2013年全國中學(xué)物理競賽（預(yù)賽）第7題的多種解法

陳玉奇

（江蘇省姜堰中等專業(yè)學(xué)校 江蘇 泰州 225500）

題目：如圖1，質(zhì)量為m1的小滑塊，沿一傾角為θ的光滑斜面滑下，斜面質(zhì)量為m2，置于光滑的水平桌面上.設(shè)重力加速度為g，斜面在水平桌面上運(yùn)動(dòng)的加速度大小為______.

圖1

這是一道經(jīng)典的動(dòng)力學(xué)問題，該類題型在近幾年的高校自主招生和一些地區(qū)的物理競賽中經(jīng)常出現(xiàn).由于本題涉及的已知條件較少，對(duì)學(xué)生來講，如果不能找到合適有效的方法，要想快速而準(zhǔn)確地求解具有一定的難度.其實(shí)本題的解法很多，既可直接應(yīng)用牛頓第二定律列方程求解，也可以從非慣性系、數(shù)形結(jié)合、功能關(guān)系等方面進(jìn)行突破，下面給出本題的幾種分析方法.

解法一：用牛頓第二定律求解

由于要求加速度，很容易想到最直接的方法：牛頓第二定律，即從受力分析的角度出發(fā)進(jìn)行求解.

方法1：m1和m2的受力情況如圖2（a）所示，設(shè)m2相對(duì)于地面的加速度為a2，方向水平向左，m1相對(duì)于m2的加速度為a相，方向沿斜面向下，則m1相對(duì)于地面的加速度a1為a1＝a相＋a2，其矢量關(guān)系如圖2（b）所示，a1在水平和豎直方向的分量為

圖2

根據(jù)牛頓第二定律，對(duì)m1和m2有

將式（1）和式（2）分別代入式（3）和式（4）中，可解得

由（6）、（7）兩式可得

注意到N1＝N1′，將式（8）代入式（5）中，求出m2的加速度a2為

整理后可得

方法2：由方法1中的式（3）和式（4）消去N1，整理后可求得

對(duì)m1和m2整體應(yīng)用系統(tǒng)的牛頓第二定律，因系統(tǒng)水平方向無外力作用，故系統(tǒng)水平方向上有

即

在水平方向上，由于m1和m2的加速度方向相反，則m1在水平方向上相對(duì)于m2的加速度大小為ax相＝a1x＋a2，而m2在豎直方向上無加速度，故m1在豎直方向上相對(duì)于m2的加速度為ay相＝a1y，由題中可知m1相對(duì)于m2的加速度方向沿斜面向下，故有

將式（9）和式（10）代入式（11）中，整理后可得

點(diǎn)評(píng)：牛頓第二定律應(yīng)是解決動(dòng)力學(xué)問題最基本的方法，其解題關(guān)鍵是正確作出物體的受力情況，在所研究的方向上建立牛頓第二定律方程.

如果對(duì)有相互作用的物體系應(yīng)用牛頓第二定律，可以采取以下兩種方法：第一是隔離法，正確作出被隔離物體的受力情況，理清單個(gè)物體間彼此力的關(guān)系、速度及加速度的聯(lián)系，建立必要的輔助方程，才能正確求解.當(dāng)然隨著物體個(gè)數(shù)及受力分析的增加，其方程的個(gè)數(shù)以及求解過程的運(yùn)算量也會(huì)隨之加大，這就需要學(xué)生有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)分析和運(yùn)算能力.第二是整體法，即系統(tǒng)的牛頓第二定律，可以列成x方向和y方向的兩個(gè)方程

在不涉及內(nèi)力的計(jì)算時(shí)可使分析過程變得簡便.但

是兩種方法并不是彼此孤立，很多情況下聯(lián)合使用，可以起到相互補(bǔ)充、相輔相成的作用.

解法二：用非慣性系求解

以斜面m2為參考系，由于斜面在水平方向有向左的加速度，所以該參考系為非慣性系.在非慣性系中，滑塊m1的受力情況如圖3所示，其中F是慣性力，方向與a2相反，大小為m1a2.

圖3

對(duì)滑塊m1，在垂直于斜面方向上有

而對(duì)斜面m2，在其水平方向上仍有

聯(lián)立兩式和N1＝N1′，解得斜面m2在水平方向運(yùn)動(dòng)的加速度為

點(diǎn)評(píng)：我們平常研究問題所采用的參考系為慣性系，而相對(duì)于慣性系加速或轉(zhuǎn)動(dòng)的參考系，我們稱為非慣性系.在非慣性系中，物體的運(yùn)動(dòng)不再遵從牛頓運(yùn)動(dòng)定律，如果通過轉(zhuǎn)換參考系的方法來求解，解題過程會(huì)很復(fù)雜.但若引入慣性力的概念，就可以在非慣性系中應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律的形式來解決相關(guān)的動(dòng)力學(xué)問題.

需要指出，在相對(duì)于慣性系做加速直線運(yùn)動(dòng)的非慣性系中，慣性力為F＝－ma，a是非慣性系相對(duì)于慣性系的加速度，F(xiàn)是物體在非慣性系中受到的假想的力，實(shí)際上并不存在慣性力的施力物體.

如果非慣性系相對(duì)于慣性系轉(zhuǎn)動(dòng)，其慣性力大小為F＝mω2r，ω是非慣性系相對(duì)于慣性系的角速度，此慣性力稱為慣性離心力.

引入非慣性系后，一般都能使分析和運(yùn)算過程簡化，是解決動(dòng)力學(xué)問題的一個(gè)非常有效的方法.

解法三：用數(shù)形結(jié)合求解

方法1：設(shè)任一時(shí)刻t，m1和m2的位置關(guān)系如圖4所示，AB即為m1在這段時(shí)間內(nèi)的位移，與斜面間的夾角為α，其中Δx1和Δx2分別為m1和m2在這段時(shí)間內(nèi)對(duì)應(yīng)的水平位移大小.

在圖4中，有DE＝BC，從而可得Δx2sinθ＝ABsinα，兩邊對(duì)時(shí)間求二階導(dǎo)數(shù)，可知m1和m2實(shí)際加速度大小滿足

圖4

作出m1的受力分析圖，如圖5，在力矢三角形中，由正弦定理，有

圖5

從而

由于m1和m2在水平方向上無外力作用，水平方向動(dòng)量守恒，有

將此式對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，有

即

由式（12）和式（13）有

由式（13）和式（14）有

即

所以

將式（15）代入式（16），整理后可得m2的加速度為

方法2：作出斜面靜止和運(yùn)動(dòng)兩種情況下的受力分析圖，并將各個(gè)加速度之間的關(guān)系在圖中一并畫出，如圖6所示.

圖6

易知AB就是斜面運(yùn)動(dòng)時(shí)m1受到的合力，而無論斜面是否運(yùn)動(dòng)，斜面對(duì)m1的彈力均垂直于斜面，故斜面靜止時(shí)，斜面對(duì)m1的彈力與重力m1g的合力就是AC的長度，且此合力大小為m1gsinθ，所以在圖6所示的加速度矢量三角形ABD中，AC段對(duì)應(yīng)的加速度大小應(yīng)為gsinθ，由該加速度矢量三角形中的幾何關(guān)系可得

即

如果能求出tanα的值，代入上式即可求得a2.

因m1做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，為方便計(jì)算tanα，可以假設(shè)m1從斜面的頂端滑至斜面底端，如圖7，在此過程中，m1的水平位移大小為x1，斜面的位移大小為x2，根據(jù)水平方向動(dòng)量守恒，有m1x1＝m2x2.

圖7

由圖7中幾何關(guān)系可得

由以上兩式求得

代入a2＝gtanα，從而求得斜面在水平方向上的加速度為

點(diǎn)評(píng)：使用本解法求解時(shí)，關(guān)鍵要理清物體間諸如受力情況、位移大小和方向之間的聯(lián)系，正確找出幾何圖形間的等量關(guān)系，如加速度a1和a2既與位移對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)有關(guān)，又在物體的受力情況中有所體現(xiàn)，而以上這些物理量分別與位移圖形、力矢三角形相對(duì)應(yīng)，只要正確找出連接它們之間關(guān)系的橋梁，運(yùn)用合適的數(shù)學(xué)方法，問題就可迎刃而解.

解法四：用連接體的關(guān)聯(lián)速度和加速度求解

沿斜面方向和垂直于斜面方向上建立xOy坐標(biāo)系，m1和m2的實(shí)際加速度a1和a2如圖8所示.

圖8

因?yàn)閙1和m2始終接觸未發(fā)生分離，故二者在垂直于斜面方向上無相對(duì)運(yùn)動(dòng)，二者的實(shí)際加速度在垂直于斜面方向上的分量相同，即

且

由前面對(duì)兩物體的受力分析可知，對(duì)于m1，在垂直于斜面方向上有

對(duì)m2，在其實(shí)際加速度a2方向上有

聯(lián)立各式，并注意到N1′＝N1，可以很方便地解出

點(diǎn)評(píng)：所謂關(guān)聯(lián)速度和加速度，就是通過某種方式聯(lián)系起來的速度、加速度，比如兩個(gè)物體在張緊的輕繩兩端運(yùn)動(dòng)，這時(shí)兩個(gè)物體的速度、加速度就是通過不可伸長的輕繩發(fā)生聯(lián)系，故有“沿著繩子方向上的速度、加速度一定相等”這個(gè)等量關(guān)系.

在本題中，m1和m2均不可發(fā)生形變，由剛體的力學(xué)性質(zhì)及“始終接觸未分離”這個(gè)約束可知，沿接觸面的法線方向，接觸雙方必須具有相同的法向分速度和加速度，否則兩物體將分離或發(fā)生形變.

所以，本解法的關(guān)鍵點(diǎn)就是m1和m2在垂直于斜面方向上的加速度大小相等，對(duì)二者列隔離方程時(shí)，務(wù)必在這個(gè)方向上進(jìn)行突破.

解法五：利用導(dǎo)數(shù)求解

建立如圖9所示的坐標(biāo)軸Ox，向右為正方向，設(shè)在任一時(shí)刻t，m2在Ox軸中的坐標(biāo)為x2，m1相對(duì)于m2的位移為s，則m1和m2在水平方向的速度及m1相對(duì)于m2斜面的速度分別為s·cosθ＋x·2，x·2和s·，方向如圖9所示.（這里的速度均為矢量形式，當(dāng)然也可以列標(biāo)量式，取其大小代入計(jì)算，只需將x·2反向即可）

圖9

m1和m2組成的系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒，有

在m1由靜止沿斜面下滑位移為s的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理，有

由式（17）可得

將式（19）代入式（18），整理后，有

上面等式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得

所以

負(fù)號(hào)表示加速度方向向左.

點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)和微分知識(shí)已經(jīng)作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的一部分，而高中物理教學(xué)大綱中也明確指出，“應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決物理問題的能力”是物理教學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，也是物理競賽和高考能力考查的重要組成部分，可以加強(qiáng)學(xué)科之間的相互滲透，更能培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方法，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解物理問題時(shí)，應(yīng)理解某一物理量的導(dǎo)數(shù)與另一物理量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，包括大小和方向，如加速度是速度的變化率，也是位移對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)，即

電流是通過導(dǎo)體橫截面的電荷量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，即

學(xué)生對(duì)于高考和競賽真題具有強(qiáng)烈的研究興趣，如果我們能對(duì)該題的幾種解法進(jìn)行詳細(xì)的剖析，引導(dǎo)學(xué)生從多途徑、多角度地去分析問題，不僅可以幫助學(xué)生總結(jié)解題規(guī)律，達(dá)到對(duì)知識(shí)的融會(huì)貫通，而且可以提高學(xué)生的邏輯思維和發(fā)散思維能力.