用“特殊值法”妙解“壓軸題”

解數(shù)學(xué)題時(shí)，如果直接解原題難以入手，不妨先考察它的某些簡單特例，通過解答特例，最終達(dá)到解決原題的目的. 這種思想方法，稱為“特殊值法”.

特殊值法的邏輯依據(jù)是：對(duì)于一般性成立的結(jié)論，特殊值必然成立，而當(dāng)特殊值成立時(shí)一般性的結(jié)果未必成立. 雖然“特殊情形”只是“一般性結(jié)論”的必要條件，但若題目要求從若干結(jié)論中選取一種時(shí)，特殊值法仍然不失為一種有效的方法.

基于上述考慮，特殊值法多用于解選擇題.有時(shí)也可用于填空題，但需要更加慎重——必須首先判斷這是一個(gè)“一般性的結(jié)論”，即與題目所給的參數(shù)無關(guān). 運(yùn)用該法能有效避免“小題大做”.

從中也可發(fā)現(xiàn)，特殊值法的實(shí)質(zhì)是從滿足題目所給條件的眾多情形中選擇的一種，以最少的代價(jià)換取成功. 既然如此，在符合“特殊值法”邏輯依據(jù)的前提下，也可將之運(yùn)用于解答題，尤其是具有一定難度的“壓軸題”，從而實(shí)現(xiàn)“大題小做”.

下面結(jié)合實(shí)例，探討“特殊值法”在“壓軸題”中的運(yùn)用.

用特殊值法尋找“壓軸題”的結(jié)論

壓軸題中經(jīng)常會(huì)這樣設(shè)計(jì)：求某參數(shù)的值，求定點(diǎn)、定直線等問題，這些問法有一個(gè)共性，即最后的結(jié)論唯一，這時(shí)我們可以嘗試?yán)靡恍┨厥馇樾稳ふ乙蟮慕Y(jié)論.

例1 已知函數(shù)f（x）=x3-3ax+1，求所有的實(shí)數(shù)a，使得不等式-1≤f（x）≤1對(duì)x∈[0， ]恒成立.

解析：因?yàn)閒 ′（x）=3x2-3a，可得將參數(shù)a分a≤0、a≥3、0

f（x）在[0， ]上遞減，在[ ， ]上遞增，所以f（x）在[0， ]上的最小值為f（ ）=1-2a . 所以f（a）≥-1，f（ ）≤1，f（0）≤1，即a ≤1，a≥1，所以a=1. 整個(gè)解題過程比較煩瑣，要完整地解決本題需要考生有較好的數(shù)學(xué)功底.

思考：既然本題要對(duì)所有的x∈[0， ]都要成立，可以取某些特殊值代入不等式進(jìn)行嘗試.

“特殊值法”：發(fā)現(xiàn)x= 時(shí)不等式可化為1≤a≤ ，再取x=1得 ≤a≤1，由此可快速得到結(jié)論a=1. 下面只須把a(bǔ)=1代入不等式進(jìn)行驗(yàn)算即可.

例2 已知橢圓C： +y2=1的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，過點(diǎn)S0，- 的動(dòng)直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解析：本題設(shè)T（m，n），A（x1，y1），B（x2，y2），在由題意可得 · =0，要得到定點(diǎn)T的坐標(biāo)，就要使得以上等式和直線方程斜率k無關(guān)，從而求出定點(diǎn)T的坐標(biāo).

思考：對(duì)于解析幾何的問題思路，我們都能想到，但是中間化簡的艱辛又是我們比較害怕的，那么對(duì)于這樣的問題我們還有其他更好的辦法嗎？

“特殊值法”：讀完本題，我們不難發(fā)現(xiàn)，我們可以根據(jù)直線斜率不存在和直線斜率為0兩種特殊的情況將定點(diǎn)（0，1）求出，再對(duì) · =0進(jìn)行驗(yàn)證，此時(shí)我們將較為復(fù)雜的解幾問題轉(zhuǎn)化為簡單的證明問題，這也給大家一個(gè)提示，對(duì)于求定點(diǎn)、定直線的問題，我們很多時(shí)候都可以先通過特殊的幾個(gè)位置，算出定點(diǎn)、定直線，再進(jìn)行驗(yàn)證.

用特殊值法縮小“壓軸題”的探究空間

求最值是高考中的一大熱點(diǎn)，參數(shù)和自變量都在變化，不容易求出最后結(jié)果，我們可以利用滿足題意的特殊數(shù)據(jù)將要求的最值范圍縮小.

例3 已知函數(shù)f（x）=lnx-x+a，其中a∈R. 若a∈[0，2]且存在實(shí)數(shù)k使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈[1，e]恒有f（x）≥kx-xlnx-1成立，求k-a的最大值.

解析：f（x）≥kx-xlnx-1恒成立，求k-a的最值問題即取值范圍問題，我們常用的一種策略為參數(shù)分離，即k≤ +lnx+ ，問題轉(zhuǎn)化為求g（x）= +lnx+ min，g′（x）= ，f（x）max=f（1）=a-1， f（x）min=1-e+a. 可分①0

當(dāng)1

令y=2lnx0+ -x0，x0∈（1，e），則y′= - -1=- -1 <0，所以k-a<0.

本題討論情況較多，以上僅列出其中一種情況，此時(shí)大部分同學(xué)會(huì)遇到不同程度的困難，我們對(duì)于含參問題存在一定的畏懼感，而對(duì)題中所給的k-a的最大值可能會(huì)更加棘手，部分考生會(huì)覺得本題可能就是 “雞肋”——食之難以下手，棄之感覺可惜. 最后就算給了答案也只能是望題興嘆. 在這樣的情況下我們是否能另辟蹊徑呢？

思考：觀察發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x∈[1，e]恒有f（x）≥kx-xlnx-1成立，不妨取x=1，x=e（因?yàn)閘n1=0，lne=1）代入不等式進(jìn)行嘗試，我們可以得到2+a-ke≥0，k-a≤0，接下來我們僅需要證明存在k=a，若能找到這樣的k，a，則解題目標(biāo)已經(jīng)達(dá)成.

“特殊值法”：令g（x）=f（x）-kx+xlnx+1，取x=1有g(shù)（1）=-1-k+1+a≥0？圯k-a≤0. 下證存在k，a使k-a=0.此時(shí)再取k=a=0，可知g′（x）= +lnx>0在[1，e]上恒成立，故g（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，由g（x）min=g（1）≥0知k-a的最大值為0.

用特殊值法猜想“壓軸題”的結(jié)論

壓軸題很多時(shí)候會(huì)涉及存在性問題，恰恰從正面去找存在的值是比較困難的，我們可以根據(jù)題意去猜想所要的結(jié)論，再證明結(jié)論.

例4 已知函數(shù)f（x）=x2-（a+2）x+alnx，其中常數(shù)a>0. 設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h（x）在點(diǎn)P（x0，h（x0））處的切線方程為l：y=g（x），當(dāng)x≠x0時(shí)，若 >0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=h（x）的“類對(duì)稱點(diǎn)”，請(qǐng)你探究當(dāng)a=4時(shí)，函數(shù)y=f（x）是否存在“類對(duì)稱點(diǎn)”，若存在，請(qǐng)求出至少一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)；若不存在，則說明理由.

解析：解決本題關(guān)鍵就是判斷φ（x）=f（x）-g（x）的符號(hào)情況，我們可以得到φ′（x）= ，接下來我們就可以將x0分成0 ，x0= 三種情況來解決，在每種情況下我們?cè)僬f明φ（x）的單調(diào)性，從而得到我們所要的結(jié)果.這樣解決這道題，思路方法雖然清晰，但中間的環(huán)節(jié)難以妥善處理，給解題帶來困難.

思考：回觀本題，既然要求“是否存在這樣的點(diǎn)”，不妨嘗試先找到這樣的特殊點(diǎn)，再進(jìn)行驗(yàn)證，解題難度將會(huì)大大降低. 由題可得f ′（x）=2x-6+ = >0？圯f（x）在（-∞，1），（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，由f（x）的函數(shù)圖象及在點(diǎn)P（x0，h（x0））的切線方程可知x0∈（1，2），x0的取值范圍縮小了，接下來我們?nèi)フ乙恍┨厥獾狞c(diǎn)，我們發(fā)現(xiàn)[f ′（x）]′=0？圯x= ，再根據(jù)圖形我們就找到了這樣的一個(gè)類對(duì)稱點(diǎn).

“特殊值法”：令m（x）=f′（x）=2x-6+ ，則m′（x）=2- =0？圯x= . 猜想x0= 為f（x）的類對(duì)稱點(diǎn). 下證明之.

令θ（x）=f（x）-g（x）=x2-4 x+4lnx+6-2ln2，θ′（x）=2x+ -4 .

①當(dāng)00，則θ（x）在（0， ）上單調(diào)遞增，θ（x）<θ（ ）=0恒成立，故 >0恒成立；②當(dāng)x> 時(shí)，θ′（x）>0，則θ（x）在（ ，+∞）上單調(diào)遞增，θ（x）>θ（ ）=0恒成立，故 >0恒成立.

綜上得：存在類對(duì)稱點(diǎn)橫坐標(biāo)x= .

在壓軸題中運(yùn)用“特殊值法”，通常需要具備特殊的結(jié)構(gòu)、特殊的數(shù)據(jù)或特殊的命題表述. 盡管“特殊值法”運(yùn)用的條件限制較多，但這種“巧用”并非只是“雕蟲小技”，需要敏銳的觀察力，更需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬇袛嗄芰? 一旦可以運(yùn)用，就可以大大降低壓軸題的難度，達(dá)到“四兩撥千斤”的效果.

？搖？搖事實(shí)上，就壓軸題本身而言，雖然通過一些常規(guī)的思路、通用的解法或許也能解決，但往往耗時(shí)費(fèi)力. 在解題過程的某個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)中，有時(shí)需要打破傳統(tǒng)“出奇制勝”，這正是壓軸題之為“壓軸”的含義所在. 就此而言，“特殊值法”給予我們更大的啟示在于：充分挖掘解題信息，打破思維定式，尋求更優(yōu)秀的解題之道，讓思想充滿靈氣.

例4 已知函數(shù)f（x）=x2-（a+2）x+alnx，其中常數(shù)a>0. 設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h（x）在點(diǎn)P（x0，h（x0））處的切線方程為l：y=g（x），當(dāng)x≠x0時(shí)，若 >0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=h（x）的“類對(duì)稱點(diǎn)”，請(qǐng)你探究當(dāng)a=4時(shí)，函數(shù)y=f（x）是否存在“類對(duì)稱點(diǎn)”，若存在，請(qǐng)求出至少一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)；若不存在，則說明理由.

解析：解決本題關(guān)鍵就是判斷φ（x）=f（x）-g（x）的符號(hào)情況，我們可以得到φ′（x）= ，接下來我們就可以將x0分成0 ，x0= 三種情況來解決，在每種情況下我們?cè)僬f明φ（x）的單調(diào)性，從而得到我們所要的結(jié)果.這樣解決這道題，思路方法雖然清晰，但中間的環(huán)節(jié)難以妥善處理，給解題帶來困難.

思考：回觀本題，既然要求“是否存在這樣的點(diǎn)”，不妨嘗試先找到這樣的特殊點(diǎn)，再進(jìn)行驗(yàn)證，解題難度將會(huì)大大降低. 由題可得f ′（x）=2x-6+ = >0？圯f（x）在（-∞，1），（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，由f（x）的函數(shù)圖象及在點(diǎn)P（x0，h（x0））的切線方程可知x0∈（1，2），x0的取值范圍縮小了，接下來我們?nèi)フ乙恍┨厥獾狞c(diǎn)，我們發(fā)現(xiàn)[f ′（x）]′=0？圯x= ，再根據(jù)圖形我們就找到了這樣的一個(gè)類對(duì)稱點(diǎn).

“特殊值法”：令m（x）=f′（x）=2x-6+ ，則m′（x）=2- =0？圯x= . 猜想x0= 為f（x）的類對(duì)稱點(diǎn). 下證明之.

令θ（x）=f（x）-g（x）=x2-4 x+4lnx+6-2ln2，θ′（x）=2x+ -4 .

①當(dāng)00，則θ（x）在（0， ）上單調(diào)遞增，θ（x）<θ（ ）=0恒成立，故 >0恒成立；②當(dāng)x> 時(shí)，θ′（x）>0，則θ（x）在（ ，+∞）上單調(diào)遞增，θ（x）>θ（ ）=0恒成立，故 >0恒成立.

綜上得：存在類對(duì)稱點(diǎn)橫坐標(biāo)x= .

在壓軸題中運(yùn)用“特殊值法”，通常需要具備特殊的結(jié)構(gòu)、特殊的數(shù)據(jù)或特殊的命題表述. 盡管“特殊值法”運(yùn)用的條件限制較多，但這種“巧用”并非只是“雕蟲小技”，需要敏銳的觀察力，更需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬇袛嗄芰? 一旦可以運(yùn)用，就可以大大降低壓軸題的難度，達(dá)到“四兩撥千斤”的效果.

？搖？搖事實(shí)上，就壓軸題本身而言，雖然通過一些常規(guī)的思路、通用的解法或許也能解決，但往往耗時(shí)費(fèi)力. 在解題過程的某個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)中，有時(shí)需要打破傳統(tǒng)“出奇制勝”，這正是壓軸題之為“壓軸”的含義所在. 就此而言，“特殊值法”給予我們更大的啟示在于：充分挖掘解題信息，打破思維定式，尋求更優(yōu)秀的解題之道，讓思想充滿靈氣.

例4 已知函數(shù)f（x）=x2-（a+2）x+alnx，其中常數(shù)a>0. 設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h（x）在點(diǎn)P（x0，h（x0））處的切線方程為l：y=g（x），當(dāng)x≠x0時(shí)，若 >0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=h（x）的“類對(duì)稱點(diǎn)”，請(qǐng)你探究當(dāng)a=4時(shí)，函數(shù)y=f（x）是否存在“類對(duì)稱點(diǎn)”，若存在，請(qǐng)求出至少一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)；若不存在，則說明理由.

解析：解決本題關(guān)鍵就是判斷φ（x）=f（x）-g（x）的符號(hào)情況，我們可以得到φ′（x）= ，接下來我們就可以將x0分成0 ，x0= 三種情況來解決，在每種情況下我們?cè)僬f明φ（x）的單調(diào)性，從而得到我們所要的結(jié)果.這樣解決這道題，思路方法雖然清晰，但中間的環(huán)節(jié)難以妥善處理，給解題帶來困難.

思考：回觀本題，既然要求“是否存在這樣的點(diǎn)”，不妨嘗試先找到這樣的特殊點(diǎn)，再進(jìn)行驗(yàn)證，解題難度將會(huì)大大降低. 由題可得f ′（x）=2x-6+ = >0？圯f（x）在（-∞，1），（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，由f（x）的函數(shù)圖象及在點(diǎn)P（x0，h（x0））的切線方程可知x0∈（1，2），x0的取值范圍縮小了，接下來我們?nèi)フ乙恍┨厥獾狞c(diǎn)，我們發(fā)現(xiàn)[f ′（x）]′=0？圯x= ，再根據(jù)圖形我們就找到了這樣的一個(gè)類對(duì)稱點(diǎn).

“特殊值法”：令m（x）=f′（x）=2x-6+ ，則m′（x）=2- =0？圯x= . 猜想x0= 為f（x）的類對(duì)稱點(diǎn). 下證明之.

令θ（x）=f（x）-g（x）=x2-4 x+4lnx+6-2ln2，θ′（x）=2x+ -4 .

①當(dāng)00，則θ（x）在（0， ）上單調(diào)遞增，θ（x）<θ（ ）=0恒成立，故 >0恒成立；②當(dāng)x> 時(shí)，θ′（x）>0，則θ（x）在（ ，+∞）上單調(diào)遞增，θ（x）>θ（ ）=0恒成立，故 >0恒成立.

綜上得：存在類對(duì)稱點(diǎn)橫坐標(biāo)x= .

在壓軸題中運(yùn)用“特殊值法”，通常需要具備特殊的結(jié)構(gòu)、特殊的數(shù)據(jù)或特殊的命題表述. 盡管“特殊值法”運(yùn)用的條件限制較多，但這種“巧用”并非只是“雕蟲小技”，需要敏銳的觀察力，更需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬇袛嗄芰? 一旦可以運(yùn)用，就可以大大降低壓軸題的難度，達(dá)到“四兩撥千斤”的效果.

？搖？搖事實(shí)上，就壓軸題本身而言，雖然通過一些常規(guī)的思路、通用的解法或許也能解決，但往往耗時(shí)費(fèi)力. 在解題過程的某個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)中，有時(shí)需要打破傳統(tǒng)“出奇制勝”，這正是壓軸題之為“壓軸”的含義所在. 就此而言，“特殊值法”給予我們更大的啟示在于：充分挖掘解題信息，打破思維定式，尋求更優(yōu)秀的解題之道，讓思想充滿靈氣.