一種用于數字D類功放的偽自然采樣算法

于澤琦樊養余 史龍飛 呂國云

(西北工業大學電子信息學院 西安 710129)

1 引言

數字D類功放由于高電源效率和便于與數字音頻信號源接口匹配，受到消費類音頻電子產品的青睞并成為研究熱點[1-3]。數字D類功放由全數字電路實現的開關信號調制器、功率級和模擬低通濾波器組成。數字D類功放把數字音頻信號調制成開關信號的方法主要有：脈沖密度調制(Pulse Density Modulation, PDM)[4,5],Click調制(Click Modulation,CM)[6,7]和均勻采樣脈沖寬度調制(Uniform sampled Pulse Width Modulation, UPWM)[1-3,8-15]。由于UPWM 方法相比其它方法有生成的開關信號脈沖重復頻率低且實現簡單的優點，所以數字D類功放通常采用 UPWM 方法實現開關信號調制器。然而直接對數字音頻信號進行UPWM，數字D類功放需要很高的時鐘頻率，所以數字D類功放通常使用過采樣和量化噪聲壓縮技術，在基本不影響音頻帶寬內所攜信息的情況下降低數字音頻信號的位數，從而使系統容易實現[8]。此外，由于UPWM是一種非線性的調制方法，數字D類功放在信號調制時會產生失真，所以還需對其產生的失真進行校正[9]。目前，針對 UPWM 失真的校正算法，主要有：偽自然采樣算法[913]-、閉環負反饋算法[2]、前置均衡器算法[14]和預校正算法[15]。偽自然采樣算法相比其它校正算法，有實現簡單且校正效果良好的特點，廣泛應用在數字D類功放中。

本文首先介紹用于UPWM型數字D類功放的偽自然采樣算法原理以及目前存在的偽自然采樣算法，再針對現有算法的不足，提出一種新的偽自然采樣算法，然后對其進行實驗驗證，最后給出結論。

2 偽自然采樣算法原理

單邊后沿自然采樣脈沖寬度調制(Natural sampled Pulse Width Modulation, NPWM)和UPWM的調制過程如圖1所示。圖1中，為輸入信號，和為經過以采樣頻率cf采樣后的任意兩點，為載波。假定載波頻率為cf，輸入信號為頻率是xf的正弦信號。由圖1可知，在時間段內，NPWM信號的脈沖寬度由與的交點(自然采樣點)決定，而UPWM信號的脈沖寬度由與的交點(均勻采樣點)決定。文獻[16]利用雙重傅里葉級數對如圖1所示NPWM和UPWM進行了分析，由分析可知，在信號帶寬內，UPWM信號的頻譜由直流成分、輸入信號的基波及其諧波成分以及載波與輸入信號的互調諧波成分構成；而NPWM信號的頻譜僅由直流成分、輸入信號的基波成分以及載波與輸入信號的互調諧波成分構成；NPWM和UPWM信號的互調諧波幅度隨次數的增大而減小。由于 NPWM 信號不含輸入信號的諧波成分，所以當高倍過采樣后的輸入信號經 NPWM后，其在信號帶寬內的失真可忽略不計。

圖1 單邊后沿NPWM和UPWM的調制過程示意圖

雖然NPWM相比UPWM有較好的抑制諧波特性，但由圖1可知，由于數字D類功放的輸入信號為數字信號，所以數字 D類功放只能使用UPWM。于是，數字D類功放可運用偽自然采樣算法對其 UPWM 前的信號進行預處理，在每個載波周期內得到近似于自然采樣點的偽自然采樣點，使其開關信號在時域上逼近 NPWM 信號，從而消除開關信號的輸入信號諧波成分。目前存在的偽自然采樣算法主要有：一階拉格朗日插值(LAGrange Interpolation, LAG-I)算法[9]，δ補償(δ Compensation, δC)算法[10]，LAG-NR 算法[11,12]，迭代線性內插(Iterative Linear Interpolation, ILI)算法[13]等。一階LAG-I算法通過對相鄰輸入兩點進行一階拉格朗日插值逼近輸入信號原波形，然后求逼近后的波形與載波的交點以產生開關信號，由于逼近精度較差，對輸出信號的諧波失真改善較小；δC算法利用幾何方法近似求出當前均勻采樣點幅值相對其自然采樣點幅值的差值δ，然后把δ補償到當前均勻采樣點幅值上使最終得到的開關信號逼近 NPWM 信號，由于每個δ的計算只用到兩個輸入點，同樣諧波校正效果較差；LAG-NR算法用高階拉格朗日插值法逼近輸入信號原波形，再利用Newton-Raphson算法經過單次迭代尋找偽自然采樣點，從而使輸出可獲得較低的諧波失真，但其含較多的乘法和除法運算，計算復雜度較高；ILI算法通過對輸入2倍插值濾波和利用二階拉格朗日插值法迭代尋找偽自然采樣點校正輸出信號的諧波失真，由于其在計算偽自然采樣點時使用的非相鄰輸入點信息較少，使輸出仍留有一定的諧波成分。

3 一種新的偽自然采樣算法

由上文可知，目前存在的偽自然采樣算法難以兼顧低計算復雜度和低諧波失真，因此本文提出一種新的偽自然采樣算法。本文提出的偽自然采樣算法原理如圖 2所示，假設和為輸入信號以采樣頻率cf采樣后的4個相鄰點，，對此4點利用三階拉格朗日插值多項式逼近，得

圖2 本文提出的偽自然采樣算法原理圖

由上可知，本算法仍用到除法運算。然而，對于式(3)至式(9)所涉及的除法運算，由于其除數都為常數且都為2的冪數，所以可把其轉化為簡單的移位運算。對于式(11)所涉及的除法運算，可令，對展開成L階麥克勞林級數形式：

以避免除法運算。為了簡化硬件結構，可取 3L= 。把 3L= 的式(12)代入式(11)后，可知該算法僅包含乘法、加法、比較和移位運算。由于 ()c t的頻率通常遠小于UPWM的采樣頻率，故可在 ()c t周期內時分復用一個乘法器實現本算法涉及的乘法運算，這樣可在不影響性能的情況下，減少硬件消耗。

4 算法驗證

本文基于Altera公司型號為EP4CE30F23C6N的FPGA實現了一個UPWM型數字D類功放的開關信號調制器(主時鐘頻率為24.576 MHz)，并對其搭建了如圖3所示的測試系統。在圖3中，計算機通過同軸音頻接口向數字音頻接收芯片 CS8416輸出采樣頻率為48 kHz、精度為24位的測試信號，然后 CS8416輸出 I2S格式的串行數字信號到基于FPGA的開關信號調制器中，開關信號調制器把串行數字信號調制成開關信號，最后經由內部的主控數據接口模塊把開關信號輸出到計算機中分析。

圖3 基于FPGA的開關信號調制器測試系統結構圖

圖4 開關信號調制器的輸出頻譜

圖4給出了在測試信號為幅度為0 dBFS、頻率為6 kHz的正弦信號的情況下，當偽自然采樣模塊不起作用時以及當基于一階LAG-I算法、 Cδ算法、ILI算法(迭代次數為 16，與文獻[13]所述最優迭代次數相同)、LAG-NR算法(利用三階拉格朗日插值法，并以一階LAG-I算法求得的偽自然采樣點作為Newton-Raphson算法的初始解)和本文所述算法分別構造偽自然采樣模塊時，開關信號調制器的輸出頻譜。由圖4可知，本文所述算法使諧波淹沒在由于互調失真引起的本底噪聲中，基本上使開關信號調制器的輸出消除了諧波影響，其諧波消除效果與LAG-NR算法基本相同，且明顯優于其它偽自然采樣算法。

表1列出了基于不同算法的偽自然采樣模塊所消耗的FPGA資源以及計算每個偽自然采樣點所需的時間calT ，其中mclkT 為FPGA主時鐘周期(為了方便對比，所有偽自然采樣模塊均不使用FPGA內部乘法器)。由表1可知，在硬件消耗上，本文所述算法僅為ILI算法和LAG-NR算法的3/4左右；在計算每個偽自然采樣點所需的時間上，本文所述算法與ILI算法相同，約為LAG-NR算法的3/5。由此可得，本文所述算法的計算復雜度低于 ILI算法和LAG-NR算法。

圖 5為分別基于本文所述算法、ILI算法以及LAG-NR算法的開關信號調制器輸出總諧波失真(Total Harmonic Distortion, THD)對比圖。由圖5可知，基于本文所述算法的開關信號調制器輸出THD小于0.001%，與基于LAG-NR算法的開關信號調制器輸出THD基本一致，且僅為基于ILI算法的開關信號調制器輸出THD的一半左右。

表1 基于不同算法的偽自然采樣模塊所消耗的FPGA資源以及計算每個偽自然采樣點所需的時間Tcal對比

圖5 基于不同算法的開關信號調制器輸出THD對比圖

5 結論

本文提出一種新的偽自然采樣算法，該算法有效解決了UPWM型數字D類功放在UPWM后使輸出信號產生較大諧波失真的問題。該算法基于拉格朗日插值法和一種偽自然采樣點位置判斷法，并利用麥克勞林級數消除除法運算，在達到較好的諧波校正效果的同時，易于硬件實現。通過實驗測試，基于本文所述算法的開關信號調制器輸出 THD小于0.001%，其與高性能功率級、模擬低通濾波器連接可方便地組成高性能的數字D類功放。

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