神經元模型隨機共振特性研究

張巳遷+盧玲+彭月平

摘 要： 隨機共振在含噪神經元系統的研究中有很大的優勢。通過建立神經元仿真模型，并分別以閾值下信號和閾值上信號加以刺激，利用數值仿真和非線性分析理論，分析神經元模型的隨機共振特性。結果顯示神經元模型在閾值上和閾值下都顯示出了單峰性，說明神經元系統中存在隨機共振現象。

關鍵字： 神經元模型； 隨機共振； 數值仿真； 含噪神經元系統

中圖分類號： TN911.4?34； TP391 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）21?0058?04

Research on stochastic resonance characteristics of neuron model

ZHANG Si?qian， LU Ling， PENG Yue?ping

（Thirteen Brigade of Graduate， Engineering University of CAPF， Xian 710086， China）

Abstract： Stochastic resonance has a great advantage in the research of noisy neurons system. In this paper， the threshold signals is used to excite the neuron simulation model， and the characteristics of stochastic resonance in neurons system are analyzed by means of numerical simulation and nonlinear analysis theory. The results show that neuron model reveals the unimodality in both threshold values. That means a phenomenon of stochastic resonance exists in neuron system.

Keywords： neuron model； stochastic resonance； numerical simulation； noisy neuron system

0 引 言

在傳統的去噪方法中，噪聲被人們普遍當成一種干擾而加以消除。當隨機共振現象被Benzi等提出來后[1]，人們才發現噪聲在一定情況下可以增強有用信號的提取。而隨機共振現象也受到人們更多關注。隨機共振現象是指在非線性系統中，通過噪聲做媒介引起微弱周期信號與自身系統的協同作用，來增強對微弱信號的提取。顯然， 隨機共振對噪聲的處理與其他抑制或消除噪聲的處理方法不同。隨機共振并沒有消除噪聲， 它是充分利用噪聲來強化弱信號。而抑制方法則是盡可能地消除噪聲。隨機共振現象存在許多方面，如工業、醫學、生物學等，而近些年的研究表明，生物神經系統中是有噪聲存在的，同時也存在著隨機共振現象。

20世紀50年代Hodgkin和Huxley就建立了著名的Hodgkin?Huxley即（H?H）神經元模型來研究神經元的放電特性。而FitzHugh和Nagumo通過簡化H?H模型提出了FitzHugh_Nagumo即（FHN）神經元模型。1994年， Wiesenfeld 等在FNH神經元模型中發現了隨機共振的存在[2]，通過這些模型人們了解到神經元當中也存在隨機共振現象。生物神經系統向來是被認為有噪聲存在的，比如經典的小龍蝦尾部神經元隨機共振實驗就是由Douglass等發現的[3]。Marks等研究了閾值系統在圖像增強方面的應用[4]，發現在閾值系統中存在一個噪聲強度， 使得含噪圖像具有最佳視覺效果；Hongler等的研究表明，視覺系統中隨機共振的存在有助于圖像邊緣檢測，這些結果都為圖像復原增強提供了新思路[4]。

Hodgkin?Huxley（H?H）神經元模型是一種定量描述神經細胞膜電位與離子流參數關系的數學模型。而FitzHugh?Nagumo（FHN）模型是H?H神經元模型的簡化版本，但同樣描述了神經電信號在軸突間的傳遞過程[5]。本文通過建立H?H神經元模型和FHN神經元系統模型，研究在高斯白噪聲下，閾值上信號和閾值下信號刺激神經元模型產生的隨機共振現象及其特性，并探究神經元模型的隨機共振機制。將其等效為一個兩態的閾值跨越模型。

1 神經元模型的隨機共振研究

隨機共振概念自被提出以來，已有了較大發展。本文以FHN神經元模型和H?H神經元模型為研究對象來研究神經元隨機共振特性。

在仿真實驗中，選用方波信號和正弦信號作為周期信號輸入，所添加的噪聲均為高斯白噪聲，噪聲強度[D]表示方差的大小。

正弦信號表達式為：

[S（t）=Isin（2πft）] （1）

式中：[I]表示信號的幅值；[f]表示信號的頻率。

方波信號占空比為50%，表達式為：

[S（t）=I， t∈[0，12f]-I， t∈[12f，1f]] （2）

式中：[I]為信號的幅值；[f]為信號的頻率。

非周期信號選用脈沖序列信號，表達式為：

[S（t）=Ai=-∞∞SiΓ（t-iT）] （3）

式中：[A]表示信號的幅值；[Γ（t）=I， t∈[0，T]0， 其他；][T]表示脈沖寬度；[Si=±1]表示獨立分布的隨機變量。這里脈沖寬度為20 ms，采樣的時間間隔為0.02 ms。

1.1 FHN神經元模型隨機共振研究

FHN神經元模型表達式如式（4）所示：

[εdvdt=v（1-v）（v-a）-w+AT-B+Iextdwdt=γ（v-w-b）] （4）

研究FHN神經元模型隨機共振時各參數取值如下[6]：[ε=0.005，][γ=1，][a=0.5，][b=0.15，][AT=0.11 mV，][B=0.07 mV；]在受到外界刺激時，如果[V]正向跨越閾值[V=]0.5 mV，則表示神經元模型在外信號的刺激下發放動作電位[7]，若未跨越閾值，則認為神經元的響應為0。

1.1.1 FHN神經元模型閾值下隨機共振

設刺激信號[S（t）=Isin（2πft）。]幅值為[I=]0.08 μA/cm2，頻率[f=15]Hz。輸入噪聲類型為高斯白噪聲。當噪聲強度[D]不同時，FHN神經元模型輸出響應如圖1所示。

其中，圖1（a）表示原始刺激信號[S（t）。]從圖1（b）中可以看出，當[D=0]時，神經元模型未被激活，并無動作電位的發放。圖1（c）～圖1（e）分別表示[D=]0.4×10-6，[D=]1.8×10-6，[D=]15×10-6時的輸出響應。可以看出，當噪聲不斷加強時，輸出響應與輸入信號之間的關系從好逐漸變差。其中，噪聲強度略大于零或過大時，神經元模型的輸出響應與輸入信號的關聯性都不是很好。只有適當的噪聲強度才能使這種輸出響應與輸入信號之間的關系達到最大化。

從圖1中可以看出，周期輸入時信號在閾值下時，互信息率隨著噪聲強度的增大呈現出單峰性，在某一非零范圍內存在最大值，這表明，當輸入閾值下周期信號時，FHN神經元模型具有典型的隨機共振特性。

圖1 閾值下周期信號輸入，FHN神經元模型響應示意圖

1.1.2 FHN神經元模型閾值上隨機共振

設刺激信號[S（t）=Isin（2πft）。]幅值為[I=]0.1 μA/cm2，頻率[f=15]Hz。輸入噪聲類型為高斯白噪聲。當噪聲強度[D]不同時，FHN神經元模型輸出響應如圖2所示。

其中，圖2（a）表示原始刺激信號[S（t）。]從圖2（b）中可以看出，當[D=0]時，神經元模型未被激活，并無動作電位的發放。圖2（c），圖2（d）分別表示[D=]1.2×10-6，[D=]5×10-6時的輸出響應。可以看出，當噪聲不斷加強時，輸出響應與輸入信號之間的關系從好逐漸變差。其中，噪聲強度略大于零或過大時，神經元模型的輸出響應與輸入信號的關聯性都不是很好。只有適當的噪聲強度才能使這種輸出響應與輸入信號之間的關系達到最大化。這也說明FHN神經元模型中存在著隨機共振現象。

1.2 H?H神經元模型隨機共振研究

H?H神經元模型的表達式如下：

[CmdVdt=Iext-gNam3h（V-UNa）-gKn4（V-UK）-gL（V-UL）dhdt=h∞（V）-hτh（V）dndt=n∞（V）-nτn（V）dmdt=m∞（V）-mτm（V）]

圖2 閾值上周期信號輸入，FHN神經元模型響應示意圖

其參數取值如下：

[UNa=50 mV，][UK=-77 mV，][UL=-54.4 mV，][gNa=][120 ms/cm2，][gK=36 ms/cm2，][gL=0.3 ms/cm2，][Cm=1 μF/cm2。]

[m∞（V）=am（am+bm），]其中[am=（0.1V+4）（1-e-（0.1V+4）），][bm=4e-（0.055 6V+3.611 1）。]

[h∞（V）=ah（ah+bh），]其中[ah=0.07e-（0.05V+3.25），bh=][1（1+e-（0.1V+3.5））。]

[n∞（V）=an（an+bn），]其中[an=（0.01V+0.55）/][（1-e-（0.1V+5.5）），] [bn=0.125e-（0.012 5V+0.812 5）。]

1.2.1 H?H神經元模型閾值下隨機共振

以信號幅值[I=0.8] μA/cm2，頻率[f=15]Hz，占空比為50%，恒定偏移量[I0=0.5]μA/cm2的方波為刺激電流。輸入噪聲為高斯白噪聲。當噪聲強度[D]不同時，H?H神經元模型輸出響應如圖3所示。

其中，圖3（a）表示原始刺激信號[S（t）。]從圖3（b）中可以看出，當[D=0]時，神經元模型未被激活，并無動作電位的發放。圖3（c）～圖3（e）分別表示[D=0.3，][D=1.5，][D=18]時的輸出響應。可以看出，當噪聲不斷加強時，輸出響應與輸入信號之間的關系從好逐漸變差。當噪聲強度超過一定范圍時，神經元模型放電次數過于頻繁，呈現出隨機發放的狀態，失去了與信號的關聯性。

1.2.2 H?H神經元模型閾值上隨機共振

以幅值[I=]1.2 μA/cm2，頻率[f=15]Hz，占空比為50%，恒定偏移量[I0=]0.6 μA/cm2的方波為刺激電流。噪聲強度不同時，H?H神經元模型響應如圖4所示。

圖3 閾值下周期信號輸入，H?H神經元模型響應示意圖

圖4 閾值上周期信號輸入，H?H神經元模型響應示意圖

從圖4可以看出，與輸入閾值下信號不同，噪聲為0時，H?H神經元模型已經被激活，表明此時收到的為閾值上信號刺激。圖4（c），圖4（d）分別表示[D=]1.8，[D=12]時的輸出響應。可以看出，當噪聲不斷加強時，輸出響應與輸入信號之間的關系從好逐漸變差。當噪聲強度超過一定范圍時，神經元模型放電次數過于頻繁，呈現出隨機發放的狀態，失去了與信號的關聯性。這表明H?H神經元模型在閾值上能檢測到隨機共振現象。

2 結 語

通過實驗可以知道，利用外加周期信號控制隨機共振的方法在渦街頻率檢測中的應用是可行和有效的，同時該方法也適用于其他涉及強噪聲中的微弱信號檢測，因而具有良好的應用前景[10]。本文通過對FHN神經元模型和H?H神經元模型閾值上和閾值下信號的研究和分析，得出一些結果。從實驗結果來看：FHN神經元模型在閾值下時，周期信號最好效果在[D=1.8×10-6；]在閾值上時，周期信號最好效果在[D=1.2×10-6。]而H?H神經元模型在閾值下時，周期信號最好效果在[D=1.5；]在閾值上時，周期信號最好效果在[D=1.8。]

通過本文實驗同時可以得出，在閾值上用不同強度的周期信號和非周期信號加以刺激時，H?H和FHN神經元模型的仿真結果均出現了一種由低到高再到低的一種趨勢，也就是所謂的單峰性。這表明在閾值上H?H神經元模型和FHN神經元模型具有很好的隨機共振現象。同時在閾值下用不同強度的周期信號和非周期信號加以刺激時，也出現了同樣的效果，說明H?H神經元模型和FHN神經元模型在閾值上和閾值下都具有很好的隨機共振現象。這就可以將神經元系統等效為類似于二值系統，該系統在信號處理上有可能更加簡單和方便。但本實驗還存在一定的不足之處，對于在實際的信號處理上本文并沒有做一實驗，這也將是本文在今后研究的主要方向。

參考文獻

[1]胡崗，郝伯林.隨機力與非線性系統[M].上海：上海科技教育出版社，1994.

[2] WIESENFELD K， PIERSON P， PANT AZE LOU E， et al. Stochastics on ance on a circle [J]. Physical Review Letters， 1994， 72（14）： 2125?2129.

[3] DOUGLASS J K， WILKEN S L， PANTAZELOU E， et al. Noise enhancement of the information transfer in cray fish mechano receptors by stochastic resonance [J]. Nature， 1993， 365（6444）： 337?340.

[4] 薛凌云，段會龍，向學勤，等.基于FitzHugh?Naguno 神經元隨機共振機制的圖像復原[J].浙江大學學報：工學版，2010（6）：1103?1107.

[5] 王海玲，范影樂，陳可，等.基于FHN 神經元隨機共振的低劑量肺部CT圖像增強[J].航天醫學與醫學工程，2012（2）：1002?1005.

[6] 梁軍利，楊樹元，唐志峰.基于隨機共振的微弱信號檢測[J].電子與信息學報，2008，28（6）：1068?1072.

[7] 張廣軍，徐建學，王相波，等.FitHugh?Nagumo神經元模型非閾下響應的隨機共振[J].空軍工程大學學報：自然科學版，2006，7（4）：79?81.

[8] MCCULLOUGH W S， PITTS W. A logical calculus of ideas immanent in nervous activity [J]. Bull Math Biophys， 1943， 5： 115?133.

[9] 王俊琦.閾值神經元模型的隨機共振[D].合肥：合肥工業大學，2010.

[10] 張美麗，林敏.外加周期信號控制下的隨機共振及其應用[J].中國計量學院學報，2011（2）：1004?1006.

從圖4可以看出，與輸入閾值下信號不同，噪聲為0時，H?H神經元模型已經被激活，表明此時收到的為閾值上信號刺激。圖4（c），圖4（d）分別表示[D=]1.8，[D=12]時的輸出響應。可以看出，當噪聲不斷加強時，輸出響應與輸入信號之間的關系從好逐漸變差。當噪聲強度超過一定范圍時，神經元模型放電次數過于頻繁，呈現出隨機發放的狀態，失去了與信號的關聯性。這表明H?H神經元模型在閾值上能檢測到隨機共振現象。

2 結 語

通過實驗可以知道，利用外加周期信號控制隨機共振的方法在渦街頻率檢測中的應用是可行和有效的，同時該方法也適用于其他涉及強噪聲中的微弱信號檢測，因而具有良好的應用前景[10]。本文通過對FHN神經元模型和H?H神經元模型閾值上和閾值下信號的研究和分析，得出一些結果。從實驗結果來看：FHN神經元模型在閾值下時，周期信號最好效果在[D=1.8×10-6；]在閾值上時，周期信號最好效果在[D=1.2×10-6。]而H?H神經元模型在閾值下時，周期信號最好效果在[D=1.5；]在閾值上時，周期信號最好效果在[D=1.8。]

通過本文實驗同時可以得出，在閾值上用不同強度的周期信號和非周期信號加以刺激時，H?H和FHN神經元模型的仿真結果均出現了一種由低到高再到低的一種趨勢，也就是所謂的單峰性。這表明在閾值上H?H神經元模型和FHN神經元模型具有很好的隨機共振現象。同時在閾值下用不同強度的周期信號和非周期信號加以刺激時，也出現了同樣的效果，說明H?H神經元模型和FHN神經元模型在閾值上和閾值下都具有很好的隨機共振現象。這就可以將神經元系統等效為類似于二值系統，該系統在信號處理上有可能更加簡單和方便。但本實驗還存在一定的不足之處，對于在實際的信號處理上本文并沒有做一實驗，這也將是本文在今后研究的主要方向。

參考文獻

[1]胡崗，郝伯林.隨機力與非線性系統[M].上海：上海科技教育出版社，1994.

[2] WIESENFELD K， PIERSON P， PANT AZE LOU E， et al. Stochastics on ance on a circle [J]. Physical Review Letters， 1994， 72（14）： 2125?2129.

[3] DOUGLASS J K， WILKEN S L， PANTAZELOU E， et al. Noise enhancement of the information transfer in cray fish mechano receptors by stochastic resonance [J]. Nature， 1993， 365（6444）： 337?340.

[4] 薛凌云，段會龍，向學勤，等.基于FitzHugh?Naguno 神經元隨機共振機制的圖像復原[J].浙江大學學報：工學版，2010（6）：1103?1107.

[5] 王海玲，范影樂，陳可，等.基于FHN 神經元隨機共振的低劑量肺部CT圖像增強[J].航天醫學與醫學工程，2012（2）：1002?1005.

[6] 梁軍利，楊樹元，唐志峰.基于隨機共振的微弱信號檢測[J].電子與信息學報，2008，28（6）：1068?1072.

[7] 張廣軍，徐建學，王相波，等.FitHugh?Nagumo神經元模型非閾下響應的隨機共振[J].空軍工程大學學報：自然科學版，2006，7（4）：79?81.

[8] MCCULLOUGH W S， PITTS W. A logical calculus of ideas immanent in nervous activity [J]. Bull Math Biophys， 1943， 5： 115?133.

[9] 王俊琦.閾值神經元模型的隨機共振[D].合肥：合肥工業大學，2010.

[10] 張美麗，林敏.外加周期信號控制下的隨機共振及其應用[J].中國計量學院學報，2011（2）：1004?1006.

從圖4可以看出，與輸入閾值下信號不同，噪聲為0時，H?H神經元模型已經被激活，表明此時收到的為閾值上信號刺激。圖4（c），圖4（d）分別表示[D=]1.8，[D=12]時的輸出響應。可以看出，當噪聲不斷加強時，輸出響應與輸入信號之間的關系從好逐漸變差。當噪聲強度超過一定范圍時，神經元模型放電次數過于頻繁，呈現出隨機發放的狀態，失去了與信號的關聯性。這表明H?H神經元模型在閾值上能檢測到隨機共振現象。

2 結 語

通過實驗可以知道，利用外加周期信號控制隨機共振的方法在渦街頻率檢測中的應用是可行和有效的，同時該方法也適用于其他涉及強噪聲中的微弱信號檢測，因而具有良好的應用前景[10]。本文通過對FHN神經元模型和H?H神經元模型閾值上和閾值下信號的研究和分析，得出一些結果。從實驗結果來看：FHN神經元模型在閾值下時，周期信號最好效果在[D=1.8×10-6；]在閾值上時，周期信號最好效果在[D=1.2×10-6。]而H?H神經元模型在閾值下時，周期信號最好效果在[D=1.5；]在閾值上時，周期信號最好效果在[D=1.8。]

通過本文實驗同時可以得出，在閾值上用不同強度的周期信號和非周期信號加以刺激時，H?H和FHN神經元模型的仿真結果均出現了一種由低到高再到低的一種趨勢，也就是所謂的單峰性。這表明在閾值上H?H神經元模型和FHN神經元模型具有很好的隨機共振現象。同時在閾值下用不同強度的周期信號和非周期信號加以刺激時，也出現了同樣的效果，說明H?H神經元模型和FHN神經元模型在閾值上和閾值下都具有很好的隨機共振現象。這就可以將神經元系統等效為類似于二值系統，該系統在信號處理上有可能更加簡單和方便。但本實驗還存在一定的不足之處，對于在實際的信號處理上本文并沒有做一實驗，這也將是本文在今后研究的主要方向。

參考文獻

[1]胡崗，郝伯林.隨機力與非線性系統[M].上海：上海科技教育出版社，1994.

[2] WIESENFELD K， PIERSON P， PANT AZE LOU E， et al. Stochastics on ance on a circle [J]. Physical Review Letters， 1994， 72（14）： 2125?2129.

[3] DOUGLASS J K， WILKEN S L， PANTAZELOU E， et al. Noise enhancement of the information transfer in cray fish mechano receptors by stochastic resonance [J]. Nature， 1993， 365（6444）： 337?340.

[4] 薛凌云，段會龍，向學勤，等.基于FitzHugh?Naguno 神經元隨機共振機制的圖像復原[J].浙江大學學報：工學版，2010（6）：1103?1107.

[5] 王海玲，范影樂，陳可，等.基于FHN 神經元隨機共振的低劑量肺部CT圖像增強[J].航天醫學與醫學工程，2012（2）：1002?1005.

[6] 梁軍利，楊樹元，唐志峰.基于隨機共振的微弱信號檢測[J].電子與信息學報，2008，28（6）：1068?1072.

[7] 張廣軍，徐建學，王相波，等.FitHugh?Nagumo神經元模型非閾下響應的隨機共振[J].空軍工程大學學報：自然科學版，2006，7（4）：79?81.

[8] MCCULLOUGH W S， PITTS W. A logical calculus of ideas immanent in nervous activity [J]. Bull Math Biophys， 1943， 5： 115?133.

[9] 王俊琦.閾值神經元模型的隨機共振[D].合肥：合肥工業大學，2010.

[10] 張美麗，林敏.外加周期信號控制下的隨機共振及其應用[J].中國計量學院學報，2011（2）：1004?1006.