極限的幾種計算方法的注記

姜全德

摘 要：極限的計算是高等數學教學的重要內容之一，該文就若干種常用的求極限的問題進行分析，針對不同題型，采用不同方法，并總結歸納了應用每種求極限方法應注意的要點。

關鍵詞：極限 計算 方法

中圖分類號：O211 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）08（a）-0227-01

1 運用極限的定義證明極限的值（用定義，找到N）

在利用數列極限定義證明為數列的極限時，重要的是對，要能夠指出定義中所說的這種正整數確實存在，但沒有必要去求最小的，故在解決具體問題時，可用放大方法。

2 運用極限的四則運算求極限

極限的四則運算只適用于每個式子極限存在且分母極限不為0的情況，且只限于“有限個”，“有限個”很關鍵；若無限個，四則運算不再適用。

3 約去零因子

例如我們考慮到時函數的變化趨勢，在這一變化過程中但，因此我們可以先約去分子分母極限為零的公因式，一般“”的未定式，我們首先考慮約去零因子。

4 分子分母同除以變量最高次冪

此種方法適用于變量趨于無窮，且分子分母是變量的冪函數的分式，首先考慮分子分母同除以變量的最高次冪的方法。

5 應用兩個重要極限求極限

應用兩個重要極限解題時要注意兩公式特點，一定構造出公式的形式后方可應用。

公式的特點：（1）中部分要相同；（2）。

公式的特點：（1）中部分要相同；（2）。

6 用等價無窮小代換求極限

應用等價無窮小代換，需要注意的是，等價無窮小代換只適用與積與商，且只能代換乘積或商式中分子或分母的某個因式而不能代替其中加、減式的某一項。

7 利用無窮小量的性質求極限

當應用“有界函數與無窮小量之積仍為無窮小量”的性質時，一定有一個函數極限是0即是無窮小量。

8 運用無窮小與無窮大關系求極限

應用無窮大與無窮小互為倒數關系，可以求極限。

9 用迫斂性求極限

應用迫斂性求極限時，找到的一個比其大的函數和一個比其小的函數，這兩個函數的極限值要存在且相等。

10 利用單調有界定理求極限

利用單調有界定理證明時，應注意放縮方向，單調遞增函數需有上界則極限存在；單調遞減函數需有下界，則極限存在。

11 函數連續性求極限

注意：當函數連續時，極限符號與函數符號可交換順序。

12 運用洛必達法則求極限

有些題目可以直接應用洛必達法則求解，有些題目可以轉化為洛必達法則求解，例如：

（1）對于，型極限，可將乘積化為除式，即化為型或型未定式計算。

（2）對于型的未定式，可先將其化為以為底的指數函數的極限，再利用指數函數的連續性，化為直接求指數的極限。

13 利用Taylor公式求極限

應用Taylor公式求極限時，注意余項的階數的選取。

14 數列極限轉換為函數極限求解

由于數列不具有函數的比較好的解析性質，比如連續性、可積性、可導性，所以可先求數列對應函數的極限，再代入特值得到數列極限。此方法在求級數的部分和極限時應用很廣。

15 利用定積分定義求極限

應用定積分定義求極限，適用于n項和極限，但要注意以下兩點。

（1）當題目能湊成的形式時，用定積分的定義把極限轉化為定積分來計算。

（2）當n項和極限，不能湊成定積分的定義的極限和形式時，利用兩邊夾法則求極限。

16 利用級數收斂的必要條件

若收斂，則，這一結論可證明數列的極限趨于零。

17 運用Stolze定理求極限

Stolz公式：，值得注意的是當時，特別有效。

18 結語

總之，極限的計算方法很多，也比較靈活，總的原則是：充分利用所求極限的特點，利用極限的運算性質及上述常用方法，有時需綜合運用以上方法可以更簡便求出極限的值，是復雜的問題簡單化。有時一個極限也可用多種方法求解。

參考文獻

[1] 徐森林，薛春華.數學分析[M].清華大學出版社，2012.

[2] 同濟大學數學系.高等數學[M].高等教育出版社，2007.

[3] 遲彥惠.微積分[M].華南理工大學出版社，2009.endprint

摘 要：極限的計算是高等數學教學的重要內容之一，該文就若干種常用的求極限的問題進行分析，針對不同題型，采用不同方法，并總結歸納了應用每種求極限方法應注意的要點。

關鍵詞：極限 計算 方法

中圖分類號：O211 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）08（a）-0227-01

1 運用極限的定義證明極限的值（用定義，找到N）

在利用數列極限定義證明為數列的極限時，重要的是對，要能夠指出定義中所說的這種正整數確實存在，但沒有必要去求最小的，故在解決具體問題時，可用放大方法。

2 運用極限的四則運算求極限

極限的四則運算只適用于每個式子極限存在且分母極限不為0的情況，且只限于“有限個”，“有限個”很關鍵；若無限個，四則運算不再適用。

3 約去零因子

例如我們考慮到時函數的變化趨勢，在這一變化過程中但，因此我們可以先約去分子分母極限為零的公因式，一般“”的未定式，我們首先考慮約去零因子。

4 分子分母同除以變量最高次冪

此種方法適用于變量趨于無窮，且分子分母是變量的冪函數的分式，首先考慮分子分母同除以變量的最高次冪的方法。

5 應用兩個重要極限求極限

應用兩個重要極限解題時要注意兩公式特點，一定構造出公式的形式后方可應用。

公式的特點：（1）中部分要相同；（2）。

公式的特點：（1）中部分要相同；（2）。

6 用等價無窮小代換求極限

應用等價無窮小代換，需要注意的是，等價無窮小代換只適用與積與商，且只能代換乘積或商式中分子或分母的某個因式而不能代替其中加、減式的某一項。

7 利用無窮小量的性質求極限

當應用“有界函數與無窮小量之積仍為無窮小量”的性質時，一定有一個函數極限是0即是無窮小量。

8 運用無窮小與無窮大關系求極限

應用無窮大與無窮小互為倒數關系，可以求極限。

9 用迫斂性求極限

應用迫斂性求極限時，找到的一個比其大的函數和一個比其小的函數，這兩個函數的極限值要存在且相等。

10 利用單調有界定理求極限

利用單調有界定理證明時，應注意放縮方向，單調遞增函數需有上界則極限存在；單調遞減函數需有下界，則極限存在。

11 函數連續性求極限

注意：當函數連續時，極限符號與函數符號可交換順序。

12 運用洛必達法則求極限

有些題目可以直接應用洛必達法則求解，有些題目可以轉化為洛必達法則求解，例如：

（1）對于，型極限，可將乘積化為除式，即化為型或型未定式計算。

（2）對于型的未定式，可先將其化為以為底的指數函數的極限，再利用指數函數的連續性，化為直接求指數的極限。

13 利用Taylor公式求極限

應用Taylor公式求極限時，注意余項的階數的選取。

14 數列極限轉換為函數極限求解

由于數列不具有函數的比較好的解析性質，比如連續性、可積性、可導性，所以可先求數列對應函數的極限，再代入特值得到數列極限。此方法在求級數的部分和極限時應用很廣。

15 利用定積分定義求極限

應用定積分定義求極限，適用于n項和極限，但要注意以下兩點。

（1）當題目能湊成的形式時，用定積分的定義把極限轉化為定積分來計算。

（2）當n項和極限，不能湊成定積分的定義的極限和形式時，利用兩邊夾法則求極限。

16 利用級數收斂的必要條件

若收斂，則，這一結論可證明數列的極限趨于零。

17 運用Stolze定理求極限

Stolz公式：，值得注意的是當時，特別有效。

18 結語

總之，極限的計算方法很多，也比較靈活，總的原則是：充分利用所求極限的特點，利用極限的運算性質及上述常用方法，有時需綜合運用以上方法可以更簡便求出極限的值，是復雜的問題簡單化。有時一個極限也可用多種方法求解。

參考文獻

[1] 徐森林，薛春華.數學分析[M].清華大學出版社，2012.

[2] 同濟大學數學系.高等數學[M].高等教育出版社，2007.

[3] 遲彥惠.微積分[M].華南理工大學出版社，2009.endprint

摘 要：極限的計算是高等數學教學的重要內容之一，該文就若干種常用的求極限的問題進行分析，針對不同題型，采用不同方法，并總結歸納了應用每種求極限方法應注意的要點。

關鍵詞：極限 計算 方法

中圖分類號：O211 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）08（a）-0227-01

1 運用極限的定義證明極限的值（用定義，找到N）

在利用數列極限定義證明為數列的極限時，重要的是對，要能夠指出定義中所說的這種正整數確實存在，但沒有必要去求最小的，故在解決具體問題時，可用放大方法。

2 運用極限的四則運算求極限

極限的四則運算只適用于每個式子極限存在且分母極限不為0的情況，且只限于“有限個”，“有限個”很關鍵；若無限個，四則運算不再適用。

3 約去零因子

例如我們考慮到時函數的變化趨勢，在這一變化過程中但，因此我們可以先約去分子分母極限為零的公因式，一般“”的未定式，我們首先考慮約去零因子。

4 分子分母同除以變量最高次冪

此種方法適用于變量趨于無窮，且分子分母是變量的冪函數的分式，首先考慮分子分母同除以變量的最高次冪的方法。

5 應用兩個重要極限求極限

應用兩個重要極限解題時要注意兩公式特點，一定構造出公式的形式后方可應用。

公式的特點：（1）中部分要相同；（2）。

公式的特點：（1）中部分要相同；（2）。

6 用等價無窮小代換求極限

應用等價無窮小代換，需要注意的是，等價無窮小代換只適用與積與商，且只能代換乘積或商式中分子或分母的某個因式而不能代替其中加、減式的某一項。

7 利用無窮小量的性質求極限

當應用“有界函數與無窮小量之積仍為無窮小量”的性質時，一定有一個函數極限是0即是無窮小量。

8 運用無窮小與無窮大關系求極限

應用無窮大與無窮小互為倒數關系，可以求極限。

9 用迫斂性求極限

應用迫斂性求極限時，找到的一個比其大的函數和一個比其小的函數，這兩個函數的極限值要存在且相等。

10 利用單調有界定理求極限

利用單調有界定理證明時，應注意放縮方向，單調遞增函數需有上界則極限存在；單調遞減函數需有下界，則極限存在。

11 函數連續性求極限

注意：當函數連續時，極限符號與函數符號可交換順序。

12 運用洛必達法則求極限

有些題目可以直接應用洛必達法則求解，有些題目可以轉化為洛必達法則求解，例如：

（1）對于，型極限，可將乘積化為除式，即化為型或型未定式計算。

（2）對于型的未定式，可先將其化為以為底的指數函數的極限，再利用指數函數的連續性，化為直接求指數的極限。

13 利用Taylor公式求極限

應用Taylor公式求極限時，注意余項的階數的選取。

14 數列極限轉換為函數極限求解

由于數列不具有函數的比較好的解析性質，比如連續性、可積性、可導性，所以可先求數列對應函數的極限，再代入特值得到數列極限。此方法在求級數的部分和極限時應用很廣。

15 利用定積分定義求極限

應用定積分定義求極限，適用于n項和極限，但要注意以下兩點。

（1）當題目能湊成的形式時，用定積分的定義把極限轉化為定積分來計算。

（2）當n項和極限，不能湊成定積分的定義的極限和形式時，利用兩邊夾法則求極限。

16 利用級數收斂的必要條件

若收斂，則，這一結論可證明數列的極限趨于零。

17 運用Stolze定理求極限

Stolz公式：，值得注意的是當時，特別有效。

18 結語

總之，極限的計算方法很多，也比較靈活，總的原則是：充分利用所求極限的特點，利用極限的運算性質及上述常用方法，有時需綜合運用以上方法可以更簡便求出極限的值，是復雜的問題簡單化。有時一個極限也可用多種方法求解。

參考文獻

[1] 徐森林，薛春華.數學分析[M].清華大學出版社，2012.

[2] 同濟大學數學系.高等數學[M].高等教育出版社，2007.

[3] 遲彥惠.微積分[M].華南理工大學出版社，2009.endprint