一類含絕對值函數的探究

許飄勇

在講解不等式選講時，有道填空題要求解函數y=2|x-1|+|x-2|+|4x-3|的單調區間和值域，若用零點分區間法求出分段函數的表達式，再用圖象，得出單調區間和值域，雖然思路簡單，但耗時費力，準確率低.筆者思考能不能根據參數就可畫出函數草圖，數形結合就易得答案.

對于可化為形如f（x）=k1|x-a1|+k2|x-a2|+…+kn|x-an|（其中a1

當k1+k2+…+kn>0時，

若x∈（∞，a1]，則f（x）=-k1（x-a1）-k2（x-a2）-…-kn（x-an）=-（k1+k2+…+kn）x+（k1a1+k2a2+…+knan）

所以函數在（∞，a1]單調遞減.

若x∈[an，+∞），則f（x）=k1（x-a1）+k2（x-a2）+…+kn（x-an）=（k1+k2+…+kn）x-（k1a1+k2a2+…+knan）

所以函數在[an，+∞）單調遞增.

若x∈[ai，ai+1]（i=1，2…n-1）

當f（ai）

當f（ai）>f（ai+1）時，函數在[ai，ai+1]單調遞減；

當f（ai）=f（ai+1）時，函數在[ai，ai+1]的圖象是（ai，f（ai）），（ai+1，

f（ai+1））為端點的水平線段.

若記M=min{f（a1），f（a2）…f（an）}，則此時值域為[M，+∞）.

當k1+k2+…+kn<0時，

若x∈（-∞，a1]，則f（x）=-k1（x-a1）-k2（x-a2）-…-kn（x-an）=

-（k1+k2+…+kn）x+（k1a1+k2a2+…+knan）

所以圖象在（-∞，a1]單調遞增.

若x∈[an，+∞），則f（x）=k1（x-a1）+k2（x-a2）+…+kn（x-an）=（k1+k2+…+kn）x-（k1a1+k2a2+…+knan）

所以圖象在[an，+∞）單調遞減.

若x∈[ai，ai+1]（i=1，2…n-1）

當f（ai，）

當f（ai，）>f（ai+1）時，在[ai，ai+1]單調遞減；

當f（ai，）=f（ai+1）時，在[ai，ai+1]圖象是（ai，f（ai）），（ai+1，f（ai+1））為端點的水平線段.

若記N=max{f（a1），f（a2）…f（an）}，則此時值域為（-∞，N]

當k1+k2+…+kn=0時，

若x∈（-∞，a1]，則f（x）=-k1（x-a1）-k2（x-a2）-…-kn（x-an）=-（k1+k2+…+kn）x+（k1a1+k2a2+…+knan）=（k1a1+k2a2+…+knan）

所以圖象在（-∞，a1]是以（a1，f（a1））為端點方向向左的水平射線.

若x∈[an，+∞），則f（x）=k1（x-a1）+k2（x-a2）+…+kn（x-an）=（k1+k2+…+kn）x-（k1a1+k2a2+…+knan）=-（k1a1+k2a2+…+knan）

所以圖象在[an，+∞）是以（an，f（an））為端點方向向右的水平射線.

若x∈[ai，ai+1]（i=1，2…n-1）

當f（ai）

當f（ai）>f（ai+1）時，在[ai，ai+1]單調遞減

當f（ai）=f（ai+1）時，在[ai，ai+1]圖象是（ai，f（ai）），（ai+1，f（ai+1））為端點的水平線段.

若記M=min{f（a1），f（a2）…f（an）}，N=max{f（a1），f（a2）…f（an）}，則值域為[M，N].

總之，形如f（x）=k1|x-a1|+k2|x-a2|+…+kn|x-an|（其中a1

1.定義域x∈（-∞，+∞）.

2.圖象、單調性、值域.整個圖象是連續不斷的折線.

當k1+k2+…+kn>0時，圖象為W型.在（-∞，a1]單調遞減，在[an，+∞）單調遞增，中間是以（ai，f（ai）），（ai+1，f（ai+1））（i=1，2…n-1）為端點的線段連接而成的連續不斷的折線.若記M=min{f（a1），f（a2）…

f（an）}，則值域為[M，+∞）.

當k1+k2+…+kn<0時，圖象為M型，在（-∞，a1]單調遞增，在[an，+∞）單調遞減，中間是以（ai，f（ai）），（ai+1，f（ai+1））（i=1，2…n-1）為端點的線段連接而成的連續不斷的折線.若記N=max{f（a1），f（a2）…

f（an）}，則值域為（-∞，N].

當k1+k2+…+kn=0時，圖象為Z型，在（-∞，a1]是以（a1，f（a1））為端點方向向左的水平射線，在[an，+∞）是以（an，f（an））為端點方向向右的水平射線，中間是以（ai，f（ai）），（ai+1，f（ai+1））（i=1，2…n-1）為端點的線段連接而成的連續不斷的折線.若記M=min{f（a1），f（a2）…

f（an）}，N=max{f（a1），f（a2）…f（an）}，則值域為[M，N].

所以y=2|x-1|+|x-2|-|4x-12|可化為y=2|x-1|+|x-2|-4|x-3|，先描（1，-7），（2-2），（3，5），計算2+1-4=-1，可得圖象為M型，易得單調增區間為（-∞，3]，單調減區間為[3，+∞）]；值域為（-∞，5].