三階幻方的解法喻俊鵬

喻俊鵬

如圖1的圖案叫做幻方，其中9個格中的點數分別是1，2，3，4，5，6，7，

8，9。每一橫行、每一豎列以及兩條斜對角線上的點數的和都是15。

在如圖1所示的正方形方格中，既不重復又不遺漏地填上9個數，使每行、每列、每條對角線上的三個數的和都相等，這樣的圖形叫做三階幻方，相等的和叫做幻和。

1.幻和。由題設知圖1中的幻和為15，它可以通過以下計算求出：

（1+2+3+4+5+6+7+8+9）÷3=45÷3=15。

即幻和等于9個數的和的。

2.中心數。處于幻方最中間的數我們稱為“中心數”。觀察圖1可知其中心數為5，其位置最為關鍵，因為它要分別與第二行、第二列以及兩條斜對角線上的數進行求和運算，因此應首先確定中心數。中心數應如何確定呢？

如圖2，經過幻方中心方格有4條虛線，每條虛線上的3個數之和都等于幻和。

所以4條虛線上的3個數之和=幻和×4。

又因為幻和×4=9個數之和+中心數×3（因為中心數重復了3次），

即幻和×4=幻和×3+中心數×3。

兩邊都減去幻和×3，得幻和=中心數×3。

所以中心數=幻和÷3=15÷3=5。

故圖1中最中間方格中的數應為5。

3.四個角上的數。除了中心數外，我們發現幻方中4個角上的數也很重要，因為他們各自都要與一行、一列及一條對角線上的數進行求和運算。顯然，只要中心數和4個角上的數確定了，則其他的數便可根據幻和來填寫了。

如圖1，在1至9的點數中，3個不同的點數相加等于15的有以下8種情形：

①9+5+1；②9+4+2；③8+6+1；④8+5+2；

⑤8+4+3；⑥7+6+2；⑦7+5+3；⑧6+5+4。

因此每行、每列以及每條對角線上的3個數可以是上述8個算式中任意一個算式中的3個數。但是，由于中心數是5，且4個角上的數要同時出現在3個算式中，所以符合條件的4個數只有2、4、6、8（注意：他們都是偶數位上的數）。將它們分別填在4個角上，其他的數就好填了。例如，圖1中的點數就是一種填法。

要注意的是，雖然2、4、6、8填在4個角上可得到8種填法，但它們都可以看作是通過一個圖的旋轉和翻折得到的，因此只能看作是一種填法。

規律總結：根據上面對圖1的分析與探究，對于三階幻方這種填數游戲我們可得到以下規律：

（1）中心數=幻和÷3（一般就是這9個數從小到大排列后中間的那個數）。

（2）4個角上的數的確定：先將已知的9個數按從小到大的順序排列起來，并編號1～9，則偶數位上的數就是4個角上的數。同時要注意，將編號為2、8號的數填在幻方的一條對角線上，編號為4、6號的數填在幻方的另一條對角線上。

（3）確定了中心數和4個角上的數之后，再根據幻和便可填寫其他的數了。

牛刀小試

請在圖3的空格中填上適當的數，使每行、每列、每條對角線上的3個數之和都等于48。

牛刀小試參考答案：為解題方便，我們可將圖3幻方中其余空格內的數分別用字母來表示，如圖4所示。

因為幻和是48，所以中心數E=48÷3=16。根據幻方圖中已有數據可得到：

D=48-（18+16）=14；A=48-（14+19）=15；

G=48-（15+16）=17；C=48-（17+18）=13；

B=48-（13+15）=20；F=48-（20+16）=12。

按照以上數據，即可得到所求幻和為48的幻方如圖5所示。

如圖1的圖案叫做幻方，其中9個格中的點數分別是1，2，3，4，5，6，7，

8，9。每一橫行、每一豎列以及兩條斜對角線上的點數的和都是15。

在如圖1所示的正方形方格中，既不重復又不遺漏地填上9個數，使每行、每列、每條對角線上的三個數的和都相等，這樣的圖形叫做三階幻方，相等的和叫做幻和。

1.幻和。由題設知圖1中的幻和為15，它可以通過以下計算求出：

（1+2+3+4+5+6+7+8+9）÷3=45÷3=15。

即幻和等于9個數的和的。

2.中心數。處于幻方最中間的數我們稱為“中心數”。觀察圖1可知其中心數為5，其位置最為關鍵，因為它要分別與第二行、第二列以及兩條斜對角線上的數進行求和運算，因此應首先確定中心數。中心數應如何確定呢？

如圖2，經過幻方中心方格有4條虛線，每條虛線上的3個數之和都等于幻和。

所以4條虛線上的3個數之和=幻和×4。

又因為幻和×4=9個數之和+中心數×3（因為中心數重復了3次），

即幻和×4=幻和×3+中心數×3。

兩邊都減去幻和×3，得幻和=中心數×3。

所以中心數=幻和÷3=15÷3=5。

故圖1中最中間方格中的數應為5。

3.四個角上的數。除了中心數外，我們發現幻方中4個角上的數也很重要，因為他們各自都要與一行、一列及一條對角線上的數進行求和運算。顯然，只要中心數和4個角上的數確定了，則其他的數便可根據幻和來填寫了。

如圖1，在1至9的點數中，3個不同的點數相加等于15的有以下8種情形：

①9+5+1；②9+4+2；③8+6+1；④8+5+2；

⑤8+4+3；⑥7+6+2；⑦7+5+3；⑧6+5+4。

因此每行、每列以及每條對角線上的3個數可以是上述8個算式中任意一個算式中的3個數。但是，由于中心數是5，且4個角上的數要同時出現在3個算式中，所以符合條件的4個數只有2、4、6、8（注意：他們都是偶數位上的數）。將它們分別填在4個角上，其他的數就好填了。例如，圖1中的點數就是一種填法。

要注意的是，雖然2、4、6、8填在4個角上可得到8種填法，但它們都可以看作是通過一個圖的旋轉和翻折得到的，因此只能看作是一種填法。

規律總結：根據上面對圖1的分析與探究，對于三階幻方這種填數游戲我們可得到以下規律：

（1）中心數=幻和÷3（一般就是這9個數從小到大排列后中間的那個數）。

（2）4個角上的數的確定：先將已知的9個數按從小到大的順序排列起來，并編號1～9，則偶數位上的數就是4個角上的數。同時要注意，將編號為2、8號的數填在幻方的一條對角線上，編號為4、6號的數填在幻方的另一條對角線上。

（3）確定了中心數和4個角上的數之后，再根據幻和便可填寫其他的數了。

牛刀小試

請在圖3的空格中填上適當的數，使每行、每列、每條對角線上的3個數之和都等于48。

牛刀小試參考答案：為解題方便，我們可將圖3幻方中其余空格內的數分別用字母來表示，如圖4所示。

因為幻和是48，所以中心數E=48÷3=16。根據幻方圖中已有數據可得到：

D=48-（18+16）=14；A=48-（14+19）=15；

G=48-（15+16）=17；C=48-（17+18）=13；

B=48-（13+15）=20；F=48-（20+16）=12。

按照以上數據，即可得到所求幻和為48的幻方如圖5所示。

如圖1的圖案叫做幻方，其中9個格中的點數分別是1，2，3，4，5，6，7，

8，9。每一橫行、每一豎列以及兩條斜對角線上的點數的和都是15。

在如圖1所示的正方形方格中，既不重復又不遺漏地填上9個數，使每行、每列、每條對角線上的三個數的和都相等，這樣的圖形叫做三階幻方，相等的和叫做幻和。

1.幻和。由題設知圖1中的幻和為15，它可以通過以下計算求出：

（1+2+3+4+5+6+7+8+9）÷3=45÷3=15。

即幻和等于9個數的和的。

2.中心數。處于幻方最中間的數我們稱為“中心數”。觀察圖1可知其中心數為5，其位置最為關鍵，因為它要分別與第二行、第二列以及兩條斜對角線上的數進行求和運算，因此應首先確定中心數。中心數應如何確定呢？

如圖2，經過幻方中心方格有4條虛線，每條虛線上的3個數之和都等于幻和。

所以4條虛線上的3個數之和=幻和×4。

又因為幻和×4=9個數之和+中心數×3（因為中心數重復了3次），

即幻和×4=幻和×3+中心數×3。

兩邊都減去幻和×3，得幻和=中心數×3。

所以中心數=幻和÷3=15÷3=5。

故圖1中最中間方格中的數應為5。

3.四個角上的數。除了中心數外，我們發現幻方中4個角上的數也很重要，因為他們各自都要與一行、一列及一條對角線上的數進行求和運算。顯然，只要中心數和4個角上的數確定了，則其他的數便可根據幻和來填寫了。

如圖1，在1至9的點數中，3個不同的點數相加等于15的有以下8種情形：

①9+5+1；②9+4+2；③8+6+1；④8+5+2；

⑤8+4+3；⑥7+6+2；⑦7+5+3；⑧6+5+4。

因此每行、每列以及每條對角線上的3個數可以是上述8個算式中任意一個算式中的3個數。但是，由于中心數是5，且4個角上的數要同時出現在3個算式中，所以符合條件的4個數只有2、4、6、8（注意：他們都是偶數位上的數）。將它們分別填在4個角上，其他的數就好填了。例如，圖1中的點數就是一種填法。

要注意的是，雖然2、4、6、8填在4個角上可得到8種填法，但它們都可以看作是通過一個圖的旋轉和翻折得到的，因此只能看作是一種填法。

規律總結：根據上面對圖1的分析與探究，對于三階幻方這種填數游戲我們可得到以下規律：

（1）中心數=幻和÷3（一般就是這9個數從小到大排列后中間的那個數）。

（2）4個角上的數的確定：先將已知的9個數按從小到大的順序排列起來，并編號1～9，則偶數位上的數就是4個角上的數。同時要注意，將編號為2、8號的數填在幻方的一條對角線上，編號為4、6號的數填在幻方的另一條對角線上。

（3）確定了中心數和4個角上的數之后，再根據幻和便可填寫其他的數了。

牛刀小試

請在圖3的空格中填上適當的數，使每行、每列、每條對角線上的3個數之和都等于48。

牛刀小試參考答案：為解題方便，我們可將圖3幻方中其余空格內的數分別用字母來表示，如圖4所示。

因為幻和是48，所以中心數E=48÷3=16。根據幻方圖中已有數據可得到：

D=48-（18+16）=14；A=48-（14+19）=15；

G=48-（15+16）=17；C=48-（17+18）=13；

B=48-（13+15）=20；F=48-（20+16）=12。

按照以上數據，即可得到所求幻和為48的幻方如圖5所示。