對一維彈性碰撞問題的巧妙解答

沈向安

（金塔縣中學 甘肅 酒泉 735300）

1 問題的提出

在各種版本的高中物理新課標教材選修3－5中都出現了對“一維彈性碰撞”（下文簡稱“彈性碰撞”）研究，根據動量守恒定律和機械能守恒定律列出方程組，并給出了方程組的解，且對該解進行了討論［1］.方程組的解答是該類問題解答的關鍵，然而這組方程除考查物理知識外，對學生的數學運算能力要求也很高.教參給出對該方程組通過因式分解后降次運算的解法［2］.但如果碰撞前兩物體都有動能，則用教參給出的方法不能方便地解答［3］.在近幾年的高考中也涉及到該類問題，如，2012年全國大綱卷理綜第21題（選擇題），2010年全國Ⅱ卷理綜第25題（簡答題），2007年寧夏卷理綜第30題（選修3－5）.對于高考題而言，用通常方法解答既費時又易出錯，對考生取得好的成績不利.在筆者閱讀過程中發現了一種簡便解法現分享如下.

2 解答模型的推導

2.1 閱讀的啟示

筆者在閱讀前蘇聯學者別萊利曼著的《趣味力學》第6章“碰撞”時獲得了對該類問題解答的啟示［4］.根據個人理解現將別萊利曼對完全彈性碰撞的觀點顯化如下.

如圖1，兩個質量分別為m1和m2的球分別以速度v10和v20在光滑水平面上向右運動，碰撞后兩球粘在一起，以速度u運動.以向右為正方向，對兩球由動量守恒定律，得

圖1

得

如果v20向左，則該式寫為

當上述兩個球的碰撞是完全彈性碰撞時，在碰撞部位上不但發生凹陷，并且接著又會凸起來，恢復原來的形狀.在凸起階段，對于追撞的球1除在凹陷階段已經失去了“一份速度”以外，還要再失去同樣的“一份速度”.即，碰后球1速度為

若v11＞0，碰后球1向右運動；若v11＜0，碰后球1向左運動.

對于被追撞的球2除了在凹陷階段已經增加了“一份速度”外，還要增加同樣“一份速度”.即，碰后球2的速度為

對于方向討論如碰后對球1的方法.

由上述可知，對于一維彈性碰撞中由動量守恒和機械能守恒列出的方程組可以用如下步驟解答.

先根據

求出假設兩球粘在一起的共同速度，然后根據v11＝2u－v10和v21＝2u－v20可直接求出碰后各球的速度.

2.2 模型合理性的推導

上述彈性碰撞過程非常短暫，為了將上述觀點進行科學推證，現把一維彈性碰撞過程分解成如圖2所示的幾個階段［3］，圖中為光滑水平面.這一過程分為壓縮階段（從剛開始接觸到具有相同速度u），如圖2（a）～（c）、恢復階段（從具有相同速度u到再次分離），如圖2（c）～ （e）［3，5］.

圖2

以初速度方向為正方向，對從（a）到（c）過程，由動量守恒定律，得

解得

對于碰撞過程中球1分析.

在壓縮階段：失去一份動量

在恢復階段：又失去一份動量

且 Δp＝Δp′［5］.

故在彈性碰撞過程中對于球1，碰撞后的動量為

上式消去m1，得

對于碰撞過程中球2分析.

因球1和球2在整個碰撞過程中動量守恒，故球1減少的動量全部增加在球2上，則有

又考慮到在壓縮過程中，球1和球2組成的系統動量守恒，故球1減少的動量等于球2增加的動量，則

由此可知，對碰后球2，有

即

對上式消去m2得

由上述可知，從別萊利曼敘述中所得到結論的合理性.由此用筆者所得對該問題的解答方法可以避免了對二次方程的直接解答，降低了數學運算難度，更體現了物理思維.

2.3 解法示范

下面以高考題為例解答，近一步說明該方法的簡捷性.

【例1】（2012年高考全國卷第21題）如圖3，大小相同的擺球a和b的質量分別為m和3m，擺長相同，并排懸掛，平衡時兩球剛好接觸，現將擺球a向左邊拉開一小角度后釋放，若兩球的碰撞是彈性的，下列判斷正確的是

A.第一次碰撞后的瞬間，兩球的速度大小相等

B.第一次碰撞后的瞬間，兩球的動量大小相等

C.第一次碰撞后，兩球的最大擺角不相同

D.發生第二次碰撞時，兩球在各自的平衡位置

答案：選項A，D

圖3

解：計算出兩球碰后的速度是解答A，B，C三個選項的關鍵.設小球a與b相碰時a球速度為va0，碰后a和b球速度分別為va1和vb1.因為兩球的碰撞是完全彈性碰撞，故由動量、能量都守恒，以向右為正.建立如下方程組

方程組解答如下

碰后a的速度為

碰后b的速度為

即向右運動.由此可以確定為選項A，進而可以計算選項B，C.選項D可用單擺模型確定.

【例2】（2010年高考全國Ⅱ卷第25題）小球A和B的質量分別為mA和mB，且mA＞mB.在某高度處將A和B先后從靜止釋放.小球A與水平面碰撞后向上彈回，在釋放處下方與釋放處距離為H 的地方恰好與正在下落的小球B發生正碰.設所有碰撞都是彈性的，碰撞時間極短.求小球A和B碰撞后B上升的最大高度.

解：因球A釋放后與地面碰撞無能量損失，當彈回到距釋放點下方H時，設速度大小為vA0，由能量守恒定律可得

即

由圖4可知球A速度方向向上.

此刻球B也下落至該點，速度為

方向向下.

兩球此刻發生彈性碰撞，組成系統的動量、機械能守恒，以向上為正方向（如圖4），設碰后球A和B的速度分別為vA1和vB1，方向都向上.由動量守恒定律和機械能守恒定律，得

圖4

對該方程組的解答如下

只要算出vB1就可以算出球B碰后上升的最大高度，則

由于mA＞mB，故vB1＞0，即碰后球B向上運動.

設碰后球B上升的最大高度為h，球B從碰后到上升到最高過程由動能定理得

由此解得

【例3】（2007年高考寧夏卷第30題）在光滑的水平面上，質量為m1的小球A以速率v0向右運動.在小球的前方O點處有一質量為m2的小球B處于靜止狀態，如圖5所示.小球A與小球B發生正碰后小球A與B均向右運動.小球B被在Q點處的墻壁彈回后與小球A在P點相遇，PQ＝1.5PO.假設小球間的碰撞及小球與墻壁之間的碰撞都是彈性的，求兩小球質量之比

圖5

解：本題中球A和B組成系統動量、機械能守恒.以向右為正方向，設碰后球A和B速度分別為vA和vB，且均向右，有

對該方程組的解答如下

可見，碰后兩球以vA和vB向右勻速運動，設經過時間t兩球相遇P點，由運動學知識，得

由此可得

由以上幾道高考題的運算可以明顯體會到，用此種算法能使該方程組的運算量明顯降低，該法能簡捷、準確地解答此類問題，為考生贏得時間和解題質量.

1 人民教育出版社，課程高中物理教科書研究所.普通高中課程標準實驗高中物理教科書物理·必修2.北京：人民教育出版社，2010.17～19

2 人民教育出版社，課程高中物理教科書研究所.普通高中課程標準實驗教科書物理·選修3－5教師教學用書.北京：人民教育出版社，2010.18

3 胡坤，王緒榮.彈性碰撞的速度計算方法.科學咨詢，2008（z1）：176

4 （蘇聯）別萊利曼著.趣味力學.符其珣譯.北京：中國青年出版社，1956.93～95

5 楊波，曲忠敏.解答彈性碰撞問題的一種新方法.物理教師，2005，26（7）：64