證明圓的切線的三種典型例題

李冬梅

切線是直線與圓的位置關系中最重要的一種關系。隨著新課改的推進，近幾年的中考題中越來越多地出現了證明圓的切線的題型，為此，我在教學中積累了證明圓的切線的幾道典型例題，每道題中都經典地用到了切線的判定定理，但方法各異。下面我介紹三道經典題。

例1.在直角三角形ABC中，AC=3 cm，BC=4 cm，∠C=90°當r為2.4 cm時，以C為圓心，r為半徑的圓與AB有何位置關系？為什么？

思路導析：如下圖所示，欲判定⊙C與直線AB的關系，只需求出圓心C到直線AB的距離CD，然后與r比較就可以。

解：做CD⊥AB于點D。

在直角三角形ABC中，AC=3 cm，BC=4 cm，∠C=90°

有勾股定理得：AB=5 cm

又∵S=AB×CD÷2=AC×BC÷2

∴CD=2.4 cm ∴CD=r=2.4 cm

∴AB與⊙C相切.

例2.如下圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AC平分∠DAB，AD⊥CD于D.試猜想CD所在直線與⊙O的位置關系，并證明。

思路導析：圓的切線的判定定理的條件是：①經過半徑外端點。②這條半徑與直線垂直。

證明：連接OC

方法（一）：

∵AO=CO ∴∠OAC=∠OCA

∵AC平分∠DAB ∴∠CAB=∠DAC

又∵AD⊥CD于點D ∴∠DAC+∠ACD=90°

∴∠AOC+∠ACD=90°∴OC⊥AD∴CD所在直線與⊙O相切.

方法（二）：

∵弧BC所對的圓心角、圓周角分別是∠BOC和∠CAB

∴∠BOC和∠2CAB ∵AC平分∠DAB ∴∠CAB和∠DAC

∴∠DAB和∠BOC ∴OC∥AD ∴∠OCD和∠ACD

∵AD⊥CD于點D ∴OC⊥CD ∴CD所在直線與⊙O相切.

例3.直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD∥BC，E為AB上一點，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB為直徑的圓與邊CD有怎樣的位置關系？請證明你的結論。

思路導析：本題沒有指明圓心在直徑AB上的哪一點，可先做EF⊥CD于點F，再證明E點是圓心，EF是半徑即可。

證明：做EF⊥CD于點F

∵DE平分∠ADC，∠A=90°，EF⊥CD于點F

∴AE=EF 同理可證：BE=EF ∴AE=BE=EF

∵AB為直徑 ∴E是圓心，EF是半徑

∴AB為直徑的圓與邊CD相切。

綜合上述三種典型例題，不難發現，圓的切線的判定定理可用兩句話概括“作垂直證半徑”“連半徑證垂直”。