一種快速的等值線生成算法

董肇偉++盧海達++倪廣元++王劍秦

摘 要：本文提出了一種新的等值點位于網格點時，對等值點的調整方法；在分析已有等值線追蹤算法的基礎上，提出了一種基于TIN網格的快速等值線追蹤算法，實驗表明該算法具有較高的執行效率。

關鍵詞：等值線 等值點 TIN網格

中圖分類號：TP391.41 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）04（a）-0033-02

等值線圖能直觀地展示數據的變化趨勢，是眾多領域展示成果的重要圖件之一，被廣泛應用于石油勘探、礦物開采、氣象預報等眾多領域。等值線的繪制是指從大量采樣數據中提取出具有相同值的點的信息，并生成形態完整、位置精確的等值線的過程，包括等值線網格化、等值線追蹤、等值線光滑、等值線填充與標注幾個處理步驟[1]。其中等值線網格化是對網格邊進行線性插值，進而求出等值點的過程。等值線的追蹤則是利用等值線網格化產生的等值點數據，將其中相同等值點進行連接的過程。等值線追蹤的傳統方法是，在網格單元邊上選取一個等值點，尋找鄰近的等值點，順次連接成線，直到等值點回到起始點或位于工區邊界，完成單條等值線的追蹤，并以此為基礎遍歷所有的等值點。在追蹤過程中，等值線分為閉合與非閉合兩種情形，需要先追蹤開曲線，再追蹤閉曲線，否則不能確保結果正確。特定的搜索順序提高了處理過程的復雜性，增加了網格單元的重復搜索次數，致使效率低下。

針對此類問題，很多學者提出了在不規則三角網（TIN網格）下的改進方法，成建梅[2]等提出為三角形三邊分別賦予不同的權值，以方便確定三角形單元內等值點的位置。但是這只是對局部的改進，未涉及等值線追蹤過程的優化。黃維科[3]等基于三角形單元內等值線段容易確定的事實，提出了使用“焊接法”將相同的等值點連接從而生成整條等值線的方法。但是在搜索等值線段間的共同等值點時，需要對已確定的等值線段進行遍歷，執行效率提高幅度有限；并且使用的是簡單的坐標值判別法，容易因機器誤差引起錯誤結果。

1 改進的等值線生成算法

現在常用的用于生成等值線的網格有矩形網格、TIN網格等。綜合考慮，本文選用TIN網格。生成等值線的主要步驟中，等值線的網格化處理與等值線的追蹤是基礎與關鍵，直接影響等值線的準確度和生成速度。接下來將針對TIN網格，介紹對這兩個過程的改進。

1.1 等值線網格化處理方法

在TIN網格中，等值線網格化處理的作用就是在網格邊上計算出各等值點，為之后的等值線追蹤提供基礎數據。以三角形單元為單位，遍歷整個TIN網格，判斷三角形棱邊上有無等值點[4]，使用公式：

其中z為等值線的高程，zi，zj是對應三角形頂點的高程。若存在，則等值點的坐標為：

1.2 等值線追蹤算法

本文采用的追蹤思想即是：從一個等值點出發，沿任意方向搜索等值點，直到回到起點或者到達邊界；再從起點開始沿反向搜索未經過的點。最終生成一條等值線。

為了提高搜索效率，注意到在經過網格化處理后，可以保證每條三角形棱邊至多有一個等值點，而與該等值點相連的等值點至多有兩個。所以在以三角形單元為單位遍歷TIN網格時，給每一棱邊指定唯一的序號，若找出等值點，則記錄與之相連的等值點所處的棱邊。接下來以棱邊為基本單元追蹤等值線，這樣的好處是便于構造順序存儲結構，進而使用隨機存取機制，加快追蹤速度。

序號的引入將問題轉化為簡單的數值匹配，避免了常規算法中使用的方位信息。同時可以忽略常規等值線追蹤算法中的特定追蹤順序，對于拓撲復雜TIN網格，不考慮三角形棱邊是否位于邊界上可以大大簡化處理的復雜度。

2 算法實現

2.1 數據結構

程序要兼顧按索引查找時的快捷和等值點插入的便利，故選擇混合存儲結構。具體實現如下。

等值點的數據結構見表1。

三角單元棱邊的數據結構見表2。

其中訪問標記指示是否追蹤過該邊，初始時置為False。等值點1是位于該邊上的等值點。等值點2指針指向當前等值線上的另一個端點（隊尾）。鄰接邊1，2上的等值點與該邊上的相連。

當完成等值線網格化處理后，所有等值點被計算出，三角網格邊中的棱邊序號、等值點1指針、鄰接棱邊1與鄰接棱邊2的序號均被確定。特別的，當棱邊上的等值點為一條非閉合等值線的端點時，它只有一個有效的鄰接棱邊。

2.2 算法流程

（1）從TIN網格中順次讀取一個棱邊E1。如果E1上不存在等值點，或訪問標記為TRUE，重復步驟（1）。否則，置訪問標記為True，根據鄰接邊1序號讀取棱邊Ei，轉到步驟（2）。

（2）置Ei的訪問標記為True，并將它的等值點移動到前一個等值點的末尾。若Ei即是E1，完成單條等值線的搜索，轉到步驟（1）。否則，讀取Ei上不同于前一棱邊的鄰接邊序號。若存在，則在讀取新的棱邊Ei，重復步驟（2）。若不存在，根據E1的鄰接邊2序號取出棱邊Ej，轉到步驟（3）。

（3）置Ej的訪問標記為True，將等值線頭結點移動到Ej上等值點的末尾。讀取Ej上不同于后一個點所在邊的鄰接邊序號。若存在，則取出新的棱邊Ej，重復步驟（3）。若不存在，完成單條等值線的搜索，轉到步驟（1）。

當所有棱邊都在步驟（1）中被讀取過后，算法完成。

3 實驗結果與分析

筆者將本文提出的改進算法運用到“裂縫性儲層精細描述軟件”當中，利用該算法獲得層面模型的等值線，并經過平滑、著色處理后，得到如圖4所示的效果圖。

為進一步測試算法效率，利用圖4中的層面，計算傳統追蹤算法和改進算法的運行時間。層面模型包含22827個坐標點，出于確保結果有效性的考慮，指定等值線高程值的個數分別為5，10，15，…，60，從而獲得12組測試數據。隨著高程值個數的增加，程序會多次調用追蹤算法，相當于增多了模型坐標點與等值點的個數。

采用改進算法追蹤等值線，速度平均提升30%以上。這是因為由于TIN網格拓撲復雜，追蹤等值線時大量時間消耗在對網格的遍歷上。傳統算法在計算等值點時需要遍歷一遍網格，在進行等值線追蹤時，又要遍歷兩遍：第一遍以位于網格邊界的等值點為起點，查找非閉合等值線；第二遍再查找閉合等值線。而本文提出的改進算法只需要在計算等值點時遍歷一遍網格，由于遍歷時為三角形單元的棱邊設置索引，在追蹤等值線時，直接按索引遍歷從而避開了TIN網格的復雜性對程序的不良影響。并且，改進算法中不區分等值線的開閉性，可以用統一的過程追蹤，又減少一次對棱邊的遍歷。故改進算法的時間性能大幅優于傳統算法。

4 結論

本文基于TIN網格，提出了一種快速的等值線生成算法，該算法改進了等值點位于網格頂點時，對其進行偏移的方法，盡最大限度減小偏移量的不確定性，使結果更貼合原始數據。之后，針對現有主流追蹤算法過程繁瑣，實現復雜的弱點，為三角單元棱邊設置索引，簡化遍歷過程，并將閉合和非閉合兩種等值線的追蹤方法統一，大大簡化追蹤流程。在等值線繪圖中，采用TIN網格有兩大優點：一是等值線連接方式唯一，不會出現矩形網格中的二義性問題；二是TIN網格使用的是原始數據點，避免了網格擬合帶來的誤差，尤其在原始數據密集的情況下，能高度還原地形地貌。本文的工作使得TIN網格下等值線的追蹤更加方便快捷，從而可以較好的應用于地質建模領域。

參考文獻

[1] 王鵬.等值線快速繪圖方法研究及系統設計與實現[D].電子科技大學，2011.

[2] 成建梅，陳崇希，孫紅林.三角網格等值線自動生成方法及程序實現[J].水利學報，1998，10（10）：23-26.

[3] 黃維科，王弘琪.在AutoCAD中用“焊接法”繪制等高線[J].公路與汽運，2005，1：29.

[4] 李瑞雪.球物理等值線構建及屬性建立[D].中南大學，2012.

[5] 韓麗娜.地質等值線圖的生成與繪制[D].西安：西安科技大學，2006.endprint

摘 要：本文提出了一種新的等值點位于網格點時，對等值點的調整方法；在分析已有等值線追蹤算法的基礎上，提出了一種基于TIN網格的快速等值線追蹤算法，實驗表明該算法具有較高的執行效率。

關鍵詞：等值線 等值點 TIN網格

中圖分類號：TP391.41 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）04（a）-0033-02

等值線圖能直觀地展示數據的變化趨勢，是眾多領域展示成果的重要圖件之一，被廣泛應用于石油勘探、礦物開采、氣象預報等眾多領域。等值線的繪制是指從大量采樣數據中提取出具有相同值的點的信息，并生成形態完整、位置精確的等值線的過程，包括等值線網格化、等值線追蹤、等值線光滑、等值線填充與標注幾個處理步驟[1]。其中等值線網格化是對網格邊進行線性插值，進而求出等值點的過程。等值線的追蹤則是利用等值線網格化產生的等值點數據，將其中相同等值點進行連接的過程。等值線追蹤的傳統方法是，在網格單元邊上選取一個等值點，尋找鄰近的等值點，順次連接成線，直到等值點回到起始點或位于工區邊界，完成單條等值線的追蹤，并以此為基礎遍歷所有的等值點。在追蹤過程中，等值線分為閉合與非閉合兩種情形，需要先追蹤開曲線，再追蹤閉曲線，否則不能確保結果正確。特定的搜索順序提高了處理過程的復雜性，增加了網格單元的重復搜索次數，致使效率低下。

針對此類問題，很多學者提出了在不規則三角網（TIN網格）下的改進方法，成建梅[2]等提出為三角形三邊分別賦予不同的權值，以方便確定三角形單元內等值點的位置。但是這只是對局部的改進，未涉及等值線追蹤過程的優化。黃維科[3]等基于三角形單元內等值線段容易確定的事實，提出了使用“焊接法”將相同的等值點連接從而生成整條等值線的方法。但是在搜索等值線段間的共同等值點時，需要對已確定的等值線段進行遍歷，執行效率提高幅度有限；并且使用的是簡單的坐標值判別法，容易因機器誤差引起錯誤結果。

1 改進的等值線生成算法

現在常用的用于生成等值線的網格有矩形網格、TIN網格等。綜合考慮，本文選用TIN網格。生成等值線的主要步驟中，等值線的網格化處理與等值線的追蹤是基礎與關鍵，直接影響等值線的準確度和生成速度。接下來將針對TIN網格，介紹對這兩個過程的改進。

1.1 等值線網格化處理方法

在TIN網格中，等值線網格化處理的作用就是在網格邊上計算出各等值點，為之后的等值線追蹤提供基礎數據。以三角形單元為單位，遍歷整個TIN網格，判斷三角形棱邊上有無等值點[4]，使用公式：

其中z為等值線的高程，zi，zj是對應三角形頂點的高程。若存在，則等值點的坐標為：

1.2 等值線追蹤算法

本文采用的追蹤思想即是：從一個等值點出發，沿任意方向搜索等值點，直到回到起點或者到達邊界；再從起點開始沿反向搜索未經過的點。最終生成一條等值線。

為了提高搜索效率，注意到在經過網格化處理后，可以保證每條三角形棱邊至多有一個等值點，而與該等值點相連的等值點至多有兩個。所以在以三角形單元為單位遍歷TIN網格時，給每一棱邊指定唯一的序號，若找出等值點，則記錄與之相連的等值點所處的棱邊。接下來以棱邊為基本單元追蹤等值線，這樣的好處是便于構造順序存儲結構，進而使用隨機存取機制，加快追蹤速度。

序號的引入將問題轉化為簡單的數值匹配，避免了常規算法中使用的方位信息。同時可以忽略常規等值線追蹤算法中的特定追蹤順序，對于拓撲復雜TIN網格，不考慮三角形棱邊是否位于邊界上可以大大簡化處理的復雜度。

2 算法實現

2.1 數據結構

程序要兼顧按索引查找時的快捷和等值點插入的便利，故選擇混合存儲結構。具體實現如下。

等值點的數據結構見表1。

三角單元棱邊的數據結構見表2。

其中訪問標記指示是否追蹤過該邊，初始時置為False。等值點1是位于該邊上的等值點。等值點2指針指向當前等值線上的另一個端點（隊尾）。鄰接邊1，2上的等值點與該邊上的相連。

當完成等值線網格化處理后，所有等值點被計算出，三角網格邊中的棱邊序號、等值點1指針、鄰接棱邊1與鄰接棱邊2的序號均被確定。特別的，當棱邊上的等值點為一條非閉合等值線的端點時，它只有一個有效的鄰接棱邊。

2.2 算法流程

（1）從TIN網格中順次讀取一個棱邊E1。如果E1上不存在等值點，或訪問標記為TRUE，重復步驟（1）。否則，置訪問標記為True，根據鄰接邊1序號讀取棱邊Ei，轉到步驟（2）。

（2）置Ei的訪問標記為True，并將它的等值點移動到前一個等值點的末尾。若Ei即是E1，完成單條等值線的搜索，轉到步驟（1）。否則，讀取Ei上不同于前一棱邊的鄰接邊序號。若存在，則在讀取新的棱邊Ei，重復步驟（2）。若不存在，根據E1的鄰接邊2序號取出棱邊Ej，轉到步驟（3）。

（3）置Ej的訪問標記為True，將等值線頭結點移動到Ej上等值點的末尾。讀取Ej上不同于后一個點所在邊的鄰接邊序號。若存在，則取出新的棱邊Ej，重復步驟（3）。若不存在，完成單條等值線的搜索，轉到步驟（1）。

當所有棱邊都在步驟（1）中被讀取過后，算法完成。

3 實驗結果與分析

筆者將本文提出的改進算法運用到“裂縫性儲層精細描述軟件”當中，利用該算法獲得層面模型的等值線，并經過平滑、著色處理后，得到如圖4所示的效果圖。

為進一步測試算法效率，利用圖4中的層面，計算傳統追蹤算法和改進算法的運行時間。層面模型包含22827個坐標點，出于確保結果有效性的考慮，指定等值線高程值的個數分別為5，10，15，…，60，從而獲得12組測試數據。隨著高程值個數的增加，程序會多次調用追蹤算法，相當于增多了模型坐標點與等值點的個數。

采用改進算法追蹤等值線，速度平均提升30%以上。這是因為由于TIN網格拓撲復雜，追蹤等值線時大量時間消耗在對網格的遍歷上。傳統算法在計算等值點時需要遍歷一遍網格，在進行等值線追蹤時，又要遍歷兩遍：第一遍以位于網格邊界的等值點為起點，查找非閉合等值線；第二遍再查找閉合等值線。而本文提出的改進算法只需要在計算等值點時遍歷一遍網格，由于遍歷時為三角形單元的棱邊設置索引，在追蹤等值線時，直接按索引遍歷從而避開了TIN網格的復雜性對程序的不良影響。并且，改進算法中不區分等值線的開閉性，可以用統一的過程追蹤，又減少一次對棱邊的遍歷。故改進算法的時間性能大幅優于傳統算法。

4 結論

本文基于TIN網格，提出了一種快速的等值線生成算法，該算法改進了等值點位于網格頂點時，對其進行偏移的方法，盡最大限度減小偏移量的不確定性，使結果更貼合原始數據。之后，針對現有主流追蹤算法過程繁瑣，實現復雜的弱點，為三角單元棱邊設置索引，簡化遍歷過程，并將閉合和非閉合兩種等值線的追蹤方法統一，大大簡化追蹤流程。在等值線繪圖中，采用TIN網格有兩大優點：一是等值線連接方式唯一，不會出現矩形網格中的二義性問題；二是TIN網格使用的是原始數據點，避免了網格擬合帶來的誤差，尤其在原始數據密集的情況下，能高度還原地形地貌。本文的工作使得TIN網格下等值線的追蹤更加方便快捷，從而可以較好的應用于地質建模領域。

參考文獻

[1] 王鵬.等值線快速繪圖方法研究及系統設計與實現[D].電子科技大學，2011.

[2] 成建梅，陳崇希，孫紅林.三角網格等值線自動生成方法及程序實現[J].水利學報，1998，10（10）：23-26.

[3] 黃維科，王弘琪.在AutoCAD中用“焊接法”繪制等高線[J].公路與汽運，2005，1：29.

[4] 李瑞雪.球物理等值線構建及屬性建立[D].中南大學，2012.

[5] 韓麗娜.地質等值線圖的生成與繪制[D].西安：西安科技大學，2006.endprint

摘 要：本文提出了一種新的等值點位于網格點時，對等值點的調整方法；在分析已有等值線追蹤算法的基礎上，提出了一種基于TIN網格的快速等值線追蹤算法，實驗表明該算法具有較高的執行效率。

關鍵詞：等值線 等值點 TIN網格

中圖分類號：TP391.41 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）04（a）-0033-02

等值線圖能直觀地展示數據的變化趨勢，是眾多領域展示成果的重要圖件之一，被廣泛應用于石油勘探、礦物開采、氣象預報等眾多領域。等值線的繪制是指從大量采樣數據中提取出具有相同值的點的信息，并生成形態完整、位置精確的等值線的過程，包括等值線網格化、等值線追蹤、等值線光滑、等值線填充與標注幾個處理步驟[1]。其中等值線網格化是對網格邊進行線性插值，進而求出等值點的過程。等值線的追蹤則是利用等值線網格化產生的等值點數據，將其中相同等值點進行連接的過程。等值線追蹤的傳統方法是，在網格單元邊上選取一個等值點，尋找鄰近的等值點，順次連接成線，直到等值點回到起始點或位于工區邊界，完成單條等值線的追蹤，并以此為基礎遍歷所有的等值點。在追蹤過程中，等值線分為閉合與非閉合兩種情形，需要先追蹤開曲線，再追蹤閉曲線，否則不能確保結果正確。特定的搜索順序提高了處理過程的復雜性，增加了網格單元的重復搜索次數，致使效率低下。

針對此類問題，很多學者提出了在不規則三角網（TIN網格）下的改進方法，成建梅[2]等提出為三角形三邊分別賦予不同的權值，以方便確定三角形單元內等值點的位置。但是這只是對局部的改進，未涉及等值線追蹤過程的優化。黃維科[3]等基于三角形單元內等值線段容易確定的事實，提出了使用“焊接法”將相同的等值點連接從而生成整條等值線的方法。但是在搜索等值線段間的共同等值點時，需要對已確定的等值線段進行遍歷，執行效率提高幅度有限；并且使用的是簡單的坐標值判別法，容易因機器誤差引起錯誤結果。

1 改進的等值線生成算法

現在常用的用于生成等值線的網格有矩形網格、TIN網格等。綜合考慮，本文選用TIN網格。生成等值線的主要步驟中，等值線的網格化處理與等值線的追蹤是基礎與關鍵，直接影響等值線的準確度和生成速度。接下來將針對TIN網格，介紹對這兩個過程的改進。

1.1 等值線網格化處理方法

在TIN網格中，等值線網格化處理的作用就是在網格邊上計算出各等值點，為之后的等值線追蹤提供基礎數據。以三角形單元為單位，遍歷整個TIN網格，判斷三角形棱邊上有無等值點[4]，使用公式：

其中z為等值線的高程，zi，zj是對應三角形頂點的高程。若存在，則等值點的坐標為：

1.2 等值線追蹤算法

本文采用的追蹤思想即是：從一個等值點出發，沿任意方向搜索等值點，直到回到起點或者到達邊界；再從起點開始沿反向搜索未經過的點。最終生成一條等值線。

為了提高搜索效率，注意到在經過網格化處理后，可以保證每條三角形棱邊至多有一個等值點，而與該等值點相連的等值點至多有兩個。所以在以三角形單元為單位遍歷TIN網格時，給每一棱邊指定唯一的序號，若找出等值點，則記錄與之相連的等值點所處的棱邊。接下來以棱邊為基本單元追蹤等值線，這樣的好處是便于構造順序存儲結構，進而使用隨機存取機制，加快追蹤速度。

序號的引入將問題轉化為簡單的數值匹配，避免了常規算法中使用的方位信息。同時可以忽略常規等值線追蹤算法中的特定追蹤順序，對于拓撲復雜TIN網格，不考慮三角形棱邊是否位于邊界上可以大大簡化處理的復雜度。

2 算法實現

2.1 數據結構

程序要兼顧按索引查找時的快捷和等值點插入的便利，故選擇混合存儲結構。具體實現如下。

等值點的數據結構見表1。

三角單元棱邊的數據結構見表2。

其中訪問標記指示是否追蹤過該邊，初始時置為False。等值點1是位于該邊上的等值點。等值點2指針指向當前等值線上的另一個端點（隊尾）。鄰接邊1，2上的等值點與該邊上的相連。

當完成等值線網格化處理后，所有等值點被計算出，三角網格邊中的棱邊序號、等值點1指針、鄰接棱邊1與鄰接棱邊2的序號均被確定。特別的，當棱邊上的等值點為一條非閉合等值線的端點時，它只有一個有效的鄰接棱邊。

2.2 算法流程

（1）從TIN網格中順次讀取一個棱邊E1。如果E1上不存在等值點，或訪問標記為TRUE，重復步驟（1）。否則，置訪問標記為True，根據鄰接邊1序號讀取棱邊Ei，轉到步驟（2）。

（2）置Ei的訪問標記為True，并將它的等值點移動到前一個等值點的末尾。若Ei即是E1，完成單條等值線的搜索，轉到步驟（1）。否則，讀取Ei上不同于前一棱邊的鄰接邊序號。若存在，則在讀取新的棱邊Ei，重復步驟（2）。若不存在，根據E1的鄰接邊2序號取出棱邊Ej，轉到步驟（3）。

（3）置Ej的訪問標記為True，將等值線頭結點移動到Ej上等值點的末尾。讀取Ej上不同于后一個點所在邊的鄰接邊序號。若存在，則取出新的棱邊Ej，重復步驟（3）。若不存在，完成單條等值線的搜索，轉到步驟（1）。

當所有棱邊都在步驟（1）中被讀取過后，算法完成。

3 實驗結果與分析

筆者將本文提出的改進算法運用到“裂縫性儲層精細描述軟件”當中，利用該算法獲得層面模型的等值線，并經過平滑、著色處理后，得到如圖4所示的效果圖。

為進一步測試算法效率，利用圖4中的層面，計算傳統追蹤算法和改進算法的運行時間。層面模型包含22827個坐標點，出于確保結果有效性的考慮，指定等值線高程值的個數分別為5，10，15，…，60，從而獲得12組測試數據。隨著高程值個數的增加，程序會多次調用追蹤算法，相當于增多了模型坐標點與等值點的個數。

采用改進算法追蹤等值線，速度平均提升30%以上。這是因為由于TIN網格拓撲復雜，追蹤等值線時大量時間消耗在對網格的遍歷上。傳統算法在計算等值點時需要遍歷一遍網格，在進行等值線追蹤時，又要遍歷兩遍：第一遍以位于網格邊界的等值點為起點，查找非閉合等值線；第二遍再查找閉合等值線。而本文提出的改進算法只需要在計算等值點時遍歷一遍網格，由于遍歷時為三角形單元的棱邊設置索引，在追蹤等值線時，直接按索引遍歷從而避開了TIN網格的復雜性對程序的不良影響。并且，改進算法中不區分等值線的開閉性，可以用統一的過程追蹤，又減少一次對棱邊的遍歷。故改進算法的時間性能大幅優于傳統算法。

4 結論

本文基于TIN網格，提出了一種快速的等值線生成算法，該算法改進了等值點位于網格頂點時，對其進行偏移的方法，盡最大限度減小偏移量的不確定性，使結果更貼合原始數據。之后，針對現有主流追蹤算法過程繁瑣，實現復雜的弱點，為三角單元棱邊設置索引，簡化遍歷過程，并將閉合和非閉合兩種等值線的追蹤方法統一，大大簡化追蹤流程。在等值線繪圖中，采用TIN網格有兩大優點：一是等值線連接方式唯一，不會出現矩形網格中的二義性問題；二是TIN網格使用的是原始數據點，避免了網格擬合帶來的誤差，尤其在原始數據密集的情況下，能高度還原地形地貌。本文的工作使得TIN網格下等值線的追蹤更加方便快捷，從而可以較好的應用于地質建模領域。

參考文獻

[1] 王鵬.等值線快速繪圖方法研究及系統設計與實現[D].電子科技大學，2011.

[2] 成建梅，陳崇希，孫紅林.三角網格等值線自動生成方法及程序實現[J].水利學報，1998，10（10）：23-26.

[3] 黃維科，王弘琪.在AutoCAD中用“焊接法”繪制等高線[J].公路與汽運，2005，1：29.

[4] 李瑞雪.球物理等值線構建及屬性建立[D].中南大學，2012.

[5] 韓麗娜.地質等值線圖的生成與繪制[D].西安：西安科技大學，2006.endprint