3的一種矩陣表示；曹文勝［5］給出了Cl0，3的另外兩種矩陣表示，并探討了其運算性質；文獻［6］給出了實Clifford代數Clp，q的張量積表達式與矩陣表示，其中把實Clifford代數Clp，q的中心作為張量積分解式的一個因子.本文把文獻［6］的結果進一步細化，給出了實Clifford代數Cl0，2k＋1的張量積分解式及矩陣表示.當Cl0，2k＋1的中心同構于?時，得到了“Cl0，2k＋1同構于Cl1，1的k次張量冪和Cl0，1的張量積”的結論，并利用該結果得到Cl0，2k＋1的矩陣表示，由于此時Cl0，2k＋1為單代數［7］，所以在同構意義下Cl0，2k＋1的矩陣表示是唯一的.當Cl0，2k＋1的中心同構于?與?的直和時，得到了Cl0，2k＋1的張量積分解與矩陣表示，但此時矩陣表示不一定是唯一的.結合上述兩種情況，得到了本文的主要結果：

其中：k為非負整數；2k＋1≡αmod 8；δ＝［1－｛α／3｝］.特別地，當2k＋1＝3時，可得一種與文獻［3－5］形式不同的矩陣表示.

本文HH 表示四元數，?kCl1，1表示Cl1，1的k次張量冪，Cen（Clp，q）表示實 Clifford代數Clp，q的中心，e12…s為Cl0，2k＋1的s次單位向量，Mat（2，?）表示2階實矩陣代數，｛a｝表示實數a的小數部分，［a］表示實數a的整數部分，其他符號參見文獻［8－9］.

1 Cl0，2k＋1的張量積分解

設｛e1，e2，…，ep＋q｝是?p，q的一組標準正交基，Clp，q上的Clifford乘積定義為

因此實 Clifford代數Clp，q是2p＋q維結合代數［8］.

本文從中心同構于?和?與?直和兩種情況探討Cl0，2k＋1的張量積分解，首先給出中心同構于?和?與?直和的充要條件.

引理1 設k是非負整數，則如下3個結論等價：

1）Cen（Cl0，2k＋1）同構于二維實代數?；

證明：設e12…（2k＋1）為Cl0，2k＋1的2k＋1次單位向量，則

根據文獻［6］經簡單計算即可得結論.

引理2 設k是非負整數，則如下3個結論等價：

1）Cen（Cl0，2k＋1）同構于二維實代數?⊕?；

證明類似于引理1.

事實上，Cl3，0可視為由〈e1，e2〉和〈e123〉的乘積生成，而

經簡單的張量積驗證易知

Cl3，0也可視為由〈e12，e13〉和〈e123〉的乘積生成，而

經簡單的張量積驗證易知

注1 引理3的內容可參見文獻［8］中第四章與第十七章，為考察Cl3，0的結構本文給出了Cl3，0的另一種證明.

所以當2k＋1≡1mod 8時，式（3）成立.當2k＋1≡5mod 8時，由引理3有

由文獻［6］經簡單計算可得如下引理.

結合引理4和引理5可給出Cl0，2k＋1的張量積分解式：

定理1 設k是非負整數，則

其中：2k＋1≡αmod 8；δ＝［1－｛α／3｝］.

2 Cl0，2k＋1的矩陣表示

定義1［10］設A 是有限維F－代數，V 是有限維F－向量空間.如果存在 F－代數同態ρ：A→EndF（V），則稱（V，ρ）是A的一個F－表示.

定義2［10］如果存在F－線性同構f：M→N，使得?a∈A，fρ（a）＝η（a）f，則稱A的兩個F－表示（M，ρ）和（N，η）等價.

設Fm表示域F上的m 階全矩陣代數.對于A＝（aij）∈Fm，B＝（bij）∈Fn，記

或

設

引理6 當 Cen（Cl0，2k＋1）??時，

證明：因為

所以當 Cen（Cl0，2k＋1）??時，

引理7 設 Cen（Cl0，2k＋1）??⊕?.

1）如果2k＋1≡7mod 8，則

2）如果2k＋1≡3mod 8，則

證明：1）如果2k＋1≡7mod 8，則有式（3）.因為

所以

2）如果2k＋1≡3mod 8，則

因為

所以

特別地，當2k＋1＝3時，

又

結合引理6和引理7可得：

定理2 設k是非負整數，

其中：2k＋1≡αmod 8；δ＝［1－｛α／3｝］.

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